Sujet no 8

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului
Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Bacalaureat 2008
Proba C
Proba orală la matematică – bacalaureatul cu menţiune bilingvă
Sujet no 8
Exercice 1
Soit z un nombre complexe non nul. On définit trois nombres complexes A, B et C par : A =
2
2zz 
; B =
zz zz
; C =
3
2
2
zz zz
. Dire, pour chacun des nombres complexes A, B et C,
s’il est réel ou imaginaire pur. (Justifier sans calculer).
Exercice 2
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence de la suite (un) définie sur N* par un =
n
kn
k
02
sin
.
1) Montrer que pour tout réel positif non nul on a –x ≤
xtdt
0sin
≤ x ; en déduire que –x ≤
1 – cos x ≤ x
2) En réitérant le procédé, montrer que pour tout réel x positif ou nul on a
2
sin
2
22 x
xx
x
; en déduire un encadrement de
2
sin n
k
3) Montrer que pour tout n ≠ 0
 n
k
n
k
n
kn
n
kk
n
k
n
uk
n
k
n0
2
4
0
2
0
2
4
0
22
11
2
11
; en déduire que la
suite (un) converge et donner sa limite.