topologie, fonctions de plusieurs variables, calcul

Maths - MP 933
Chauffe 2013
Séance : topologie, fonctions de plusieurs
variables, calcul différentiel
Lundi 17, mardi 18 et jeudi 19 juin
1
Le cours
1. Vocabulaire et exemples de base en topologie (ouverts, fermés, compacts, complets). Avoir en
magasin des exemples et contre-exemples dans des espaces fonctionnels et de matrices.
2. (Beaucoup) plus délicat : le cours sur les courbes et surfaces (théorème des fonctions implicites,
avec l’existence d’une droite (d’un plan) tangent(e).
3. Fonctions de plusieurs variables : pratique des dérivations dans tous les sens ; conditions nécessaires
puis suffisantes pour l’existence d’un extremum local.
4. Intégrales curvilignes : savoir intégrer une forme différentielle simple sur un trajet. Savoir appliquer
Green-Riemann sur des cas d’école.
5. Intégrales multiples : tout est souvent dans la (re)paramétrisation du domaine...
2
Les exercices
2.1
Récolte 2012
Exercice 1 ZCCP
Z ; T. Abergel vs «grincheux»
Calculer I =
(x+y)2 dxdy, avec D le domaine défini par les inégalités x2 +y 2 −x 6 0 et x2 +y 2 −y > 0.
D
Exercice 2 CCP
F. Patout
 ; xy
p
si (x, y) 6= (0, 0)
x2 + y 2
Soit f (x, y) =

0
si (x, y) = (0, 0)
1. Montrer que f est continue.
2. Montrer que f admet des dérivées dans toutes les directions.
Exercice 3 Mines ; P.-L. Rothé
2
2
Soit f (x, y) = e−(x +y ) et, pour R > 0, DR = {x, y > 0; x2 + y 2 6 R2 }.
ZZ
2
2
1. Calculer
e−(x +y ) dxdy.
DR
ZZ
2
2
2. Soit CR = [0, R]2 . Calculer
e−(x +y ) dxdy.
cR
3. En déduire l’intégrale de Gauss.
4. Soit ∆ ∈ S2++ (R). Montrer :
ZZ
t
e−
X∆X
R2
dX = p
π
det(A)
5. Soient (u1 , u2 ) une famille de libre de R2 . Calculer
ZZ
2
e−kxu1 +yu2 k dxdy.
R2
1
·
Exercice 4Z TPE ; C. Demidem
√
2
On admet :
e−t dt = π.
R
ZZ
Soit A ∈ S2++ (R). Calculer
t
e− XAX dX.
R2
Exercice 5 TPE ; E. Garcia
Soit E un espace vectoriel muni d’une norme k k. On note Lc l’ensemble des endomorphismes continus
de E.
1. Montrer (avec un argument algébrique) qu’en dimension finie, il ne peut y avoir de couples (f, g) ∈
L2c tel que f ◦ g − g ◦ f = Id.
2. On se place maintenant en dimension infinie, et on note ||| ||| la norme sur Lc subordonnée à k k.
On suppose que f, g ∈ Lc vérifie f ◦ g − g ◦ f = Id.
(a) Justifier l’existence de ||| |||.
(b) Montrer que c’est une norme ( !) et qu’elle vérifie :
∀u, v ∈ Lc ,
|||u ◦ v||| 6 |||u||| × |||v||| .
(c) Calculer f 2 ◦ g − g ◦ f 2 .
(d) Que vaut f n ◦ g − g ◦ f n ?
(e) Montrer qu’il n’existe pas de tel couple (f, g).
Exercice 6 Télécom sud Paris ; E. Garcia
Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables est dense dans Mn (C).
Exercice 7 TPE ; S. Loupiac vs Gentil-Perret
Soient x0 ∈ [0, 1], et ϕ : f ∈ C 1 ([0, 1], R) 7→ f 0 (x0 ).
1. Montrer que ϕ est une forme linéaire non continue.
2. Que dire du noyau de ϕ ?
NDLR : Une norme a probablement été proposée...
Exercice 8 TPE ; Patout vs Leclerc
Soit A > 0.
1. Déterminer le maximum de xyz, pour x, y, z > 0, avec x + y + z = A.
2. Même chose, mais avec la condition 2x + y + 3z = A.
2.2
Récolte 2011
Exercice 9 ZCCP
Z
dxdy
, avec
Calculer I =
3
D (x + y)
D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 1, y > 1, x + y 6 3}.
Exercice 10 CCP
On définit f : (x, y) 7→ sin x sin y cos(x + y) sur
n
πo
∆ = (x, y) ∈ R2+ ; x + y 6
.
2
1. Extrema de f sur ∆ ?
π
1
· Montrer : sin x sin y sin z 6 ·
2
8
NDLR : sans les fonctions de plusieurs variables mais avec la concavité de ln ◦ sin, on doit pouvoir
s’en sortir également.
2. Soit (x, y, z) ∈ R3+ tel que x + y + z =
2
Exercice 11 Mines
Calculer g 00 (0), où g(x) = f (0, x) + f (x, x2 ), avec f ∈ C 2 (R2 , R).
Exercice 12 CCP
Montrer que l’équation x ln y + y ln x = ln 2 définit localement y comme une fonction ϕ de x au voisinage
de (1, 2). Donner le développement limité à l’ordre 2 de ϕ au voisinage de 1.
Exercice 13 ? ? ?
On considère F = C([0, 1], R) muni de la norme k k∞ , et ϕ une bijection continue de [0, 1] dans lui-même.
On pose enfin, pour f ∈ F , Lϕ (f ) = f ◦ ϕ.
1. Montrer que Lϕ est un endomorphisme continu de F .
2. On prend cette fois ϕ(x) = x2 , et on munit F de la norme k k1 . L’endomorphisme Lϕ est-il encore
continu ?
Cet exercice a également été posé sans l’indication de x 7→ x2 (normal : l’examinateur adapte ses indications à ce qu’il a vu depuis le début de la planche)
2.3
Recueil CCP
Exercices 54 et 56 de la partie algèbre ; exercices 44, 45, 48, de 50 à 60 de la partie analyse.
3
Ordre d’apparition à l’écran
Nous traiterons a priori les exercices dans l’ordre suivant (entre crochets : le recueil CCP) :
1, [52], 9, [55], 2, [44], 3, [45], 11, 4, [50], 12, [57], 5, [54], 6, 7, 8, 13
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