Morphogenèse - Jean

I2, Problèmes différentiels
2015
Morphogenèse
La morphogenèse est l’ensemble des lois qui déterminent la forme des structures vivantes.
Ces mécanismes ne sont pas encore parfaitement bien compris. On se demande par exemple
comment, lors du développement cellulaire, à partir d’une structure initialement homogène
peuvent apparaître des disymétries. On pense entre autres aux pelages tâchetés ou zébrés
de certains animaux.
Alan Turing a proposé dans les années 50 un modèle mathématique permettant d’expliquer ce phénomène. Son idée est que certains composants chimiques, appelés morphogènes,
sont la cause d’un nouveau développement cellulaire lorsque leur concentration dépasse un
certain seuil. Différentes réactions chimiques font varier ces concentrations. Ce sont elles qui
leur permettent de dépasser la valeur seuil en certains endroits.
Dans l’exemple proposé par Turing, deux morphogènes sont situés sur une droite, leur
concentration est donnée par des fonctions X(x, t) et Y (x, t) et les réactions chimiques sont
modélisées par le système différentiel suivant :
∂X
1
∂ 2X
= (−7X 2 − 50XY + 57 + d 2 )
∂t
32
∂x

1
∂ 2Y
∂Y

2


= (7X + 50XY − 2Y − 55 + 40 2 )
∂t
32
∂x
où d est un paramètre positif.





1. Solutions homogènes
Commençons par étudier les solutions homogènes, c’est-à-dire les solutions constantes
en x : (X(t), Y (t)). Le système
(a) Déterminer la position d’équilibre du système.
(b) Étudier sa stabilité.
(c) Étudier (à l’aide d’un ordinateur) les variations de X(t) et Y (t) et représenter
l’allure des solutions.
2. Solutions non homogènes
Nous ne considérons plus que les X et Y sont des fonctions constantes en x. Nous
allons étudier plus précisément comment le système se comporte au voisinage du point
d’équilibre. Afin de pouvoir le faire simplement, nous considérons le système linéarisé
associé : c’est le même système que celui considéré dans la question 1-b mais en gardant
les dérivées partielles.
1
(a) Montrer qu’il existe ω ∈ R tel qu’il y ait des solutions stationnaires de la forme
(
X(x, t) = α sin(ωx)
Y (x, t) = β sin(ωx)
avec (α, β) 6= (0, 0).
On considère désormais cette valeur de ω.
(b) Soit
(
X(x, t) = V (t) sin(ωx)
Y (x, t) = W (t) sin(ωx)
Montrer que ces fonctions sont solutions si et seulement si V et W sont solutions
d’un système linéaire.
(c) Déterminer les signes des valeurs propres du système (en raisonnant avec la trace
et le déterminant) en fonction de d et en déduire l’évolution de (V, W ).
3. Conclusion
Que peut-on conclure sur la stabilité du point d’équilibre ?
Montrer qu’il existe une valeur critique de d à partir de laquelle le système change de
comportement.
Pourquoi ce modèle peut permettre d’expliquer l’apparition de formes périodiques à
partir d’une situation initialement homogène ?
2