Bac blanc

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1 Exercice 1 : pour tous les candidats
1. Pour tout nombre complexe Z,onposeP(Z)=Z4−1.
(a) Factoriser P(Z).
(b) En d´eduire les solutions dans l’ensemble Cdes nombres complexes de l’´equation P(Z)=0,
d’inconnue Z.
(c) D´eduire de la question pr´ec´edente les solutions dans Cde l’´equation
d’inconnue z:µ2z+1
z−1¶4
=1.
2. (a) Leplancomplexe(P)estrapport´e`aunrep`ere orthonormal direct (O;~u, ~v) (l’unit´e graphique
est 5 cm).
Placer les points A,Bet Cd’affixes respectives :
a=−2,b=−1
5−3 5iet c=−1 5+3 5i
(b) D´emontrer que les points O,A,Bet Csont situ´es sur un cercle, que l’on d´eterminera.
3. Placer le point Dd’affixe d=−1
2.
Exprimer sous forme trigonom´etriquelenombrecomplexez0d´efini par :
z0=a−c
d−c.
En d´eduire le rapport CA
CD.
Quelle autre cons´equence g´eom´etrique peut-on tirer de l’expression de z0?
2 Exercice2:pourlesnonsp´ecialistes seulement
Dans cet exercice, on se propose d’encadrer l’int´egrale
K=Z1
0
e−x2
1+xdx.
1. En ´etudiant les variations des fonctions
x
g
7−→ e−x+x−1etx
h
7−→ 1−x+x2
2−e−x
sur l’intervalle [0; 1], d´emontrer que pour tout xde [0; 1]
1−x6e−x61−x+x2
2(1).

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2. D´eduire de (1) un encadrement de e−x2pour x´el´ement de [0; 1], puis montrer que pour tout xde
[0; 1]
1−x6e−x2
1+x61−x+x4 2(1+x)(2).
3. (a) Montrer que pour tout xde [0; 1] : x4
1+x=x3−x2+x−1+ 1 1+x.
(b) D´eduire alors de (2) que : 1
26K65 24 +ln 2 2.
Donner une valeur approch´ee de K`a3·10−2pr`es.
3Exercice2:pourlessp´ecialistes seulement
On suppose le plan rapport´eaurep`ere orthonormal direct (Ω;~u, ~v)
(unit´e graphique : 3 cm).
Partie A
Soit trois droites (D1), (D2)et(D3)s´ecantes en Ω, de vecteurs directeurs respectifs
~
d1=~u, ~
d2et ~ d3, suppos´es unitaires et tels que ³~ d1,~ d2´=π
4et ³~
d1,~
d3´=−2π
3.
On note S1,S
2et S3les r´eflexions d’axes respectifs (D1), (D2)et(D3)et
fla compos´ee S3◦S2◦S1de ces trois r´eflexions.
1. Tracer ces trois droites.
2. (a) D´eterminer la nature et les ´el´ements caract´eristiques de la transformation
r=S2◦S1.
(b) Caract´eriser la r´eflexion Stelle que r=S3◦S.
Soit (D) l’axe de S,d´eterminer un point et un vecteur directeur ~ dde (D).
Tracer la droite (D).
(c) En d´eduire la nature de fet ses ´el´ements caract´eristiques.
3. Justifier que le point Ed’affixe zE=eiπ
12 est un point de la droite (D).
D´eterminer les nombres complexes aet btels que la forme complexe de fsoit l’application f1d´efinie
sur Cpar f1(z)=a¯z+b.
Partie B
1. Choisir un point Asur (D).
On note Bl’image de Apar S1et Cl’image de Bpar S2.
Placer les points Bet C.
2. D´emontrer que Aest l’image de Cpar S3.
3. Que peut-on dire du point Ωpour le triangle ABC ?
4Probl`eme : pour tous les candidats
Soit fla fonction d´efinie sur ]0; +∞[parf(x)=(ln x)2
x.
On appelle (C)larepr´esentation graphique de f,
dans un rep`ere orthogonal ³O;~ i,~ j´du plan
(unit´es graphiques : 1 cm sur l’axe des abscisses, 2 cm sur l’axe des ordonn´ees).
Partie I
1. D´eterminer les limites de fen +∞et 0.

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2. Calculer f0(x)enfonctiondex.
Montrer que f0(x)alemˆeme signe que (ln x)(2−ln x).
D´eterminer le sens de variation de fsur ]0; +∞[.
3. Tracer la repr´esentation graphique (C)defdans ³O;~ i,~ j´.
4. On pose pour p∈N∗,
Ip=Ze2
1
(ln x)p
x2dx
a) ` A l’aide d’une int´egration par parties, calculer :
I1=Ze2
1
ln x
x2dx
b) Prouver, en effectuant une int´egration par parties,
que pour tout entier psup´erieur ou ´egal `a1:
Ip+1 =−2p+1
e2+(p+1)Ip
c) En utilisant les r´esultats pr´ec´edents, calculer successivement I2,I3et I4.
d) On fait tourner autour de l’axe des abscisses l’arc de courbe constitu´edespointsde(C),
d’abscisses comprises entre 1 et e2.
Le point Mde (C), d’abscisse x,d´ecrit alors un cercle de rayon f(x).
Calculer le volume du solide ainsi engendr´e, en unit´es de volume.
Partie II
Soit aun r´eel strictement positif et Ale point de (C)d’abscissea.
Soit (Ta)latangente`a(C)aupointA.
1. ´ Ecrire une ´equation de (Ta).
2. D´eterminer les r´eels apour lesquels (Ta) passe par l’origine Odu rep`ere.
3. Donner une ´equation de chacune des tangentes `a(C), passant par O.
Tracer ces tangentes sur la figure.
Partie III
On ´etudie maintenant l’intersection de (C)avecladroite(∆)d’´equation y=1
e2x.
1. On pose pour xstrictement positif, ϕ1(x)=x−eln x.
Montrer que ϕ1est strictement croissante sur ]e;+∞[etstrictementd´ecroissante sur ]0; e[.
2. On pose pour xstrictement positif, ϕ2(x)=x+eln x.
a) ´ Etudier le sens de variation de ϕ2sur ]0; +∞[.
b) Prouver que ϕ2(x) = 0 a une solution unique sur ·1
2;1
¸.
On appelle αcette solution ; donner un encadrement de α, d’amplitude 10−1.
c) En d´eduire que ϕ2(x) = 0 a une seule solution sur ]0; +∞[.
3. D´eterminer les points d’intersection de (C)etde(∆).