École polytechnique 2014-2015 Théorie de Galois Exercice 1

École polytechnique 2014-2015
Théorie de Galois
Feuille d’exercices 7
Exercice 1. Montrer qu’une extension finie de Qne contient qu’un nombre fini de racines de l’unité.
Exercice 2. Soit pun nombre premier impair.
1. Montrer que le discriminant de Xp−1est (−1)p−1
2pp.
2. En déduire que Q(q(−1)p−1
2p)⊆Q(ζp).
3. En déduire que toute extension quadratique de Qse plonge dans une extension cycloto-
mique.
Exercice 3. (i) Soit d≥2un entier et p≥d−2un nombre premier différent de 2et 3. Montrer qu’il
existe un polynôme f∈Z[X]unitaire de degré dtel que :
- la réduction modulo 2de fsoit irréductible dans F2[X],
- la réduction modulo 3de fsoit de la forme XQ(X)où Q(X)∈F3[X]est irréductible,
- la réduction modulo pde fait un facteur irréductible de degré 2et d−2racines distinctes
dans Fp.
(ii) Montrer que le groupe de Galois sur Qde fest isomorphe au groupe symétrique Sd.
Exercice 4. (i) Soit P=p1p2· · · prun produit de nombres premiers distincts. Soit f∈Z/P [X]un
polynôme unitaire et fi∈Fpi[X]sa réduction modulo pi(1≤i≤r). Montrer que fest
réductible si et seulement si chaque fil’est.
(ii) Soient p≥3un nombre premier et d≥1un entier. Montrer que de la proportion des
polynômes à coefficients dans Fpirréductibles unitaires de degré dest au moins égale à 1
2d.
(iii) En déduire que quand Ntend vers +∞, la proportion des polynômes funitaires de
degré dà coefficients entiers dans [−N, N]qui sont réductibles tend vers 0. (Indication : on
pourra commencer par montrer que pour chaque ε > 0, il existe Pcomme ci-dessus tel que le
nombre de polynômes réductibles unitaires de Z/P [X]de degré dsoit au plus εP dpuis considérer
N≥Pet le cardinal des fibres de la projection f7→ fmod P.)
En combinant les techniques des deux exercices précédents on peut montrer que « la plupart »
des polynômes unitaires de degré dont pour groupe de Galois Sd(cf. Die Seltenheit der
Gleichungen mit Affekt, van der Waerden, 1933).
Exercice 5. Soit Kune extension finie de R, on veut montrer que Kest égal à Rou isomorphe à C
(théorème de d’Alembert-Gauß).
(i) Montrer que si K/Rest de degré 2, alors K'C.
(ii) Montrer que si K/Rest de degré impair, alors K=R.
(iii) Montrer que Cn’admet pas d’extension de degré 2.
(iv) Supposons K/Rgaloisienne finie. Montrer l’existence d’une tour d’extensions
R⊂K1⊂K2⊂ · · · ⊂ Kn=K
telle que [K1:R]est impair et, pour i= 1, . . . , n −1,[Ki+1 :Ki] = 2. (On pourra utiliser le
théorème de Sylow : « si |G|=pαmavec ppremier et (p, m) = 1 alors Gcontient un sous-groupe
d’ordre pα».)
(v) Conclure.
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Exercice 6. On admet que les sous-groupes transitifs de S7sont, à conjugaison près, représentés par le
schéma suivant :
S7
A7
G168
C7oC6
C7oC3
D7
C7
où :
—G168 (d’ordre 168) est le groupe GL3(F2); il agit sur les 7droites et est abstraitement
isomorphe à PSL2(F7);
—C7oC6(d’ordre 42) est le groupe AGL(F7)des fonctions affines x7→ ax +bsur F7(avec
a∈F×
7et b∈F7) ;
—C7oC3(d’ordre 21) est le groupe des fonctions affines de la forme x7→ ax +bsur F7
avec a∈ {1,2,4}(et b∈F7) ;
— le D7=C7oC2(d’ordre 14) le groupe diédral de l’heptagone, qui est aussi le groupe des
fonctions affines de la forme x7→ ax +bsur F7avec a∈ {1,−1}(et b∈F7) ;
—C7(d’ordre 7) est le groupe cyclique.
(i) Soit f=X7−7X+ 3 ∈Z[X]dont on note x0, . . . , x6les racines dans un corps de
décomposition Ksur Q. Montrer que fest irréductible.
(ii) On admet que fa exactement trois racines dans F107. Que peut-on en déduire sur le
groupe de Galois Gde f?
(iii) Montrer que le polynôme de degré 35
g(T) = Y
i<j<k
(T−(xi+xj+xk))
appartient à Q[X]et est séparable. (Indication : pour le second point, on pourra utiliser l’existence
d’un 7-cycle dans le groupe de Galois Gde fet le fait que le polynôme cyclotomique Φ7(Z) =
1 + Z+· · · +Z6est irréductible.)
(iv) Montrer que G168 agit 2-fois transitivement mais pas 3-fois transitivement sur les droites
de F3
2. Montrer que A7agit 3-fois transitivement sur {1,...,7}.
(v) On admet que gest divisible par le polynôme T7+ 14T4−42T2−21T+ 9. En déduire
que le groupe de Galois Gn’est ni le groupe alterné A7ni S7. Conclure.
Exercice 7. Montrer que, pour tout groupe cyclique fini Gil existe une extension finie Lgaloisienne de
Qde groupe de Galois G. On pourra admettre le théorème suivant : pour tout entier n, il existe
une infinité de nombres premiers p tels que p≡1 (mod n).
Exercice 8. Soit n > 1et kune extension finie de Q. On note Ll’extension cyclotomique k(µn), où µn
est une racine primitive n-ième de l’unité.
(i) On suppose de plus que kne contient aucune extension galoisienne non triviale de Qde
groupe de Galois abélien. Montrer que Gal(L/k)'(Z/nZ)×.
(ii) Montrer par un exemple que (i) n’est pas vraie en général (Indication : on pourra prendre
k=R).
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