Morphogenèse et Modèle de Réaction-Diffusion

Morphogenèse et Modèle de Réaction-Diffusion
Clément Monney
Master thesis in Mathematics
La morphogenèse est le processus de formation de patterns durant la phase embryonnaire
d’un organisme. Le terme de « pattern » désigne toute structure qui apparaît lors de la
morphogenèse.
La plupart des mécanismes de morphogenèse sont inconnus. En revanche, plusieurs modèles
mathématiques ont été développés dans ce cadre dont le célèbre modèle de réaction-
diffusion. Selon un article du mathématicien britannique Alan Turing, les équations de
réaction-diffusion sont capables de générer une inhomogénéité dans un milieu initialement
homogène. Une répartition inhomogène de substances chimiques à la surface de l’embryon
est la clé de la formation de patterns.
Dans la première partie de ce travail, nous traitons divers outils mathématiques utiles pour la
suite, notamment quelques éléments d’analyse vectorielle et de théorie des équations
différentielles. Puis, nous présentons les équations de réaction-diffusion et les conditions
générales à l’émergence d’une inhomogénéité selon Turing dans un système à deux
composés chimiques. Nous procédons ensuite à une analyse détaillée de la formation
d’inhomogénéité dans la répartition des substances chimiques en question. Enfin, le dernier
chapitre présente les travaux de J.D. Murray. Il pense que la plupart des motifs pigmentaires
trouvés sur le pelage des mammifères sont le reflet d’un pattern chimique, appelé pre-pattern,
préalablement établi à la surface de l’embryon que le modèle de réaction-diffusion est
capable de prévoir. Certaines simulations numériques à partir d’équations de réaction-
diffusion donnent en effet des résultats étonnement proches de la réalité.
Jean-Pierre Gabriel