TD N2-0506

Année universitaire 2005/2006
UE Phys. 105 : Biophysique
T.D. n°2 : Second principe, Entropie
Rappel : Le nombre de microétats Ω accessibles à un gaz parfait contenu dans une enceinte
de volume V est donné par la relation
Ω = C V N U αN ,
(formule de Boltzmann)
U étant l’énergie interne, N le nombre de molécules, C une constante et α = Cv / R (3/2 pour
un gaz monoatomique, 5/2 pour un gaz diatomique).
Exercice 1
Une masse m = 56 g de diazote (masse molaire 28 g/mol) est enfermée dans un cylindre
vertical de section s = 100 cm2 par un piston de masse M = 200 kg. On maintient le vide audessus du piston. L'azote est à la température ambiante T1 = 300 K (état 1).
On prendra R = 25/3 J.K-1.mol-1. On supposera que l’accélération de la pesanteur est g =
10 m.s-2 pour les applications numériques.
1) Calculer Pp, la pression due au poids du piston, et n, le nombre de moles de ce gaz.
2) Calculer la pression et le volume dans l'état initial : P1, V1.
3) En utilisant la formule de Boltzmann, calculer pour toute transformation d'un gaz parfait
l'expression de la variation d'entropie en fonction des volumes et températures initiaux et
finaux.
4) Le piston et les parois sont considérés comme parfaitement diathermes : ils laissent passer
la chaleur et sont en contact avec un thermostat à la température T1. On verse très
progressivement une masse M’ = 200 kg de sable sur le piston pour arriver à l'état 2.
a) Calculer P2, V2, T2.
b) Calculer la chaleur Qg12 échangée avec le thermostat. En déduire la variation
d'entropie ∆Sg12 du gaz.
c) Vérifier ce résultat à partir du résultat de la question 3.
d) Quelle est la variation d'entropie de l'extérieur (thermostat) : ∆Sth12 ? De l'ensemble
intérieur + extérieur = gaz + thermostat + piston : ∆Stot12 ? Conclusion ?
e) Représenter de façon précise les états 1 et 2 et la transformation 1-2 dans le
diagramme (V, P).
5) Toujours avec le même piston, on part de l'état 1 mais on verse le sable d'un seul coup sur
le piston, tellement rapidement que l'augmentation de masse du piston est considérée comme
instantanée. Une fois l’équilibre thermodynamique atteint, on arrive ainsi à l'état 3.
a) Calculer la température et la pression finale T3 et P3.
b) Quelle est la variation d'entropie du gaz ∆Sg13 ?
c) Calculer le travail Wg13 et la chaleur Qg13 échangés.
d) Quelle est la variation d'entropie de l'extérieur (thermostat) ∆Sth13 ?
e) Quelle est la variation d'entropie de l'univers (intérieur + extérieur) ? La
transformation 1-3 est elle réversible ?
6) Le piston et les parois sont maintenant totalement adiabatiques. On répète l'opération de la
question 4 pour arriver à l'état 4 .
a) Calculer P4, V4, T4. Placer le point 4 dans le diagramme (V, P).
b) Quelle est la chaleur Qg14 échangée ?
c) Quelle est la variation d’entropie ∆Sg14 du gaz ?
d) Quelle est la variation d'entropie de l'extérieur ?
e) Quelle est la variation d'entropie de l'univers (intérieur + extérieur) ? La
transformation 1-4 est-elle réversible ?
f) Représenter la transformation 1-4 dans le diagramme (V, P).
7) Toujours avec le piston et les parois adiabatiques, on répète maintenant l'opération de la
question 5 pour arriver à l'état 5.
a) Quelle est la pression finale P5 ? Que vaut la chaleur échangée Qg15 ?
b) Exprimer le travail Wg15 échangé de deux manières différentes en fonction de T1 et T5.
En déduire la température finale T5, puis le volume final V5.
c) Placer le point 5 sur le diagramme. Où est-il par rapport à la courbe adiabatique ?
d) Calculer la variation d'entropie du gaz ∆Sg15.
e) Quelle est la variation d'entropie de l'extérieur ?
f) Quelle est la variation d'entropie de l'univers (intérieur + extérieur) ? La
transformation 1-5 est-elle réversible ?
8) Partant de l'état 4, on laisse le gaz revenir à la température ambiante, sans enlever de sable.
Les parois ne sont plus adiabatiques mais la transformation est suffisamment lente pour être
considérée comme quasi-statique. On arrive ainsi à l'état 6.
a) Préciser la nature de la transformation. Quels seront l'état d'équilibre final et la
variation d'entropie ∆Sg46 correspondante ? Tracer la transformation 4-6 dans le
diagramme (V, P).
b) Calculer le travail échangé Wg46, puis la chaleur échangée Qg46.
c) Quelle est la variation d’entropie du thermostat, ∆Sth46 ?
d) La transformation est-elle réversible ?
Exercice 2 (facultatif)
Un cylindre est divisé en deux compartiments A et B par un piston qui peut se
déplacer sans frottement. Chacun des compartiments contient 20 litres d'un même gaz parfait
à 27°C et sous une pression de 1 atmosphère : VA = VB = 20 L, TA = TB = 27°C.
Dans le compartiment A, une résistance de capacité thermique négligeable est parcourue par
un courant électrique et l'on chauffe très lentement le gaz A jusqu'à ce que les caractéristiques
du gaz B soient les suivantes : température TB’ = 137,5°C, pression PB’ = 3 atmosphères. Les
parois du cylindre et le piston sont supposés rigoureusement imperméables à la chaleur.
1) Calculer :
a) Le nombre de moles contenues dans chaque compartiment, nA, nB.
b) Le volume final VB’ du gaz B.
c) Le rapport γ des capacités thermiques après avoir précisé la nature de la transformation
du gaz enfermé dans B. Donner la nature de ce gaz (monoatomique ou diatomique) ?
d) La température finale du gaz A, TA’.
e) La variation d'énergie interne du gaz B, ∆UB.
f) La variation d'énergie interne du gaz A, ∆UA.
g) L'énergie fournie par le courant électrique.
h) Le travail des forces appliquées au piston par le gaz A.
Donnée : R = 25/3 J/(K.mol).
2) On suppose que les transformations de A et B se font lentement. Pour simplifier, on
suppose également que le mode de chauffage par la résistance est réglé de telle manière
que la température de la résistance est fixe et égale à la température finale de A : la
résistance est donc équivalente à un thermostat de température T’A.
a) On considère le système formé du gaz B et du piston. Ce système est-il toujours à
l'équilibre pendant la transformation ? La transformation inverse vous semble-t-elle
possible ? En déduire la nature réversible ou irréversible de la transformation subie par B.
b) Mêmes questions pour le gaz A en considérant le système formé du gaz A, du piston et de
la résistance.
c) Calculer, pour une transformation adiabatique quasi-statique d’un gaz parfait, la relation
entre le volume et la température.
d) En utilisant la formule de Boltzmann, calculer littéralement ∆SA et ∆SB, variations
d'entropie des gaz A et B. Application numérique.
e) Considérer le système {A + piston + résistance}. Quelle est sa variation d'entropie ? On
calculera au préalable la variation d'entropie de la résistance. La transformation totale (de A
et B) est elle réversible ?
Solution de l’exercice II
1a) nA = nB = PAVA / (RTA) = 0,8 mole
1b) VB’ = nBRTB’ / PB’ ≈ 9,12.10-3 m3
1c) La transformation du gaz B est adiabatique quasistatique donc :
γ = ln (PB’ / PB) / ln(VB / VB’) = 1,4 = 7 / 5 donc le gaz est diatomique.
1d) VA’ = 40 – VB’ = 30,88 l
TA’ = PA’VA’ / (nAR) ≈ 1390 K
1e) ∆UB = nBCv(TB’ – TB) ≈ 1840 J
1f) ∆UA = nBCv(TA’ – TA) ≈ 18200 J
1g) ∆Utotal = Wtotal + Qtotal = ∆UA + ∆UB ≈ 20 000 J avec Wtotal = o car le volume total reste
constant.
1h) Du point de vue du gaz A on a :
∆UA = WA + QA d’où WA = ∆UA – QA = ∆UA - ∆Utot = - 1840 J
Du point de vue du gaz B on a :
∆UB = WB + QB avec QB = 0 ; d’où WB = ∆UB = 1840 J
Le travail des forces appliquées au piston est donc 1840 J
2a) Le gaz B et le piston sont toujours à l’équilibre si la compression est suffisamment lente.
La transformation est donc quasi-statique dans ce cas, et, de plus, elle semble réversible, car
on peut imaginer de détendre le gaz en tirant lentement sur le piston.
2b) Le gaz A et la résistance ne sont jamais à l’équilibre au cours du chauffage du gaz A, car
ils ont des températures différentes. La transformation n’est pas quasi-statique pour ce
système (elle n’est pas une suite d’états d’équilibres), donc elle est irréversible. Bien sûr, la
transformation est au total (gaz A, gaz B, résistance, piston) irréversible, comme on va le
montrer dans la suite de façon quantitative.
T Vγ–1 = const.
2c)
2d)
∆SB = 0 (car B subit une transformation adiabatique quasi-statique).
∆SA = nR[ln(VA’/VA) + 5/2 ln(TA’/TA)] (A.N. : ∆SA= 28,5 J/K).
2e)
∆Spiston = 0 (c’est un isolant thermique parfait).
∆Srés = Qrés/Trés et Qrés = –QA (A.N. : ∆Srés = –14,4 J/K).
∆Stot > 0 (transformation irréversible).