Refroidissement d`un solide à température ambiante

Chapitre 12– Exercice 3
Refroidissement d’un solide à température ambiante
1. Les bilans énergétique et entropique du solide entre l’état initial et l’état intermédiaire de température T
s’écrivent respectivement :
DU=Q=Cv(T−Ti)et DS=Sr+Sc=Q
T0
+Sc=Cv
T−Ti
T0
+Sc
avec, puisqu’on néglige les variations de volume et que Cvest indépendant de la température T:
DS=
T
Ti
Cv
dX
X=Cvln T Ti
2. On en déduit l’entropie créée :
Sc=DS−Sr=Cvln T
Ti
−Cv
T−Ti
T0
=Cvln x
xi
−(x−xi) = Cv[f(x)−f(xi)]
avec f(x)=ln x−x,x=T/T0et xi=Ti/T0.
3. La fonction f(x)a déjà été étudiée (cf. chapitre 7). Elle passe par un maximum pour x=1 . La production
d’entropie passe donc par un maximum pour T=T0.
4. Calculons DF:
DF=DU−T0DS=Cv(T−Ti)−T0Cvln T
Ti
=CvT0(x−xi)−ln x
xi
soit : DF=−CvT0[f(x)−f(xi)] = −T0Sc.
Ainsi, à une constante additive près, on a : F=−CvT0f(x). Comme CvT0>0 , cette fonction passe par
un minimum pour x=1, soit T=T0. Ce résultat était prévisible, d’après les propriétés de Fpour une
transformation monotherme, lorsque le travail reçu est nul (cf. chapitre 12) : DF0 . Pour T=T0,Fest
minimal ; le système est en équilibre thermodynamique.
1
012 3x
−1
F*(x)/CvT0
f(x)=ln x−x
FIG.1.