topologie, fonctions de plusieurs variables, calcul

Maths - MP 933 Chauffe 2013
Séance : topologie, fonctions de plusieurs
variables, calcul différentiel
Lundi 17, mardi 18 et jeudi 19 juin
1 Le cours
1. Vocabulaire et exemples de base en topologie (ouverts, fermés, compacts, complets). Avoir en
magasin des exemples et contre-exemples dans des espaces fonctionnels et de matrices.
2. (Beaucoup) plus délicat : le cours sur les courbes et surfaces (théorème des fonctions implicites,
avec l’existence d’une droite (d’un plan) tangent(e).
3. Fonctions de plusieurs variables : pratique des dérivations dans tous les sens ; conditions nécessaires
puis suffisantes pour l’existence d’un extremum local.
4. Intégrales curvilignes : savoir intégrer une forme différentielle simple sur un trajet. Savoir appliquer
Green-Riemann sur des cas d’école.
5. Intégrales multiples : tout est souvent dans la (re)paramétrisation du domaine...
2 Les exercices
2.1 Récolte 2012
Exercice 1 CCP ; T. Abergel vs «grincheux»
Calculer I=ZZD (x+y)2dxdy, avec Dle domaine défini par les inégalités x2+y2−x60et x2+y2−y>0.
Exercice 2 CCP ; F. Patout
Soit f(x, y) = 
xy
px2+y2si (x, y)6= (0,0)
0 si (x, y) = (0,0)
1. Montrer que fest continue.
2. Montrer que fadmet des dérivées dans toutes les directions.
Exercice 3 Mines ; P.-L. Rothé
Soit f(x, y) = e−(x2+y2)et, pour R>0,DR={x, y >0; x2+y26R2}.
1. Calculer ZZDR e−(x2+y2)dxdy.
2. Soit CR= [0, R]2. Calculer ZZcR e−(x2+y2)dxdy.
3. En déduire l’intégrale de Gauss.
4. Soit ∆∈ S++
2(R). Montrer :
ZZR2
e−tX∆XdX =π
pdet(A)·
5. Soient (u1, u2)une famille de libre de R2. Calculer
ZZR2
e−kxu1+yu2k2dxdy.
1

Exercice 4 TPE ; C. Demidem
On admet : ZR e−t2dt =√π.
Soit A∈ S++
2(R). Calculer ZZR2
e−t
XAX dX.
Exercice 5 TPE ; E. Garcia
Soit Eun espace vectoriel muni d’une norme k k. On note Lcl’ensemble des endomorphismes continus
de E.
1. Montrer (avec un argument algébrique) qu’en dimension finie, il ne peut y avoir de couples (f, g)∈
L2
ctel que f◦g−g◦f=Id.
2. On se place maintenant en dimension infinie, et on note ||| ||| la norme sur Lcsubordonnée à k k.
On suppose que f, g ∈ Lcvérifie f◦g−g◦f=Id.
(a) Justifier l’existence de ||| |||.
(b) Montrer que c’est une norme ( !) et qu’elle vérifie :
∀u, v ∈ Lc,|||u◦v||| 6|||u||| × |||v|||.
(c) Calculer f2◦g−g◦f2.
(d) Que vaut fn◦g−g◦fn?
(e) Montrer qu’il n’existe pas de tel couple (f, g).
Exercice 6 Télécom sud Paris ; E. Garcia
Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables est dense dans Mn(C).
Exercice 7 TPE ; S. Loupiac vs Gentil-Perret
Soient x0∈[0,1], et ϕ:f∈ C1([0,1],R)7→ f0(x0).
1. Montrer que ϕest une forme linéaire non continue.
2. Que dire du noyau de ϕ?
NDLR : Une norme a probablement été proposée...
Exercice 8 TPE ; Patout vs Leclerc
Soit A > 0.
1. Déterminer le maximum de xyz, pour x, y, z >0, avec x+y+z=A.
2. Même chose, mais avec la condition 2x+y+ 3z=A.
2.2 Récolte 2011
Exercice 9 CCP
Calculer I=ZZD
dxdy
(x+y)3, avec
D={(x, y)∈R2;x>1, y >1, x +y63}.
Exercice 10 CCP
On définit f: (x, y)7→ sin xsin ycos(x+y)sur
∆ = n(x, y)∈R2
+;x+y6π
2o.
1. Extrema de fsur ∆?
2. Soit (x, y, z)∈R3
+tel que x+y+z=π
2·Montrer : sin xsin ysin z61 8·
NDLR : sans les fonctions de plusieurs variables mais avec la concavité de ln ◦sin, on doit pouvoir
s’en sortir également.
2

Exercice 11 Mines
Calculer g00(0), où g(x) = f(0, x) + f(x, x2), avec f∈ C2(R2,R).
Exercice 12 CCP
Montrer que l’équation xln y+yln x= ln 2 définit localement ycomme une fonction ϕde xau voisinage
de (1,2). Donner le développement limité à l’ordre 2de ϕau voisinage de 1.
Exercice 13 ? ? ?
On considère F=C([0,1],R)muni de la norme k k∞, et ϕune bijection continue de [0,1] dans lui-même.
On pose enfin, pour f∈F,Lϕ(f) = f◦ϕ.
1. Montrer que Lϕest un endomorphisme continu de F.
2. On prend cette fois ϕ(x) = x2, et on munit Fde la norme k k1. L’endomorphisme Lϕest-il encore
continu ?
Cet exercice a également été posé sans l’indication de x7→ x2(normal : l’examinateur adapte ses indi-
cations à ce qu’il a vu depuis le début de la planche)
2.3 Recueil CCP
Exercices 54 et 56 de la partie algèbre ; exercices 44, 45, 48, de 50 à 60 de la partie analyse.
3 Ordre d’apparition à l’écran
Nous traiterons a priori les exercices dans l’ordre suivant (entre crochets : le recueil CCP) :
1,[52],9,[55],2,[44],3,[45],11,4,[50],12,[57],5,[54],6,7,8,13
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