ALGÈBRE CORPORELLE
Antoine Chambert-Loir
ALGÈBRE CORPORELLE
Antoine Chambert-Loir
E-mail : [email protected]
IRMAR, Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex.
Centre de Mathématiques, École polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex.
Version du 22 mars 2004, 13h35
Une version à jour est disponible sur le Web à l’adresse http://www.math.polytechnique.
fr/~chambert/teach/algebre.pdf
— Il conviendrait donc, Glaucon, de prescrire cette étude par une loi,
et de persuader à ceux qui doivent remplir les plus hautes fonctions
publiques de se livrer à la science du calcul, non pas superficiellement,
mais jusqu’à ce qu’ils arrivent, par la pure intelligence, à connaître la
nature des nombres ; et de cultiver cette science non pas pour la faire
servir aux marchands, mais pour l’appliquer à la guerre, et pour faci-
liter la conversion de l’âme du monde de la génération vers la vérité et
l’essence.
— Très bien dit. Platon, La république, Livre VII
J’ai fait en analyse plusieurs choses nouvelles.
Évariste Galois, Lettre à A. Chevalier (29 mai 1832)
Table des matières
Présentation ................................................................ vii
1. Extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Constructions à la règle et au compas, 1 ; Corps, 3 ; Extensions de corps, 8 ;
Quelques impossibilités classiques, 14 ; Fonctions symétriques des racines, 18 ;
Appendice : transcendance de eet π, 20 ; Exercices, 24.
2. « Mais où sont mes racines ? » ............................................ 29
Anneau des restes, 29 ; Extensions de décomposition, 32 ;
Corps algébriquement clos ; clôture algébrique, 33 ; Appendice : structure
des anneaux de polynômes, 37 ; Appendice : anneaux quotients, 40 ;
Appendice : théorème de Puiseux, 42 ; Exercices, 46.
3. Théorie de Galois ........................................................ 51
Homomorphismes d’une extension dans une clôture algébrique, 51 ;
Groupe d’automorphismes d’une extension, 54 ; Le groupe de Galois comme
groupe de permutations des racines, 59 ; Discriminant, résolvantes, 63 ;
Corps finis, 66 ; Exercices, 68.
4. Un peu de théorie des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Groupes (rappels de définitions), 75 ; Sous-groupes, 76 ; Opération d’un groupe
sur un ensemble, 78 ; Sous-groupes distingués, groupes quotients, 79 ;
Groupes résolubles, nilpotents, 82 ; Groupe symétrique, alterné, 85 ;
Groupes de matrices, 89 ; Exercices, 92.
5. Applications ............................................................ 97
Constructibilité à la règle et au compas, 97 ; Cyclotomie, 98 ;
Extensions composées, 103 ; Extensions cycliques, 106 ; Les équations de degrés
inférieur à 4, 108 ; Résolubilité par radicaux, 113 ; Comment (ne pas) calculer
des groupes de Galois, 117 ; Spécialisation des groupes de Galois, 120 ;
L’équation générique et le théorème d’irréductibilité de Hilbert, 127 ;
Exercices, 133.
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