Problème 1 Problème 2

Mpsi Devoir non surveillé 2
Problème 1
Pour (n, p)∈N2, on pose Sp(n) =
n
X
i=0
ipet Tp(n) =
n
X
i=0
(−1)iip.
Question 1) Montrez que pour tout n∈N,S3(n) = S1(n)2.
Question 2) Soit (un)une suite de réels telle que u0= 0, telle que pour tout n∈N∗,un>0et qui vérifie la propriété
∀n∈N
n
X
i=0
u3
i= n
X
i=0
ui!2 .
Montrez par récurrence forte que pour tout n∈N,un=n.
Question 3) On note (C) la proposition « pour tout n∈N,Sp(n)est le carré d’un entier ».
On suppose que (C) est vraie.
a) Montrez qu’il existe a∈N∗tel que 2p=a2−1.
b) Déduisez-en qu’il existe (α, β)∈N2tel que a= 2α−1 = 2β+ 1 et α+β=p.
c) Justifiez que la seule valeur possible pour βest 1, déduisez-en la seule valeur possible pour p.
d) Concluez : déterminez les entiers pqui satisfont la propriété (C).
Question 4) Déterminez les entiers pet qtels que pour tout n∈N,Sp(n)=(Sq(n))2.
Question 5) Montrez que pour tout n∈N,T2(n) = (−1)nS1(n).
Question 6) Déterminez la seule suite (vn)de réels telle que v0= 0, telle que pour tout n∈N∗,vn>0et qui vérifie la
propriété ∀n∈N
n
X
i=0
(−1)iv2
i= (−1)n n
X
i=0
vi!2 .
Question 7) Déterminez les entiers pet qtels que pour tout n∈N,Tp(n)=(−1)nSq(n).
Question 8) Déterminez les entiers pet qtels que pour tout n∈N,Tp(n)=(−1)n(Tq(n))2.
Problème 2
Pour n∈N, on pose an=1
n+ 12n n, puis sn=
n
X
k=0
akan−ket tn=
n
X
k=0
kakan−k.
Question 1)
a) Montrez que pour tout n∈N,tn=
n
X
k=0
(n−k)akan−k.
b) Déduisez-en que 2tn=nsn.
Question 2) Vérifiez que pour tout n∈N,(n+ 2)an+1 = 2(2n+ 1)an.
Question 3) Montrez que pour tout n∈N,tn+1 +sn+1 =n+ 3
2sn+1 =an+1 + 2(n+ 1)sn.
Question 4) Montrez que pour tout n∈N,sn=an+1.
Question 5) Montrez par récurrence forte que pour tout n∈N,anest un entier naturel.
Remarque. Les nombres ansont appelés les nombres de Catalan, ils apparaissent souvent dans les problèmes de dénom-
brements.
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