Refroidissement d`un solide à température ambiante

Chapitre 12– Exercice 3
Refroidissement d’un solide à température ambiante
1. Les bilans énergétique et entropique du solide entre l’état initial et l’état intermédiaire de température T
s’écrivent respectivement :
DU = Q = Cv (T − Ti )
Q
T − Ti
+ S c = Cv
+ Sc
T0
T0
et DS = Sr + Sc =
avec, puisqu’on néglige les variations de volume et que Cv est indépendant de la température T :
DS =
ZT
Cv
Ti
dX
= Cv ln
X
2. On en déduit l’entropie créée :
Sc = DS − Sr = Cv ln
T
Ti
− Cv
T
Ti
T − Ti
= Cv ln
T0
x
xi
− (x − xi ) = Cv [f (x) − f (xi )]
avec f (x) = ln x − x , x = T/T0 et xi = Ti /T0 .
3. La fonction f (x) a déjà été étudiée (cf. chapitre 7). Elle passe par un maximum pour x = 1 . La production
d’entropie passe donc par un maximum pour T = T0 .
4. Calculons DF :
DF = DU − T0 DS = Cv (T − Ti ) − T0 Cv ln
T Ti
= Cv T0 (x − xi ) − ln
x xi
soit : DF = −Cv T0 [f (x) − f (xi )] = −T0 Sc .
Ainsi, à une constante additive près, on a : F = −Cv T0 f (x) . Comme Cv T0 > 0 , cette fonction passe par
un minimum pour x = 1 , soit T = T0 . Ce résultat était prévisible, d’après les propriétés de F pour une
0 . Pour T = T0 , F est
transformation monotherme, lorsque le travail reçu est nul (cf. chapitre 12) : DF minimal ; le système est en équilibre thermodynamique.
6
F *(x)/CvT0
1
0
1
2
−1
f(x)=ln x − x
F IG . 1.
3 x