TD 14 – lundi 11 janvier 2010 1 REXISIONS DE THERMODYNAMIQUE I – Statique des fluides Ex 1 : Un tube cylindrique retourné sur la cuve à mercure contient dans sa partie supérieure un gaz parfait. La hauteur de la colonne gazeuse est 10 cm, celle du mercure au dessus du niveau de la cuve: 60 cm. On enfonce le tube de 20 cm; la température du gaz étant restée constante, la nouvelle hauteur de la colonne de mercure n'est plus que 45 cm. En déduire la pression atmosphérique. On donne la masse volumique du mercure: 13600 kg.m-3. Ex 2 : Une demi sphère de rayon R repose sur le fond d'un récipient rempli sur une hauteur h > R d'un liquide de masse volumique µ. Le fond est percé d'une petite ouverture de manière que la pression à l'intérieur de la demi sphère soit égale à la pression atmosphérique. Calculer la force qu'un opérateur doit exercer pour soulever la demi sphère. F P° P° II–Premier principe Ex 3 : On étudie des procédés de refroidissement d’un gaz. 1°) Dans le premier, le gaz contenu dans un cylindre fermé par un piston est détendu adiabatiquement tout en maintenant sur la face externe du piston une pression très peu inférieure à la pression du gaz dans le cylindre. En assimilant celui-ci à un gaz parfait et en notant a = P1/P2 le rapport des pressions initiale et finale, exprimer la variation de température T du gaz en fonction de T1, de et de a. A.N. T1 = 298 K P1 = 10 bars P2 = 1 bar = 1,4 2°) Dans le second procédé, le gaz toujours contenu dans un cylindre fermé par un piston est détendu adiabatiquement alors que la pression exercée par le milieu extérieur sur la surface externe du piston est constante et égale à Pe. En raison des frottements, le piston finit par s’immobiliser. En supposant encore le gaz parfait, calculer T en fonction des données. A.N. T1 = 298 K P1 = 10 bars Pe = 1 bar = 1,4 III–Second principe m 200 g ; c 4,18 J. g 1 . K 1 ; 50 J/K . Dans un calorimètre de capacité thermique à la température extérieure Text , on verse une masse m d'eau à la température extérieure Text et on plonge une résistance chauffante de valeur R , alimentée sous une tension continue U . On considérera comme système l’ensemble {eau-calorimètre}. On note T la température, t le temps et c la Ex 4 : Régime transitoire thermique. On donne : capacité thermique massique de l'eau. On admet de plus que les fuites thermiques peuvent se traduire par une puissance de perte P k (T Text ) . 1. Faire un bilan d'énergie pendant un intervalle de temps dt . Montrer que 2. Exprimer et TM en fonction de m, c, , U , R, k et Text . dT T TM . dt 3. Quelle est l'interprétation physique de TM ? 4. On coupe le chauffage. On négligera la capacité thermique de la résistance chauffante. Refaire un bilan d'énergie pendant un intervalle de temps dt . En déduire T ( t ) . On notera T0 T (0) la température à l'instant t 0 . 5. On enregistre grâce à une interface la température T ( t ) au cours du refroidissement. La courbe obtenue est fournie ci-dessous. Déterminer à l’aide de la courbe , Text et déduire la valeur de k . 6. En déduire de même, littéralement puis numériquement entre les instants initial et final : la variation d'entropie pour le calorimètre la variation d'entropie pour l'eau Seau ; Scalorimètre ; TD 14 – lundi 11 janvier 2010 2 l’entropie échangée l’entropie créée Se entre le système et l’extérieur ; Sc . Conclusion. Ex 5 : Chauffage d’un immeuble par une pompe à chaleur : La pompe utilise un fluide F qui échange de l’énergie thermique avec deux sources : l’air extérieur dont la température reste constante et égale à 5°C, d’une part, et l’immeuble à température constante égale à 20°C, d’autre part. 1°) Indiquer par un schéma le principe de fonctionnement de la pompe en précisant le sens physique (ou le signe) des échanges thermiques et mécanique du fluide F. Montrer que la puissance mécanique consommée est minimale si le fonctionnement de la pompe est réversible. 2°) Définir le coefficient de performance de la pompe et calculer le coefficient optimal max en fonction des températures Ti et Te. Faire l’application numérique. 3°) La température intérieure restant Ti = 20°C, comment max varie-t-il avec la température extérieure Te ? Dans quelles circonstances une pompe à chaleur est-elle surtout intéressante ? Ex 6 : Etude de différents compresseurs 1°) Etude générale : de l’air (gaz parfait dont = 1,40 et M = 29 g.mol-1) s’écoule en régime permanent avec un débit massique D dans une canalisation calorifugée isobare (pression P), isotherme (température T) sans vitesse appréciable. Il entre dans une machine M qui fournit une puissance utile Pu thermique Pth q dt W dt et une puissance . L’air ressort sans vitesse appréciable dans une autre canalisation calorifugée, isobare (pression P’), isotherme (T’). Les symboles u, s et h désignent l’énergie interne, l’entropie et l’enthalpie massiques d’entrée. Les mêmes quantités sont affectées de l’indice « prime » en sortie. a- Montrer que la traversée de la partie active est régie par : D(h'h) Pu Pth b- On suppose en outre que les échanges de chaleur se font avec une source à température T 0 constante. Faire de même un bilan d’entropie et exprimer : D(s’-s). 2°) Application : détente de Joule-Thomson . Comment la réalise-t-on ? Quelle propriété d’un gaz parfait permet-elle de mettre en évidence ? Déterminer alors la création d’entropie par unité de temps dans M si P’ = P/2 et D = 100 g.s -1. 3°) Application : cas d’un compresseur simple : M fait passer réversiblement l’air de l’état (P, T) à (P’, T’). Déterminer la puissance mécanique du moteur Pu ainsi que la puissance thermique Pth échangée avec la source à T0 A.N. : T = 550 K T’ = 450 K P = P’/10 = 15.105 Pa T0 = 300 K et D = 100 g.s-1.