Algèbre

⋇ Ensembles, relations, applications ⋇
Opérations sur les parties d’un ensemble
Définition – Inclusion
Soient E et F deux ensembles. On dit que E est inclus dans F si tout élément de E est élément de F.
E ⊂ F ⟺ (x ∈ E ⇒ x ∈ F)
On dit que E est une partie, un sous-ensemble de F.
Définition – Réunion
Si A et B sont des ensembles, les objets appartenant à A ou à B constituent un ensemble noté A ∪ B appelé réunion de A et
de B.
x ∈ A ∪ B ⟺ x ∈ A ou x ∈ B
Définition – Sélection
Si E est un ensemble et ℛ une relation, les éléments de E vérifiant la relation ℛ constituent un ensemble donc une partie de
E.
Définition – Ensemble des parties
Si E est un ensemble, les parties de E sont les éléments d’un nouvel ensemble 𝒫(E) appelé ensemble des parties de E.
Opérations sur 𝒫(E)
∩ et ∪ sont des lois de composition interne sur 𝒫(E)
∩ commutative, associative, E élément neutre
∪ commutative, associative, ∅ élément neutre
Distributive l’une par rapport à l’autre
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
et
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Théorème – Passage au complémentaire
Pour tous les éléments A et B de 𝒫(E) on a :
𝐴̿ = 𝐴
𝐴=𝐵 ⟺
𝐴̅ = 𝐵̅
̅̅̅̅̅̅̅
Lois de De Morgan
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴̅ ∪ 𝐵̅ et
̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴̅ ∩ 𝐵̅
Définition – Différence de deux sous-ensembles
On appelle différence de deux sous-ensemble A et B, le sous ensemble 𝐴 ∩ 𝐵̅ des éléments qui sont dans A mais qui
n’appartiennent pas à B. On note A\B
* attention A\B = ∅ ne veut pas dire que A = B mais que A ⊂ B
Définition – Partition
Une partition d’un ensemble E est une famille de parties non vides de E disjointes 2 à 2 dont la réunion est l’ensemble E
19/04/2017
Algèbre – Ensembles, relations, applications | 1
Ensembles finis, infinis, dénombrables
Définition – Equipotence
Etant deux ensembles A et B, on dit que A est équipotent à B ssi il existe une bijection f de A sur B.
* L’équipotence est une relation d’équivalence
Définition – Ensemble fini
Soit A un ensemble non vide. On dit que l’ensemble A est fini ssi il existe un entier n ≥ 1 tel que A soit équipotent à
l’ensemble {1, …, n}
Théorème
Soient A et B deux ensembles finis et f une application de A dans B
f<A> est fini et on a Card f<A> ≤ Card B
f est une injection ssi Card f<A> = Card A
f est une bijection ssi Card f<A> = Card B
Définition – Ensemble infini
Tout ensemble qui n’est pas fini est par définition infini
Théorème
Si un ensemble E est équipotent à l’une de ses parties strictes alors E est infini
Définition – Ensemble infini dénombrable
Tout ensemble E équipotent à l’ensemble ℕ des entiers naturels est infini et dénombrable
19/04/2017
Algèbre – Ensembles, relations, applications | 2
Fonction caractéristique d’un ensemble
Définition – Fonction caractéristique d’un ensemble
Soit A un sous-ensemble de E. On appelle fonction caractéristique de E dans ℝ notée 𝜑A définie par
𝜑A(x) = 1 si x ∈ A
𝜑A(x) = 0 si x ∉ A
* A = B ⟺ 𝜑A = 𝜑B
Propriétés
𝜑A2 = 𝜑A
𝜑E = 1
𝜑∅ = 0
𝜑A∩B = 𝜑A 𝜑B
𝜑A∪B = 𝜑A + 𝜑B - 𝜑A 𝜑B
φA̅ = 1 − φ𝐴 φ𝐴 φA̅ = 0
A ⊂ B ⟺ 𝜑A ≤ 𝜑B
19/04/2017
𝜑A\B = 𝜑A - 𝜑A 𝜑B
Algèbre – Ensembles, relations, applications | 3
Relations
Définition – Produit cartésien
Etant donnés deux ensembles A et B, l’ensemble des couples de la forme (a, b) avec a ∈ A et b ∈ B est appelé produit
cartésien de A et de B et se note A ⨉ B = {(a, b) | a ∈ A et b ∈ B}
* On peut généraliser le produit cartésien à n ensembles
Définition – Relations
Soient deux ensembles non vides E et F et g une partie de E ⨉ F. Si x et y appartiennent respectivement à E et à F on écrit
x ℛ y pour exprimer que (x, y) est un élément de G. On détermine ainsi une relation ℛ entre éléments de E et de F que l’on
note (E, F, G). G est le graphe de la relation, E l’ensemble de départ, F l’ensemble d’arrivée.
ℛ = (E, F, G) est définie par ∀(x, y) ∈ E ⨉ F x ℛ y ⟺ (x, y) ∈ G
* égalité de deux relations (E, F, G) et (E’, F’, G’) lorsque E=E’ et F=F’ et G=G’
Définition – Ensemble de définition
L’ensemble de définition de la relation ℛ est la partie A de E telle que A = {x ∈ E | ∃y ∈ F x ℛ y}
Définition – Ensemble image
L’ensemble image de la relation ℛ est le sous-ensemble B de F tel que B = {y ∈ F | ∃x ∈ E x ℛ y}
Définition – Relation fonctionnelle
Une relation ℛ = (E, F, G) est dite fonctionnelle (ou une fonction) lorsque que quelque soit l’élément x de E, il existe au plus
un élément y de F tel que x ℛ y
19/04/2017
Algèbre – Ensembles, relations, applications | 4
Applications
Définition – Applications
On dit que la relation f = (E, F, G) où G est une partie non vide de E ⨉ F est une application de E dans F si quel que soit x de E il
existe un élément y de F et un seul tel que x f y c'est-à-dire tel que (x, y) ∈ G.
y est noté f(x) et s’appelle l’image de x par f
x est par définition un antécédent de y
* Deux applications f et g sont égales si elles ont même ensemble de départ, même ensemble d’arrivée et f(x) = g(x) pour
tout x de l’ensemble de départ
* Une fonction est donc une application si on ne considère que son ensemble de définition
Définition – Restriction, prolongement
Soit f une application de E vers F
Si A est une partie de E, la restriction de f à A, notée f|A est l’application de A dans F définie par ∀x ∈ A f|A(x) = f(x)
On appelle prolongement de f toute application g définie sur un ensemble A contenant E et vérifiant
∀x ∈ E f(x) = g(x)
Définition – Injective
On dit qu’un application f de E dans F est une injection ou est injective si elle vérifie l’une des trois propriétés suivantes :
1 – Tout élément de F a au plus un antécédent par f
2 – Pour tout y ∈ F, l’équation f(x) = y possède au plus une solution
3 – ∀(x1, x2) ∈ E² f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
Définition – Surjective
On dit qu’une application f de E dans F est une surjection ou est surjective si elle vérifie l’une des trois propriétés suivantes :
1 – Tout élément de F a au moins un antécédent par f
2 – Pour tout y ∈ F, l’équation f(x) = y possède au moins une solution
3 – ∀y ∈ F, ∃x ∈ E, y = f(x)
Définition – Bijective et réciproque
On dit qu’une application f de E dans F est une bijection ou est bijective si elle est injective et surjective, c'est-à-dire si elle
vérifie l’une des trois propriétés suivantes :
1 – Tout élément de F a un et un seul antécédent par f
2 – Pour tout y ∈ F, l’équation f(x) = y possède une solution unique
3 – ∀y ∈ F, ∃x ∈ E, unique, y = f(x)
* On appelle l’application de F dans E qui a chaque élément de F associe son unique antécédent pour f la réciproque de f et
on la note f-1
∀(x, y) ∈ E ⨉ F, y = f(x) ⟺ x = f-1(y)
* f o f-1 = f-1 o f= IdE et (f-1)-1=f
* Pour montrer que f est bijective, on peut montrer qu’il existe g de F dans E tel que f o g = Id F et g o f = IdE (donc sans utiliser
injectivité et surjectivité)
Définition – Composition d’application
Soient trois ensembles non vides E, F et G. Si f est une application de E dans F et g une application de F dans G, on appelle
application composée de f et de g l’application notée f o g de dans G définie par ∀x ∈ E (g o f)(x) = g(f(x))
* o est une loi associative non commutative
* Si f et g sont injectives/surjectives/bijectives g o f est injective/surjective/bijective
* (g o f) -1 = f-1 o g-1
Proposition
Etant donnée une application f de E dans F et B et B’ deux parties de F, on a les relations suivantes
1 – B ⊂ B’ ⇒ f-1(B) ⊂ f-1(B’)
2 – f-1(B ∪ B’) = f-1(B) ∪ f-1(B’)
3 – f-1(B ∩ B’) = f-1(B) ∩ f-1(B’)
−1 (B)
̅) = f̅̅̅̅̅̅̅̅̅
4 – f-1(B
19/04/2017
Algèbre – Ensembles, relations, applications | 5
⋇ Dénombrement ⋇
Nombre d’applications
A et B ensembles finis non vides
Card A = p et Card B = n
Nombre d’applications de A dans B = np
Nombre de parties d’un ensemble
On note 𝒫(E) l’ensemble des parties de E
Card 𝒫(E) = 2n
Nombre de permutations
A et B ensembles finis non vides
Card A = p et Card B = n tels que 1 ≤ p ≤ n
Nombre d’injection de A dans B = nombre de permutation de p éléments parmi n = arrangement d’ordre p d’un ensemble de
𝑝
cardinal n = 𝐴𝑛
𝑝
𝑛!
𝐴1𝑛 = 𝑛
𝐴𝑛 = (𝑛−𝑝)!
𝐴𝑘+1
= (𝑛 − 𝑘)𝐴𝑘𝑛
𝑛
* attention (1,2,3) ≠ (1,3,2)
* Nombre de bijections = 𝐴𝒏𝑛 = 𝒏!
Combinaison
E fini n éléments
Combinaison d’ordre p de E = choisir p éléments parmi n (sans ordre)
𝑝
𝑝
𝐶𝑛0 = 𝐶𝑛𝑛 = 1
𝐴𝑛 = 𝑝! 𝐶𝑛
𝑝
𝐶𝑛 =
𝑛!
𝑝
𝑛−𝑝
𝐶𝑛 = 𝐶𝑛
𝑝!(𝑛−𝑝)!
𝑝
𝑝−1
𝑝
𝑝
𝑝−1
𝑝
𝐶𝑛 = 𝐶𝑛−1 + 𝐶𝑛−1
Triangle de Pascal
On le remplit à l’aide de la formule 𝐶𝑛 = 𝐶𝑛−1 + 𝐶𝑛−1
p 0
1
2
3
4
n
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
Binôme de Newton
𝑝
(𝑥 + 𝑦)𝑛 = ∑𝑛𝑝=0 𝐶𝑛 𝑥 𝑛−𝑝 𝑦 𝑝
𝑝
(𝑥 + 1)𝑛 = ∑𝑛𝑝=0 𝐶𝑛 𝑥 𝑛−𝑝
𝑝
(1 + 1)𝑛 = 2𝑛 = ∑𝑛𝑝=0 𝐶𝑛
19/04/2017
Algèbre – Dénombrement | 7
⋇ Relations binaires sur un ensemble ⋇
Généralités
Défintion – Relations binaires
On appelle relation binaire sur un ensemble E non vide toute relation ℛ ayant E pour ensemble de départ et d’arrivée. Le
graphe de ℛ est une partie de E ⨯ E.
Définition – Relations réflexives
Une relation binaire ℛ sur E est réflexive lorsque ∀x ∈ E, x ℛ x
Définition – Relations symétriques
Une relation binaire ℛ sur E est symétrique lorsque pour tout couple (x, y) tel que x ℛ y on a aussi y ℛ x
Définition – Relations antisymétriques
Une relation binaire ℛ sur E est antisymétrique lorsque pour tout couple (x, y)
x ℛ y et y ℛ x ⇒ x = y
* une relation peut être ni symétrique ni antisymétrique
Définition – Relations transitives
Une relation binaire ℛ sur E est transitive lorsque ∀(x, y, z) ∈ E3, x ℛ y et y ℛ z ⇒ x ℛ z
19/04/2017
Algèbre – Relations binaires sur un ensemble | 9
Relations d’équivalence
Définition – Relations d’équivalence
On appelle relation d’équivalence sur un ensemble E toute relation binaire sur E qui est à la fois réflexive, symétrique et
transitive.
On écrit x ≡ y (mod ℛ)
Définition – Classes d’équivalence
Soit ℛ une relation d’équivalence sur l’ensemble E et a un élément de E. On appelle classe d’équivalence de a pour la relation
ℛ (ou modulo ℛ) l’ensemble de tous les éléments de E équivalents à a.
La classe de a est donc égale à {x ∈ E, x ℛ a} = a̅
* Toute classe est non vide
* Tout élément appartient à une classe
Théorème – Comparaison de deux classes d’équivalence
Soit ℛ une relation d’équivalence sur E. Pour tous éléments a et b de E on a
a ∈ a̅
a ≡ b (mod ℛ) ⟺ a̅ = b̅ ⟺ a̅ ∩ b̅ ≠ ∅
* deux classes d’équivalence sont confondues ou disjointes
Théorème – Réunion des classes d’équivalence
Si ℛ est une relation d’équivalence, la famille (a̅)𝑎∈𝐸 des classes d’équivalence modulo ℛ est une partition de E
Définition – Ensemble quotient
L’ensemble quotient de E par la relation d’équivalence ℛ noté E/ ℛ est l’ensemble des classes d’équivalence de E suivant ℛ.
* On appelle une application canonique (surjective) l’application p qui associe à tout élément de E sa classe d’équivalence.
19/04/2017
Algèbre – Relations binaires sur un ensemble | 10
Relations d’ordre
Définition – Relation d’ordre
On appelle relation d’ordre sur un ensemble E toute relation binaire sur E qui est à la fois réflexive, antisymétrique et
transitive.
On note ⊰ et la relation opposée ⊱
Définition – Ensemble ordonné
Tout ensemble E sur lequel on définit une relation d’ordre ⊰ est un ensemble ordonné (E,⊰)
Définition – Eléments comparables
Soit un ensemble ordonné (E,⊰). On dit que deux éléments x et y de E sont comparables si l’on a x ⊰ y ou y ⊰ x
Définition – Ordre total / partiel
Soit un ensemble ordonné (E,⊰). On dot que l’ordre défini sur E par ⊰ est total si deux éléments x et y de E quels qu’ils soient
sont comparables
Dans le cas contraire l’ordre est dit partiel. (E,⊰) est partiellement ordonné s’il existe dans E au moins deux éléments non
comparables.
Définition – Ordre strict
Une relation binaire ℛ sur E est une relation d’ordre strict si elle vérifie les conditions
∀(x, y) ∈ E2, x ℛ y ⇒ x ≠ y
ℛ est transitive
* Une relation d’ordre strict n’est pas une relation d’ordre
Définition – Majorants / Minorants
Soit (E,⊰) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E.
On dit qu’un élément a de E est un majorant de A si ∀x ∈ A, x ⊰ a
On dit qu’un élément b de E est un minorant de A si ∀x ∈ A, b ⊰ x
Définition – Partie majorée, minorée, bornée
Soit A une partie non vide d’un ensemble ordonné
A est majoré si elle a au moins un majorant
A est minoré si elle a au moins un minorant
A est bornée si elle est à la fois majorée et minorée
Théorème et définition – Plus grand élément / plus petit élément
Soit A une partie non vide de l’ensemble ordonné (E,⊰)
S’il existe un majorant de A dans A, il est unique et on l’appelle le plus grand élément de A, éventuellement maximum de A,
noté max A.
S’il existe un minorant de A dans A, il est unique et on l’appelle le plus petit élément de A, éventuellement minimum de A,
noté min A.
Définition – Borne supérieure, borne inférieure
Si l’ensemble M des majorants de A n’est pas vide et si M a un plus petit élément celui-ci est appelé borne supérieure de A,
notée sup A.
Si l’ensemble des minorants de A n’est pas vide et s’il a un plus petit élément celui-ci est appelé borne inférieure de A, notée
inf A.
* Si elles existent la borne supérieure et la borne inférieure sont uniques
* Si A admet un plus grand élément alors sup A = max A
19/04/2017
Algèbre – Relations binaires sur un ensemble | 11
⋇ Lois de composition interne ⋇
Définition et propriétés d’une l.c.i
Définition – Loi de Composition Interne
Soit E un ensemble non vide. On appelle loi de composition interne définie sur E toute application de E 𝗑 E dans E. On associe
ainsi à chaque couple (x,y) d’éléments de E un élément de E noté x ∗ y, qui est par définition le composé de x et y par la loi ∗.
Définition – Associativité
Une loi de composition interne définie sur E, notée ∗, est associative ssi quels que soient les éléments x, y, et z de E on a
l’égalité : (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
Définition – Commutativité
Une loi de composition interne ∗ définie sur un ensemble E est commutative ssi :
(∀(x, y) ∈ E²)
x∗y=y∗x
Définition – Distributivité
Soit ∗ et ⊤ deux lois de composition interne définies sur l’ensemble E. On dit que la loi ∗ est distributive par rapport à la loi ⊤
ssi quels que soient les éléments x, y, z de E :
x ∗ (y ⊤ z) = (x ∗ y) ⊤ (x ∗ z) (distributivité à gauche)
(y ⊤ z) ∗ x = (y ∗ x) ⊤ (z ∗ x) (distributivité à droite)
Définition – Partie stable
Soit E un ensemble muni d’une lci *. Une partie A, non vide, de E est stable par la loi * ssi :
(∀(x, y) ∈ A²)
x∗y∈A
Définition – Compatibilité d’une l.c.i et d’une relation binaire
Si ∗ est une loi de composition interne sur l’ensemble E, et ℛ une relation binaire définie dans E, on dit que la loi ∗ est
compatible avec la relation ℛ si quels que soient les éléments x1, x2, y1, y2 de E
x1 ℛ x2 et y1 ℛ y2 ⟹ (x1 ∗ y1) ℛ (x2 ∗ y2)
19/04/2017
Algèbre – Lois de composition interne | 13
Propriétés des éléments
Définition – Éléments neutres
Soit ∗ une loi de composition interne sur l’ensemble E. Un élément e de E est élément neutre pour la loi ∗ ssi : (∀x ∈ E)
e=e∗x=x
x ∗
* S’il existe un élément neutre, il est unique
Définition – Éléments symétrisables
Soit ∗ une loi de composition interne sur l’ensemble E, ayant un élément neutre e . Un élément x de E est symétrisable pour ∗
ssi il existe un élément x’ de E tel que x ∗ x’ = x’ ∗ x = e. On dit que x’ est le symétrique de x pour la loi ∗.
* Pour une loi de composition interne associative et possédant un élément neutre, si l’élément x admet un symétrique il est
unique.
* Soit ∗ une loi de composition interne sur l’ensemble E, ayant un élément neutre. Si les éléments x et y de E ont
respectivement pour symétriques x’ et y’, alors x ∗ y est symétrisable et a pour symétrique y’ ∗ x’
Définition – Éléments réguliers (ou simplifiables)
Soit ∗ une loi de composition interne sur l’ensemble E. Un élément a de E est régulier (ou simplifiable) pour la loi ∗ ssi pour
tout couple (x, y) d’éléments de E :
a ∗ x = a ∗ y => x = y (régulier à gauche) et x ∗ a = y ∗ a => x = y (régulier à gauche)
* Soit ∗ une loi de composition interne sur l’ensemble E. Si ∗ est associative et possède un élément neutre alors tout élément
symétrisable de E est régulier.
Définition – Éléments absorbants
Un élément s de E est absorbant (ou singulier) pour la loi de composition interne ∗ définie sur E ssi
(∀x ∈ E) x ∗ s = s ∗ x = s
19/04/2017
Algèbre – Lois de composition interne | 14
⋇ Groupes ⋇
Définition
Définition – Groupes
Soit G un ensemble sur lequel est définie une lci ∗
On dit que (G, ∗) est un groupe ssi
① la loi ∗ est associative
② ∗ admet dans G un élément neutre e
③ tout élément de G a un symétrique pour la loi ∗
c’est-à-dire (∀x ∈ G) (∃x’ ∈G) x ∗ x’ = x’ ∗ x = e
* Si de plus la loi ∗ est commutative le groupe (G, ∗) est dit commutatif ou abélien
Théorème
Tout élément d’un groupe (G, ∗) est régulier ou simplifiable pour la loi du groupe
L’équation a ∗ x = b est équivalente à x = b ∗ a’ où a’ est le symétrique de a pour la loi ∗
Définition – Ordre d’un groupe
Lorsqu’un groupe (G, ∗) est fini, on appelle ordre du groupe le cardinal de G
19/04/2017
Algèbre – Groupes | 15
Sous-groupes
Définition – Sous-groupes
Soit (G, ∗) un groupe et H une partie de G. H est un sous-groupe de G ssi
① H est stable pour ∗
② (H, ∗) est un groupe
Théorème – Caractérisation des sous-groupes
Soit un groupe (G, ∗) et H une partie de G. Les trois énoncés suivants sont équivalents :
① H est un sous-groupe de (G, ∗)
② H non vide
H stable pour ∗
H contient le symétrique pour ∗ de chacun de ses éléments
③ H non vide
(∀(x, y) ∈ H²) x ∗ y’ ∈ H, y’ étant le symétrique de y dans le groupe (G, ∗)
Théorème – Intersection de sous-groupes
L’intersection de deux sous-groupes d’un groupe (G, ∗) est un sous-groupe de (G, ∗)
Proposition – Sous-groupe engendré
Si A est une partie non vide d’un groupe G, il existe un plus petit sous-groupe (pour l’inclusion) de G contenant A, appelé
sous-groupe engendré par A et on le note Gr(A)
* C’est l’intersection de tous les sous-groupes de G contenant A
Définition – Partie génératrice d’un groupe
On dit qu’une partie A d’un groupe G est génératrice d’un groupe G, ou qu’elle engendre G, si le sous-groupe engendré par A
est égal à G.
Propriété
Si a est un élément du groupe (G, ⦁), le sous-groupe engendré par {a} est Gr(a) = {ak | k ∈ ℤ}
Ce sous-groupe est commutatif
Proposition
Le sous-groupe de G engendré par un élément x c'est-à-dire par la partie {x} est :
{xn, n ∈ ℤ} dans le cas d’un groupe multiplicatif
{nx, n ∈ ℤ} dans le cas d’un groupe additif
* réciproquement tout élément de G peut s’écrire sous la forme xn ou nx (n n’est pas unique)
19/04/2017
Algèbre – Groupes | 16
Groupes cycliques
Définition – Groupes monogènes / cycliques
On dit qu’un groupe G est monogène si l’on peut trouver une partie génératrice à un élément. Si de plus G est fini, on dit que
G est cyclique
* Tout groupe monogène est commutatif
Définition – Ordre d’un élément
On appelle ordre de l’élément a le cardinal du sous-groupe ⟨a⟩ qu’il engendre
Proposition
* Tout groupe monogène infini est isomorphe à ℤ
L’application 𝜑x : ℤ → G est un alors morphisme de groupe bijectif
n ↦ xn (ou n ↦ nx si le groupe est additif)
* Tout groupe cyclique à n éléments est isomorphe à ℤ/nℤ
Le sous-groupe engendré par x est alors {e, x, …, xp-1} il est de cardinal p et l’on dit que x est d’ordre p (le plus petit entier
naturel p non nul tel que xp = e)
Petit théorème de Lagrange
Si a est un élément d’un groupe commutatif fini à m éléments, on a am = e et l’ordre de a divise m.
Proposition
Etant donné un groupe cyclique G d’ordre n, un générateur x de G et un entier relatif k, l’ordre de xk est n/d où d = n ∧ k.
En particulier xk engendre G ssi k et n sont premiers entre eux
19/04/2017
Algèbre – Groupes | 17
Groupes symétriques
n est un entier naturel non nul
𝒮n l’ensemble des permutations de l’ensemble ⟦1, n⟧ (c'est-à-dire des bijections de ⟦1, n⟧ dans lui-même)
Proposition
𝒮n muni de la composition des applications est un groupe de cardinal n!, que l’on appelle groupe symétrique.
* Si n ≥ 3 le groupe 𝒮n n’est pas commutatif
Définition – Support et ordre
On appelle support de la permutation 𝜎 de E, l’ensemble des éléments i ∈ E tels que 𝜎(i) ≠ i.
On appelle ordre de la permutation 𝜎 de E le plus petit entier k ≥ 1 tel que 𝜎(E) = E
* Deux permutations de support disjoint commutent
Définition – Transposition
Une transposition est une permutation qui échange deux éléments et laisse les autres inchangés. On la note (i, j).
Proposition
Toute permutation de ⟦1, n⟧ est un produit de transpositions
Le groupe 𝒮n est donc engendré par l’ensemble des transpositions
Définition – Inversion
Soit 𝜎 ∈ 𝒮n. On dit qu’un couple (i, j) d’éléments de ⟦1, n⟧ est une inversion de 𝜎 si i < j et 𝜎(i) > 𝜎(j)
On note I(𝜎) le nombre d’inversions de 𝜎.
Définition – Signature
On appelle signature d’une permutation 𝜎 ∈ 𝒮n, le réel ε (𝜎) = (-1) I(𝜎)
Une permutation paire est une permutation de signature 1
Une permutation impaire est une permutation de signature -1
Proposition
La signature d’une transposition est égale à -1
Théorème
Si 𝜎 et 𝜏 sont deux permutations de ⟦1, n⟧ on a :
ε(𝜎𝜏) = ε(𝜎) ε(𝜏)
L’application ε est donc un morphisme de groupes de 𝒮n vers ({-1, 1}, 𝗑)
Corollaire
Si 𝜎 = 𝜏1𝜏2 …𝜏p est une décomposition en produit de transpositions de la permutation 𝜎, alors ε(𝜎) = (-1)p
* La parité du nombre de transpositions nécessaires pour décomposer une permutation donnée est indépendante de la
décomposition choisie
Définition – Groupe alterné
On appelle groupe alterné An, le noyau du morphisme signature c'est-à-dire l’ensemble des permutations paires.
Proposition
Si 𝜏 ∈ 𝒮n est une permutation impaire alors l’ensemble des permutations impaires est A n.𝜏 = {𝜏 | 𝜎 ∈ An}
Corollaire
Le groupe An est de cardinal n!/2
19/04/2017
Algèbre – Groupes | 18
⋇ Anneaux ⋇
Définition
Définition – Anneaux
Soit A un ensemble muni de deux lci notées ⊤ et ∗. On dit que (A, ⊤, ∗) est un anneau ssi :
① (A, ⊤) est un groupe commutatif
② la loi ∗ est associative
③ ∗ admet dans A un élément neutre e (élément unité)
④ ∗ est distributive par rapport à ⊤
* Dans l’ancienne définition un anneau vérifiait les axiomes 1 à 3 et on appelait anneau unitaire un anneau qui vérifiait le 4
Définition – Sous-anneau
Une partie H de A est un sous-anneau de l’anneau (A, ⊤, ∗) ssi
① H est stable pour les deux lois
② H contient 1A élément unité de A
③ Les restrictions à H de ⊤ et ∗ donnent à H une structure d’anneau
Théorème
Une partie H de A est un sous-anneau de l’anneau (A, +, ∗) ssi
① ∀(a, b) ∈ H² a – b ∈ H
②1A ∈ H
③∀(a, b) ∈ H² a ∗ b ∈ H
Définition - Caractéristique d’un anneau
La caractéristique d'un anneau A est le plus petit entier naturel non-nul n tel que n.1A = 1A + 1A + … + 1A = 0A
* Si un anneau est non trivial (card ≥ 2) est de caractéristique nulle alors il est de cardinal infini
19/04/2017
Algèbre – Anneaux | 19
Propriétés de calcul dans un anneau
Propriété – Eléments absorbant
0 (élément neutre de la première loi) est absorbant pour la 2ème loi de l’anneau (A, +, ∗)
c'est-à-dire ∀a ∈ A, 0 ∗ a = 0
Propriétés
Pour tout couple (a, b) ∈ A² on a : a ∗ (-b) = (-a) ∗ b = -(a ∗ b)
Quels que soient les éléments a, b, c de A on a : a ∗ (b – c) = a ∗ b – a ∗ c
Définition – Diviseur de zéro
Soit un anneau (A, +, ∗) non réduit à {0}. Un élément a de A-{0} est un diviseur de zéro ssi il existe un élément b de A-{0} tel
que : a ∗ b = 0 ou b ∗ a = 0
b est aussi un diviseur de zéro
* un diviseur de zéro ne peut pas être inversible
* un élément peut être ni inversible ni diviseur de zéro (dans ℤ seuls 1 et -1 sont inversibles)
Définition – Anneau intègre
Un anneau (A, +, ∗) non réduit à {0} est dit intègre s’il est commutatif et s’il n’a pas de diviseur de zéro
* Les anneaux (ℝ, +, ⨯) et (ℤ+, ⨯) sont intègres
* Dans un anneau (A, +, ∗) intègre ∀(a, b) ∈ A², a ∗ b = 0 ⟺ a = 0 ou b = 0
* Un anneau fini est intègre ssi c’est un corps
Propriétés – Elements inversibles
L’ensemble des éléments inversibles d’un anneau (A, +, ∗) est un groupe pour la loi ∗
* Un élément de A n’a pas nécessairement un symétrique pour la loi ∗
19/04/2017
Algèbre – Anneaux | 20
Idéal d’un anneau commutatif
Définition – Idéal
On appelle idéal d’un anneau commutatif A tout sous-groupe additif de A vérifiant la propriété suivante
∀(a, i) ∈ A 𝗑 I, ai ∈ I
* Un idéal n’est pas forcément un sous-anneau de A car il ne contient pas forcément 1
* A et {0} sont des idéaux de A
* Un idéal de A vaut A ssi il contient 1 ou plus généralement un élément inversible
* L’intersection de deux idéaux de A est un idéal de A
* La somme I + J = {i + j |(i, j) ∈ I 𝗑 J} est un idéal
Caractérisation d’un idéal
Une partie I de A est un idéal ssi elle contient 0 et vérifie ∀(a, b) ∈ A², ∀(i, j) ∈ I², ai + bj ∈ I
Morphisme et idéal
* Si A est un anneau commutatif et 𝜑 un morphisme d’anneau de A vers B, alors le noyau de 𝜑 est un idéal
* L’image d’un idéal de A n’est pas forcément un idéal de B
* L’image réciproque d’un idéal de B est un idéal de A
Proposition – Idéal engendré par un élément
Le sous-ensemble aA = {au | u ∈ A} est le plus petit élément de A contenant a
On l’appelle l’idéal engendré par a.
* Pour tout (a, b) ∈ A² la somme aA + bA = {au + bv | (u,v) ∈ A² } est le plus petit idéal contenant {a, b}
Définition – Idéal principal
Un idéal est dit principal s’il est engendré par un unique élément
Définition – Divisibilité
On dit qu’un élément a divise un élément b de A ce que l’on note a |b s’il existe c ∈ A tel que ac = b
* a est un diviseur de b
* b est un multiple de a
* La relation de divisibilité est réflexive et transitive (en général elle n’est pas antisymétrique)
* Par définition l’ensemble des multiples d’un élément a ∈ A est l’idéal aA
* L’élément nul (neutre de l’addition) est un multiple de tout élément de A mais ne divise que lui-même
* L’élément unité 1 divise tout élément mais n’est multiple que des éléments inversibles de A
Propositions
* ∀(x, y) ∈ A2, x | y ⇔ yA ⊂ xA
* Soit (a, b, c, x, y) ∈ A5. Si a divise b et c, alors a divise xb + yc
Proposition
Si a et b appartiennent à A, les 3 propositions suivantes sont équivalentes
1. a | b et b | a
2. aA = bA
3. il existe un élément inversible u de A tel que b = ua
19/04/2017
Algèbre – Anneaux | 21
⋇ Corps ⋇
Définitions
Définition – Corps
Un ensemble 𝕂 muni de deux lois de composition interne est un corps ssi
① (𝕂, +, 𝗑) est un anneau commutatif
② le zéro et l’élément neutre unité e de 𝕂 sont distincts 𝕂 ≠ {0}
③ Tout élément de 𝕂 – {0} a un inverse pour la loi 𝗑
Définition – Corps
① (𝕂, +) est un groupe commutatif
② 𝕂* = 𝕂 – {0} muni de la loi 𝗑 est un groupe commutatif
③ 𝗑 est distributive par rapport à la loi +
* L’ensemble ℝ muni de l’addition et de la multiplication est un corps
Propriétés
Un corps (𝕂, +, 𝗑) n’a pas de diviseur de zéro c'est-à-dire ∀(a, b) ∈ K², a ∗ b = 0 ⟺ a = 0 ou b = 0
Définition – Sous-corps
Une partie H de 𝕂 est un sous-corps de (𝕂, +, 𝗑) ssi
① H est un sous-anneau de (𝕂, +, 𝗑)
② ∀x ∈ H – {0} x-1 ∈ H – {0}
* 𝕂 est un sur-corps de H
* L’ensemble ℚ des nombres rationnels muni de l’addition et de la multiplication est un sous corps de (ℝ, +, 𝗑)
Caractéristique d’un corps
Caractéristique d’un corps
La caractéristique d'un corps A est le plus petit entier naturel non nul n tel que n.1A = 1A + 1A + … + 1A = 0A
La caractéristique d’un corps est soit nulle, soit un nombre premier
* Les corps ℚ, ℝ, ℂ sont de caractéristique nulle et le corps fini ℤ/pℤ de caractéristique p (p premier)
19/04/2017
Algèbre – Corps | 23
⋇ Algèbre ⋇
Définitions
Définition – Algèbre
Une algèbre sur un corps commutatif 𝕂 ou plus simplement une 𝕂-algèbre est une structure algébrique (A, +, •, 𝗑) telle que :
(A,+,•) est un 𝕂-espace vectoriel
La loi 𝗑 est une loi de composition interne de A 𝗑 A dans A
La loi 𝗑 est distributive par rapport à +
∀ α ∈ 𝕂, ∀ a, b ∈ A, (α•a) 𝗑 b = α•(a 𝗑 b) = a 𝗑 (α•b)
Définition – Algèbre associative unitaire
Une 𝕂-algèbre associative unitaire est une 𝕂-algèbre (A,+, 𝗑 ,•) où la loi 𝗑 est associative avec un élément neutre
* C’est équivalent à
(A,+,•) est un 𝕂 -espace vectoriel
(A,+, 𝗑) est un anneau
∀ α ∈ 𝕂, ∀ a, b ∈ A, (α•a) 𝗑 b = α•(a 𝗑 b) = a 𝗑 (α•b)
Définition – Morphisme d’algèbre
On appelle morphisme d’une 𝕂-algèbre E dans une 𝕂-algèbre F toute application linéaire de E dans F qui est aussi un
morphisme d’anneaux
19/04/2017
Algèbre - Algèbre | 25
⋇ Morphismes ⋇
Généralités
Définition – Morphisme (= Homomorphisme)
Soit deux ensembles E et F munis respectivement des lois de composition interne * et ⊤. On appelle morphisme de (E,*) vers
(F,⊤) toute application f de E dans F telle que :
(∀(x1,x2) ∈ E²) f(x1*x2) = f(x1)⊤f(x2)
Définition – Endomorphisme
Morphisme de (E,*) vers lui-même
Définition – Isomorphisme
On appelle isomorphisme de (E,*) vers (F,⊤) tout morphisme bijective f de (E,*) vers (F,⊤)
Définition – Automorphisme
Un automorphisme de (E,*) est un isomorphisme de (E,*)
Définition – Monomorphisme
Un monomorphisme est un morphisme injectif
Théorème – Morphisme surjectif
S’il existe un morphisme surjectif f de (E,*) vers (F,⊤) on a les propriétés suivantes :
a) Si * est associative alors ⊤ est associative
b) Si * est commutative alors ⊤ est commutative
c) Si * admet un élément neutre e alors f(e) est élément neutre pour la loi ⊤
d) Si x et x’ sont deux éléments de E symétriques pour la loi *, f(x) et f(x’) sont dans F symétriques pour la loi ⊤
Théorème – Isomorphisme réciproque
S’il existe un isomorphisme f de (E,*) vers (F,⊤) alors l’application réciproque f-1 est un isomorphisme de (F,⊤) sur (E,*)
E et F sont dits isomorphes.
Théorème – Composé de morphisme
Si f est un morphisme de (E,*) vers (F,⊤) et g un morphisme de (F,⊤) vers (G,⊥) alors gοf est un morphisme de (E,*) vers (G,⊥)
Définition – Morphisme nilpotent
On dit qu’un endomorphisme f est nilpotent s’il existe un entier k positif tel que f k = 0
Définition – Endomorphisme stable
Soit f un endomorphisme de E et F un sous-ensemble de E. On dit que F et stable par f si f(F) ⊂ F
19/04/2017
Algèbre – Morphismes | 27
Morphismes de groupes
Définition – Morphisme de groupes
Etant donné deux groupes (G,*) et (𝛤,⦁), une application f de G dans 𝛤 est un morphisme de groupes ssi (∀(x1,x2) ∈ G²)
f(x1*x2) = f(x1)⦁f(x2)
Théorème
Soit deux groupes (G,*) et (𝛤,⦁), d’éléments neutres respectifs e et 𝜀. Si f est un morphisme de (G,*) vers (𝛤,⦁) alors :
1) f(e) = 𝜀
2) Si un élément x de G a pour symétrique x-1 dans (G,*), f(x) a pour symétrique f(x-1) dans (𝛤,⦁)
3) Si H est sous-groupe de (G,*) son image f<H> est un sous-groupe de (𝛤,⦁)
Définition – Noyau
Si f est un morphisme du groupe (G,*) vers le groupe (𝛤,⦁) on appelle noyau de f et on note ker f l’ensemble des éléments de
G dont l’image par f est le neutre 𝜀 de (𝛤,⦁)
Ker f = {x ∈ G / f(x) = 𝜀}
Théorème
Si f est un morphisme du groupe (G,*) vers le groupe (𝛤,⦁) alors
1) son noyau ker f est un sous-groupe de (G,*)
2) f est une injection ⟺ ker f = {e}
Théorème
S’il existe un morphisme surjectif du groupe (G,*) vers l’ensemble F muni d’une loi de composition interne ⊤, alors (F,⊤) est
un groupe. Si le groupe G est abélien alors F est abélien.
19/04/2017
Algèbre – Morphismes | 28
Morphismes d’anneaux et de corps
Définition – Morphismes d’anneaux / de corps
Soient deux anneaux (A,+,⦁) et (B,⊤,*) et f une application de A dans B. On dit que f est un morphisme d’anneaux ssi :
1) ∀(x1,x2) ∈ A² f(x1+x2) = f(x1) ⊤ f(x2)
2) ∀(x1,x2) ∈ A² f(x1⦁x2) = f(x1) * f(x2)
3) f(1A) = 1B
même définition pour un morphisme de corps
* Un morphisme de corps est injectif
Théorème – Morphismes surjectifs d’anneaux / de corps
S’il existe un morphisme surjectif f de l’anneau (A,+,⦁) et vers l’ensemble (F, +, ⦁) alors (F,+, ⦁) est un anneau
Même théorème avec un corps
19/04/2017
Algèbre – Morphismes | 29
⋇ Espaces Vectoriels ⋇
Définition – Sous-espaces vectoriels
Définition – Espace vectoriel
Soit (𝕂, +, 𝗑) un corps (qui sera dans la pratique ℚ, ℝ ou ℂ), et E un ensemble fini non vide.
On dit que E est un espace vectoriel sur le corps 𝕂 (ou plus rapidement un 𝕂-espace vectoriel) si les conditions suivantes
sont réalisées :
1. E est muni d’une loi de composition interne, notée +, telle que (E,+) est un groupe commutatif
2. On dispose d’une multiplication externe à opérateur dans 𝕂, notée •, c’est-à-dire d’une application de 𝕂 𝗑 E dans E définie
par :
𝕂𝗑E→E
(λ,u)↦ λ•u
et vérifiant les 4 propriétés suivantes :
P1
∀u ∈ E,
1𝕂•u = u
P2
∀λ ∈ 𝕂, ∀u, v ∈ E,
λ•(u+v) = λ•u + λ•v
P3
∀λ, 𝜇 ∈ 𝕂, ∀u ∈ E,
(λ + 𝜇)•u = λ•u + 𝜇•u
P4
∀λ, 𝜇 ∈ 𝕂, ∀u ∈ E
λ•(𝜇•u) = (λ 𝗑 𝜇)•u
* Les éléments de E sont appelés des vecteurs, ceux de 𝕂 des scalaires
Définition – Combinaison linéaire
Soit n scalaires α1, α2, …, αn et n vecteurs u1, u2, …, un de l’espace vectoriel E.
Le vecteur u = α1u1+α2u2+…+αnun est appelé combinaison linéaire des n vecteurs u1, u2, …un avec les coefficients α1, α2, …αn.
Définition – Espace-vectoriel produit
Etant donné deux 𝕂-espaces vectoriels E et F, l’ensemble E 𝗑 F muni des lois produit :
l’addition définie par (x’, y’) + (x’’, y’’) = (x’ + x’’, y’ + y’’)
la loi externe définie par λ•(x, y) = (λ•x, λ•y)
est un espace vectoriel sur 𝕂 appelé espace vectoriel produit
Définition – Sous-espace vectoriel
Soit E un espace vectoriel sur 𝕂 et F une partie non vide de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si la restriction à
F 𝗑 F de la loi +, et la restriction à 𝕂 𝗑 F de la multiplication externe, munissent F d’une structure d’espace vectoriel.
* c’est une sous-groupe de (E,+) stable par la multiplication par un scalaire
* L’intersection de deux sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E
Théorème – Caractérisation d’un sous-espace vectoriel
F est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E ssi
F est un sous-ensemble non vide de E, stable par combinaison linéaire.
ou encore F est un sous-espace vectoriel de E ssi
F ≠ ∅, F ⊂ E
∀ u,v ∈ F, ∀ α ∈ 𝕂, αu+v ∈ F
ou encore ssi
F ≠ ∅, F ⊂ E
∀ u,v ∈ F, ∀ α ∈ 𝕂, u+v ∈ F et αu ∈ F
Définition – Sous-espace vectoriel engendré
Soit A une partie (pas nécessairement finie) d'un K-espace vectoriel E. Le sous-espace vectoriel engendré par A peut être
défini comme :
- le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A
- le sous-ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A
Le sous espace vectoriel engendré par la famille (vi)1≤i≤n de vecteurs de E est notée Vect((vi)1≤i≤n).
* Si A est finie, le sous-espace vectoriel engendré par A est l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A
19/04/2017
Algèbre – Espaces vectoriels | 31
Homomorphismes d’espaces vectoriels
Définition – Homomorphismes d’espaces vectoriels
Soient E et F deux 𝕂-espaces vectoriels et u une application de E dans F. On dit que u est un homomorphisme de E dans F si
∀ λ, μ ∈ 𝕂, ∀ x,y ∈ E,
u(λx + μy) = λ u(x) + μ u(y)
* La composée de deux homomorphismes est un homomorphisme
* homomorphisme = application linéaire
Définition – Forme linéaire
On appelle forme linéaire sur E une application linéaire de E dans 𝕂
Définition – Noyau et image
On appelle noyau de u, noté Ker(u) le sous-ensemble de E ainsi défini :
Ker u = {x ∈ E, u(x) = 0}
On appelle image de u, noté Im(u) le sous-ensemble de F ainsi défini :
Im u = {y ∈ F, ∃ x ∈ E, u(x) = y}
* Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E
* u est injectif ssi Ker(u) = {0} ssi ∀ x ∈ E, u(x) = 0 ⇒ x = 0
* Im(u) est un sous-espace vectoriel de F
19/04/2017
Algèbre – Espaces vectoriels | 32
Indépendance linéaire – Familles génératrices – Bases
Définition – Famille libre
Soient E un 𝕂-ev, et (vi)1≤i≤n une famille de vecteurs de E. On dit qu’une famille de vecteurs est libre ou constituée de vecteurs
p
linéairement indépendants si toute combinaison linéaire nulle ∑i=1 λi vi = 0 de ces vecteurs implique λi = 0 pour tout
1 ≤ i ≤ p.
* Toute sous-famille d’une famille libre est libre
Définition – Famille liée
Une famille de vecteurs qui n’est pas libre est liée. Les vecteurs sont linéairement dépendants. C’est-à-dire qu’il existe
p
(λ1, …, λn) ∈ 𝕂n différent de (0, …, 0) et tel que ∑i=1 λi vi = 0
* Tout sur-famille d’une famille liée est liée
Définition – Famille génératrice
Soient E un 𝕂-ev, et (vi)1≤i≤n une famille de vecteurs de E. (vi)1≤i≤n est dite génératrice si le sous-espace qu'elle engendre est
l'espace entier E.
* Toute sur-famille d’une famille génératrice est génératrice
Définition – Base
On dit que la famille de vecteurs de E (vi)1≤i≤n est une base de E si elle est à la fois génératrice et libre.
Pour qu’une famille de n vecteurs d’un espace vectoriel E soit une base de E, il faut et il suffit que tout vecteur de E admette
une décomposition unique suivant cette famille, de la forme u = ∑ni=1 λi vi
* Dans un espace vectoriel il existe toujours au moins une base
Proposition
Soit u une application linéaire de E dans F. Etant donné une base (e i) 1≤i≤n de E :
la famille (u(ei)) 1≤i≤n est génératrice de Im u
u est surjective ssi (u(ei)) 1≤i≤n est une famille génératrice de F
u est injective ssi (u(ei)) 1≤i≤n est une famille libre de F
u est bijective ssi (u(ei)) 1≤i≤n est une base de F
19/04/2017
Algèbre – Espaces vectoriels | 33
Somme de sous-espaces vectoriels
Somme de n sous-espaces vectoriels
Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E.
On définit la somme des n sous-espaces vectoriels
n
∑ Fi = F1 + F2 + ⋯ + Fn = {v ∈ E, ∃(v1 , v2 , … , vn ) ∈ F1 𝗑 F2 𝗑 … 𝗑 Fn , v = v1 + v2 + ⋯ + vn }
i=1
* L’union d’espace vectoriel n’est pas en général un espace vectoriel
* ∑ni=1 Fi est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant F1 ∪ F2 ∪ … ∪ Fn
Somme directe de n sous-espaces vectoriels
Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E. On dit que F1, F2, …, Fn sont en
somme directe ssi :
∀(v1, v2, …, vn) ∈ F1 𝗑 F2 𝗑 … 𝗑 Fn
v1 + v2 + …+ vn = 0 ⟹ v1 = v2 = …= vn = 0
On note F1 ⨁ F2 ⨁ … ⨁ Fn
* v1 + v2 + …+ vn = 0 ⟹ v1 = v2 = …= vn = 0
(peut se formuler : l’application f : (v1, v2, …, vn) ⟼ v1 + v2 + …+ vn est injective)
* Les espaces vectoriels de la somme directe sont linéairement indépendants.
Théorème – Propriétes des sommes directes
Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E. Les propositions suivantes sont
équivalentes :
- F1, F2, …, Fn sont en somme directe
- Tout élément de ∑ni=1 Fi se décompose de façon unique en une somme d’éléments de F1, F2, …, Fn
- ∀i ∈ {1, …, n} Fi ∩ ∑1≤j≤n Fj = 0
j ≠i
- ∀(v1, v2, …, vn) de F1 𝗑 F2 𝗑 … 𝗑 Fn avec tous les vi non nuls, (v1, v2, …, vn) est libre
Définition – Espaces vectoriels supplémentaires
Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E.
Si E = F1 ⨁ F2 ⨁… ⨁Fn les sous-espaces vectoriels F1, F2, …, Fn sont supplémentaires.
* Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel admet au moins un supplémentaire
* Tous les sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel, supplémentaire d’un même espace vectoriel sont isomorphes
19/04/2017
Algèbre – Espaces vectoriels | 34
Projection et symétrie
Définition – Projecteurs
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. L’application p de E dans E qui à tout élément x de E associe
l’unique y de F tel que x = y + z avec z ∈ G est appelée projection sur F parallèlement à G.
Une telle application est aussi appelée un projecteur.
Proposition
Etant donné 2 sous-espaces vectoriels supplémentaires F et G de E, la projection sur F parallèlement à G est linéaire.
Son noyau est G
Son image qui est aussi l’ensemble des vecteurs invariants est égale à F
Proposition
p est un projecteur ssi p o p = p
Définition
On dit que p et q sont deux projecteurs associés s’il existe F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E tels que
p soit la projection sur F parallèlement à G et p soit la projection sur G parallèlement à F
Proposition
Si p et q sont deux projecteurs associés alors p + q = IdE et p o q = q o p = 0
Définition – Symétrie
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. On appelle symétrie par rapport à F parallèlement à G,
l’application s de E dans E telle que si x = y + z avec y ∈ F et z ∈ G on ait s(x) = y – z
Propositions
* Une symétrie est un automorphisme (bijectif de E dans E) involutif (s o s = IdE)
* Tout endomorphisme involutif de E est une symétrie
Plus précisément si s (de E dans E) est involutif c’est la symétrie par rapport à Ker(s - IdE), parallèlement à Ker(s + IdE).
19/04/2017
Algèbre – Espaces vectoriels | 35
Dimension finie
Définition – Dimension finie
On dit que E est de dimension finie, s’il admet une famille génératrice finie (sinon E est de dimension infinie).
Théorème
Tout 𝕂-ev de dimension finie admet une base finie. Cette base peut être extraite de toute famille génératrice finie.
Théorème
Si E est un espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases de E ont le même nombre n d’éléments. L’entier n est appelé
dimension de E sur 𝕂, ou plus simplement dimension de E
Théorème de la base incomplète
Toute famille libre d’un espace vectoriel E de dimension finie peut être complétée en une base de E
Théorème
Soit ℬ une famille d’éléments d’un espace vectoriel E de dimension n. Les propositions suivantes sont équivalentes :
ℬ est une base
ℬ est une famille libre à n éléments
ℬ est une famille génératrice à n éléments
Définition – Rang d’un système de vecteurs
Le rang d’une famille finie 𝒳 de vecteurs de E, noté rg 𝒳 est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par 𝒳.
Définition – Rang d’une application linéaire
Soient E et F deux 𝕂-ev et u une application linéaire de E dans F. On appelle rang de u que l’on note rg u la dimension de Im u
lorsqu’elle est finie.
Théorème du rang
Etant donné un espace vectoriel E de dimension finie et une application linéaire u de E dans un espace vectoriel F, on a :
dim E = rg u + dim(ker u) = dim(Im u) + dim(ker u)
Théorème
Etant donné deux 𝕂-ev E et F de même dimension finie n et u une application linéaire de E dans F, les propositions suivantes
sont équivalentes :
u est injective
u est surjective
u est bijective
Proposition
dim (F + G) = dim F + dim G – dim (F ∩ G)
dim (F⨁G) = dim F + dim G
19/04/2017
Algèbre – Espaces vectoriels | 36
⋇ Matrices ⋇
Définitions
Définition
On appelle matrice à coefficients dans 𝕂 à n lignes et p colonnes ou matrices à coefficients dans 𝕂 de taille n 𝗑 p toute
famille de 𝕂 indexée sur ⟦1, n⟧ 𝗑 ⟦1, p⟧ c'est-à-dire toute famille de 𝕂 du type (a i,j )1≤i≤n
1≤j≤p
Notation
Une matrice de taille n 𝗑 p est généralement représentée sous forme d’un tableau à n lignes et p colonnes
a1,1 a1,2 ⋯ a1,j ⋯ a1,p
a 2,1 a 2,2 ⋯ a 2,j ⋯ a 2,p
⋮
⋮
⋮
⋮
a i,1 a i,2 ⋯ a i,j ⋯ a i,p
⋮
⋮
⋮
⋮
(a n,1 a n,2 ⋯ a n,j ⋯ a n,n )
* Lorsque n = p on parle de matrices carrées
Lorsque n = 1, on parle de matrices ligne de taille p
Lorsque p = 1, on parle de matrices colonne de taille n
Matrices triangulaires
Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont les valeurs sous la diagonale principale sont toutes nulles
Une matrice triangulaire inférieure est une matrice carrée dont les valeurs au dessus de la diagonale principale sont toutes
nulles
a1,1 a1,2 ⋯ a1,n
0
a 2,2 ⋯ a 2,n
Matrice triangulaire supérieure ( ⋮
⋮
⋱
⋮ )
0
0
⋯ a n,n
Matrices diagonales
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.
λ1 0 ⋯ 0
0 λ2 ⋯ 0
Elle est de la forme (
)
⋮
⋮
⋱ ⋮
0 0 ⋯ λn
On la note diag(λ 1, λ 2, …, λ n)
Propriétés d’une matrice diagonale
* Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit de ses coefficients diagonaux.
* Multiplier à gauche par une matrice diagonale revient à multiplier la i-ème ligne par λi
* Multiplier à droite par une matrice diagonale revient à multiplier la j-ème ligne par λj
* Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale
* Si tous les coefficients diagonaux sont non nuls alors la matrice est inversible
* La puissance k-ième d’une matrice diagonale est
λ1
0
(
⋮
0
0
λ2
⋮
0
⋯
⋯
⋱
⋯
0 k
0
) =
⋮
λn
λ1 k
0
⋮
( 0
0
λ2 k
⋮
0
⋯
⋯
⋱
⋯
0
0
⋮
λn k )
Matrice identité
La matrice unité ou matrice identité est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs.
19/04/2017
Algèbre – Matrices | 37
Transposée d’une matrice
La matrice transposée d'une matrice A à n lignes et p colonnes est la matrice notée tA à p lignes et n colonnes, obtenue en
échangeant les lignes et les colonnes de A.
* La transposée de tA est A
t
t
(A + B) = tA + tB
(aA) = a tA
t
t t
(A B) = B A
Si A est inversible t(A-1) = (tA)-1
Matrices symétriques – Matrices antisymétriques
Une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée.
Une matrice antisymétrique est une matrice carrée telle que tA = -A
Matrices orthogonales
Une matrice carrée est orthogonale si elle vérifie A.tA = I
Propriétés d’une matrice orthogonale
A est orthogonale ssi A est inversible est A-1 = tA
Une matrice est orthogonale si sa transposée l’est aussi
Le déterminant d’une matrice orthogonale est 1 ou -1
Trace d’une matrice
La trace d'une matrice carrée A est définie comme la somme de ses coefficients diagonaux et notée Tr(A). La trace peut être
vue comme une forme linéaire sur l'espace vectoriel des matrices.
* Tr(AB)=Tr(BA)
Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B)
19/04/2017
Tr(tA) = Tr(A)
Tr(aA) = aTr(A)
Algèbre – Matrices | 38
Opérations sur les matrices
Addition de matrices
Soient A = (a i,j )1≤i≤n et B = (bi,j )1≤i≤n . On définit la somme A + B comme la matrice C = (ci,j )1≤i≤n telle que
1≤j≤p
1≤j≤p
1≤j≤q
(i, j) ∈ ⟦1, n⟧𝗑 ⟦1, q⟧, ci,j = a i,j + bi,j
Produit de matrices
Soient A = (a i,j )1≤i≤n et B = (bi,j )1≤i≤p . On définit le produit AB comme la matrice C = (ci,j )1≤i≤n telle que
1≤j≤p
1≤j≤q
1≤j≤q
p
∀(i, j) ∈ ⟦1, n⟧𝗑 ⟦1, q⟧, ci,j = ∑ a i,k bk,j
k=1
* Le produit BA n’est possible que si le nombre de colonne de B est égal eu nombre de lignes de A
* Le produit de matrice est associatif mais généralement pas commutatif
* Le produit de matrice est linéaire à droite
A(𝜆B + μC) = 𝜆AB + μAC
* Le produit de matrice est linéaire à gauche
(𝜆B + μC)A= 𝜆BA + μCA
Multiplication externe
Soient A = (a i,j )1≤i≤n une matrice et 𝜆 un scalaire. Le produit 𝜆A est la matrice (λa i,j )1≤i≤n
1≤j≤p
1≤j≤p
Définition – Ensemble des matrices
On note ℳn ,p(𝕂) l’ensemble des matrices à coefficients dans 𝕂 de taille n 𝗑 p
On note ℳn(𝕂) l’ensemble des matrices carrées à coefficients dans 𝕂 de taille n 𝗑 n
* ℳn ,p(𝕂) muni de l’addition et de la multiplication externe est un espace vectoriel de taille np. L’élément neutre additif est
la matrice nulle.
* ℳn(𝕂) muni de l’addition et de la multiplication (produit de matrices) est un anneau non intègre. L’élément neutre pour la
multiplication est la matrice identité.
19/04/2017
Algèbre – Matrices | 39
Matrice d’une application linéaire
Définition – Matrice d’une application linéaire
Soient E et F deux 𝕂-espaces vectoriels de dimensions respectives p et n. Soient ℬ1 = (e1, e2, …, ep) une base de E et ℬ2 = (f1,
f2, …, fn) une base de F. Soit u une application linéaire de E dans F. Elle est entièrement définie par la donnée des vecteurs
u(ej) pour j ∈ ⟦1,p⟧ (déterminés par leurs composantes dans ℬ2).
On appelle matrice de u par rapport aux bases ℬ1 et ℬ2 notée M𝓑1, 𝓑2(u) la matrice dont la jème colonne pour j ∈ ⟦1,p⟧ est
formée des composantes de u(ej) dans la base ℬ2
a1,1 a1,2 ⋯ a1,j ⋯ a1,p
a 2,1 a2,2 ⋯ a 2,j ⋯ a 2,p
⋮
⋮
⋮
⋮
n
𝐴= a
ai,2 ⋯ a i,j ⋯ a i,p = (a i,j ) telle que ∀j ∈ ⟦1, p⟧, u(ej ) = ∑i=1 a i,j fj
i,1
⋮
⋮
⋮
⋮
a
a
⋯
a
⋯
a
( n,1
n,2
n,j
n,p )
* Par ses colonnes, la matrice d’une application linéaire exprime vectoriellement l’application linéaire : la jème colonne est
formée des composantes de l’image du jème vecteur de la base de départ par rapport à la base d’arrivée.
Expression analytique de l’application linéaire
Par ses lignes, la matrice exprime analytiquement l’application linéaire : la ième ligne donne l’expression de la ième composante
de u(x) en fonction des composantes de x. Si y est un vecteur de F tel que y = u(x)
Si l’on désigne par X la matrice colonne des composantes du vecteur x dans la base ℬ1 et par Y la matrice colonne des
composantes dans la base ℬ2 du vecteur y =u (x) on a Y = AX
Proposition
Etant donnés trois 𝕂-espaces vectoriels E, F, G de dimension finie respectivement munis de bases ℬ1, ℬ2, et ℬ3 ainsi que u ∈
ℒ(E,F) et v ∈ ℒ(F,G) on a ℳ𝐵1,𝐵3 (𝑣 ○ 𝑢) = ℳ𝐵2,𝐵3 (𝑣)ℳ𝐵1 ,𝐵2 (𝑢)
Définition – Rang d’une matrice
On appelle rang d’une matrice A et on note rg(A) le rang des vecteurs colonnes de A, c'est-à-dire le rang de l'application
linéaire qu'elle représente.
* rang des vecteurs colonnes = rang des vecteurs lignes
* Une matrice et sa transposée ont le même rang
19/04/2017
Algèbre – Matrices | 40
Matrice de changement de base
Définition – Matrice de changement de base
Soient E un 𝕂-espace vectoriel de dimension n.
Soient ℬ = (e1, e2, …, en) l’ancienne base de E et ℬ’ = (e’1, e’2, …, e’n) une nouvelle base de E.
On appelle matrice de passage de la base ℬ à la base ℬ’, notée P(ℬ, ℬ’) la matrice dont la jème colonne pour j ∈ ⟦1,n⟧ est
formée des composantes de e’j dans la base ℬ.
a1,1 a1,2 ⋯ a1,j ⋯ a1,p
a 2,1 a2,2 ⋯ a 2,j ⋯ a 2,p
⋮
⋮
⋮
⋮
A= a
= (a i,j ) telle que ∀j ∈ ⟦1, n⟧, e′j = ∑ni=1 a i,j ei
a
⋯
a
⋯
a
i,1
i,2
i,j
i,p
⋮
⋮
⋮
⋮
(a n,1 an,2 ⋯ a n,j ⋯ a n,p )
* Par ses colonnes, la matrice d’une application linéaire exprime vectoriellement le changement de base : la jème colonne est
formée des composantes de l’image du jème vecteur de la base ℬ’ par rapport à la base ℬ.
* Contrairement à ce qui se passe pour une application linéaire on ne peut pas associer un changement de base à n’importe
quelle matrice carrée (il faut qu’elle soit inversible)
Expression analytique d’un changement de base
Par ses lignes, la matrice d’une application linéaire exprime analytiquement le changement de base : la ième ligne donne
l’expression de la ième composante dans ℬ d’un vecteur en fonction de ses composantes dans ℬ’.
Si l’on désigne par X la matrice colonne des composantes du vecteur x dans la base ℬ et par X’ la matrice colonne des
composantes de ce même vecteur x dans la base ℬ’ on a X = PX’.
19/04/2017
Algèbre – Matrices | 41
Matrices inversibles
Définition – Matrices inversibles
Une matrice carrée A d'ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s'il existe une matrice B d'ordre n
telle que AB = BA = In
* Ce sont les éléments inversibles de l’anneau (ℳn(𝕂) ,+,.)
Propriétés
(AB)-1 = A-1B-1
(A-1)-1 = A
(tA)-1 = t(A-1)
Propositions
Les propositions suivantes sont équivalentes :
- la matrice A est inversible
- le déterminant de A est non nul
- le rang de A est égal à n
- l’endomorphisme canoniquement associé à A est bijectif
- les vecteurs colonnes (et les vecteurs lignes) de A sont linéairement indépendants
Méthode des cofacteurs
A−1 =
1
det A
t
com A où com A est la matrice des cofacteurs de A.
Cette méthode n’est utilisée que sur des matrices de petites tailles
Méthode de Gauss-Jordan
On crée un tableau avec à gauche la matrice à inverser, et à droite la matrice identité. On réalise ensuite une suite
d'opérations élémentaires sur la matrice à inverser pour la ramener à l'identité. La même suite d'opérations élémentaires
effectuée sur la matrice identité donne la matrice inverse.
Les opérations élémentaires se font sur lignes (addition, soustraction, multiplication par un scalaire)
On procède en faisant apparaître des zéros colonne par colonne sauf sur le terme diagonale.
19/04/2017
Algèbre – Matrices | 42
Matrices semblables et matrices équivalentes
Définition – Matrices semblables
Deux matrices carrées A et B sont dites semblables ssi il existe une matrice inversible P telle que B = P -1AP
* Les matrices A et B représentent le même endomorphisme dans des bases différentes
Définition – Matrices équivalentes
Deux matrices A et B de tailles m 𝗑 n sont dites équivalentes ssi il existe une matrice carrée P d’ordre n et une matrice carrée
Q d’ordre m telles que B = Q-1AP
* Les matrices A et B représentent la même application linéaire à un changement de base près dans les espaces de départ et
d’arrivée
* Deux matrices sont équivalentes ssi elles ont même rang
19/04/2017
Algèbre – Matrices | 43
⋇ Déterminants ⋇
Applications multilinéaires
Définition – Applications multilinéaires
Soit un entier k > 0 et des espaces vectoriels E1, E2, …, Ek, et F sur un même corps.
Une application f : E1 ⨉ E2 ⨉ … ⨉ Ek → F est dite multilinéaire (ou plus précisément k-linéaire) si elle est linéaire en chaque
variable c'est-à-dire si pour chacun des vecteurs x1, x2, …, xk, x’i et des scalaires a et b on a :
f(x1, …, xi-1, axi + bx’i, xi+1, …, xk) = a f(x1, …, xi-1, xi, xi+1, …, xk) + b f(x1, …, xi-1, x’i, xi+1, …, xk)
Proposition
Soit f une application p-linéaire de Ep dans F. Si x1, x2, …, xp sont p vecteurs de E tels que ∀j ∈ ⟦1, p⟧, xj = ∑ni=1 a i,j ei
Alors on a f(x1 , x2 , … , xp ) = ∑1≤i1≤n a i1,1 a i2,2 … a ip,p f(e1 , e2 , … , ep )
1≤i2 ≤n
…
1≤ip ≤n
Définition – Applications multilinéaires alternées
Une application p-linéaire f de Ep dans F est alternée si pour tout (x1, x2, …, xp) ∈ Ep et pour tout i ≠ j on a :
xi = xj ⇒ f(x1, x2, …, xp) = 0
Proposition – Applications symétriques et antisymétriques
Si f est une application p-linéaire symétrique si elle vérifie pour tout (x1, x2, …, xp) ∈ Ep et pour tout i < j :
f(x1, …, xi, …, xj, …, xp) = f(x1, …, xj, …, xi, …, xp)
f est une application p-linéaire alternée ssi elle est antisymétrique c'est-à-dire vérifie pour tout (x1, x2, …, xp) ∈ Ep et pour tout
i < j : f(x1, …, xi, …, xj, …, xp) = - f(x1, …, xj, …, xi, …, xp)
Propositions
Etant donnée une application p-linéaire alternée f de Ep dans F si (x1, x2, …, xp) est une famille liée de vecteurs de E alors
f(x1, x2, …, xp) = 0
Etant donnés une application p-linéaire alternée f de Ep dans F et (x1, x2, …, xp) ∈ Ep, le vecteur f(x1, x2, …, xp) est inchangé si
l’on ajoute à l’un des xj une combinaison linéaire des autres.
Proposition
Etant données une application n-linéaire alternée de En dans F et une permutation 𝜎 de 𝒮n, on a :
∀x ∈ E n , f(xσ(1) , xσ(2) , … , xσ(n) ) = ε(σ)f(x1 , x2 , … , xn )
Algèbre – Déterminants | 45
Déterminants
Théorème
Soit ℬ = (e1, e2, …, en) une base de E
Il existe une unique forme n-linéaire alternée 𝜑0 sur E telle que 𝜑0 (e1, e2, …, en) = 1
Toute forme n-linéaire alternée est proportionnelle à 𝜑0
Définition – Déterminants
Soit ℬ une base de E et 𝜑0 l’unique forme n-linéaire alternée telle que 𝜑0(ℬ) = 1. Le scalaire 𝜑0(x1, x2, …, xp) s’appelle
déterminant de la famille de vecteurs (x1, x2, …, xp) par rapport à la base ℬ et se note detℬ(x1, x2, …, xp)
Proposition – Déterminant d’un endomorphisme
Si f est un endomorphisme de E, il existe un unique scalaire 𝜆, appelé déterminant de f, tel que pour toute base ℬ de E et
pour tout (x1, x2, …, xp) ∈ En, on ait detℬ(f(x1), f(x2), …, f(xp)) = 𝜆 detℬ(x1, x2, …, xp).
Le déterminant de f se note det(f) ou det f et, pour toute base ℬ de E, det f = detℬ(f(ℬ))
Définition – Déterminant d’une matrice carrée
On appelle déterminant d’une matrice carrée d’ordre n, le déterminant de ses vecteurs colonnes dans la base canonique de
𝕂n. On le note det(A) ou det A
Propositions
Si A = (ai,j)1≤i,j≤n est une matrice carrée d’ordre n on a det A = ∑σ∈𝒮n ε(σ)a σ(1),1 a σ(2),2 … a σ(n),n
Si (x1, x2, …, xn) est une famille de n vecteurs de E dont A est la matrice des composantes dans une base ℬ = (ei)1≤i≤n
alors det A = detℬ(x1, x2, …, xn)
Soient f un endomorphisme de E et ℬ = (ei)1≤i≤n une base de E. Si A est la matrice de f par rapport à la base ℬ alors det f = det
A
Théorème
Si (x1, x2, …, xn) est une famille de vecteurs de E (de dimension n) muni d’une base ℬ, les propriétés suivantes sont
équivalentes :
(i)
(xi)1≤i≤n est une base de E
(ii)
detℬ(x1, x2, …, xn) ≠ 0
Propositions
Etant donné deux endomorphismes f et g de E (de dimension n) et un scalaire 𝜆, on a :
det(𝜆f) = 𝜆n det f
det(f o g) = det f det g
Etant données deux matrices carrées d’ordre n A et B et un scalaire 𝜆, on a :
det(𝜆A) = 𝜆n det A
det(AB) = det A det B = det(BA)
Proposition
Un endomorphisme f de E est bijectif ssi det f ≠ 0 et on a alors det(f-1) = (det f) -1
Une matrice carrées d’ordre n A est inversible ssi det A ≠ 0 et on a alors det(A-1) = (det A) -1
Proposition
Le déterminant d’une matrice est une forme n-linéaire alternée de ses lignes
Etant donné une matrice carrée A d’ordre n, on a det A = det ( tA)
Algèbre – Déterminants | 46
Applications
Opérations sur les lignes ou les colonnes d’un déterminant d’une matrice carrée d’ordre n
* Un déterminant qui a deux colonnes (respectivement deux lignes) identiques est nul
* L’échange de deux colonnes d’un déterminant (respectivement deux lignes) multiplie le déterminant par -1
* Un déterminant dont une colonne (resp. une ligne) est combinaison linéaire des autres colonnes (resp. lignes) est nul
* Un déterminant dont une colonne (respectivement une ligne) est formée de 0 est nul.
* La valeur d’un déterminant est inchangée si l’on ajoute à une colonne (respectivement à une ligne) une combinaison
linéaire des autres colonnes (respectivement des autres lignes)
* Si l’on multiplie une colonne d’un déterminant (respectivement une ligne) par un scalaire 𝜆, le déterminant est multiplié
par 𝜆. Donc si l’on multiplie tous les coefficients d’une matrice n ⨯ n par 𝜆 on multiplie le déterminant par 𝜆n
Propositions
Si une matrice carrée est de la forme (
∗
1≤i≤n
Si A = (a i,j )
1≤j≤n
0
⋮
) alors det A = an,n det A’
0
A′
⋯
∗
a n,n
est une matrice carrée d’ordre n triangulaire on a det A = ∏ni=1 a i,i
Définition – Mineur, cofacteur
1≤i≤n
Etant donnée une matrice carrée d’ordre n A = (a i,j )
1≤j≤n
ainsi que les entiers i et j de ⟦1, n⟧, on appelle :
* mineur de ai,j le déterminant 𝛥i,j de la matrice extraite de A obtenue en supprimant la ième ligne et la jème colonne de A
* cofacteur de ai,j le scalaire (-1)i+j 𝛥i,j
Théorème – Développement suivant une ligne
1≤i≤n
Si A = (a i,j )
1≤j≤n
est une matrice carrée d’ordre n, on a ∀i ∈⟦1, n⟧, det A = ∑nj=1 a i,j (−1)i+j ∆i,j
Comatrice
1≤i≤n
Etant donné une matrice carrée d’ordre n A = (a i,j )
1≤j≤n
1≤i≤n
cofacteurs de A, c'est-à-dire la matrice B = (bi,j )
1≤j≤n
, on appelle comatrice de A, notée Com(A) ou Com A, la matrice des
où bi,j est le cofacteur de a i,j dans A
* On dit parfois matrice adjointe au lieu de comatrice
Propositions
Si B est la comatrice de A (matrice carrée d’ordre n) on a A tB = tB A = (det A) In
Si A est inversible on a 𝐴−1 =
1
det 𝐴
𝑡
𝐵
Proposition
Si (𝒮) est un système de Cramer d’écriture matricielle AX = B l’unique solution de (𝒮) est le n-uplet (x1, x2, …, xn) tel que :
∀i ∈⟦1, n⟧, 𝑥𝑖 =
det 𝐴𝑖
det 𝐴
où Ai est la matrice obtenue à partir de A en remplaçant sa ième colonne par B.
Algèbre – Déterminants | 47
⋇ Systèmes linéaires ⋇
Opérations élémentaires sur une matrice
A ∈ ℳn,p(𝕂)
Définition – Opération élémentaires
On appelle opération élémentaire sur les lignes ou les colonnes d’une matrice l’une des trois opérations suivantes
- addition d’un multiple d’une ligne (resp. d’une colonne) à une autre ligne (resp. colonne)
- multiplication d’une ligne (resp. colonne) par un scalaire non nul
- échange de deux lignes (resp. colonnes)
* Les opérations élémentaires sur un matrice ne change pas son rang
Lemme
Si 𝛼 est un scalaire non nul, on a :
α
0
rg (
⋮
0
∗
…
A′
∗
) = 1 + rg A′
Méthode du pivot de Gauss
Par une suite d’opérations élémentaires sur les lignes, on peut transformer toute matrice inversible en une matrice
triangulaire supérieure (inversible).
α ∗ … ∗
0
Dans un premier temps, on peut transformer la matrice en une matrice du type ( ⋮
)
A1
0
α1
0
Si n ≥ 2, en répétant le procédé, on obtient une matrice de la forme 0
⋮
0
(
Ainsi de proche en proche jusqu’à obtenir une matrice triangulaire
∗
α2
0
⋮
0
∗
∗
…
…
∗
∗
A2
)
Si la matrice n’est pas inversible :
- soit on ne peut pas aller jusqu’au bout de la transformation, c'est-à-dire qu’une des matrices A1, A2, … An-2 a une première
colonne nulle
- soit le dernier coefficient diagonal est nul
19/04/2017
Algèbre – Systèmes linéaires | 49
Systèmes linéaires
Définition – Systèmes linéaires
Etant donné deux entiers naturels n et p non nuls, on appelle système linéaire de n équations à p inconnues x 1, x2, …, xp tout
système (𝒮) du type
a1,1 x1 + a1,2 x2 + ⋯ + a1,j xj + ⋯ + a1,p xp = b1
⋮
a i,1 x1 + a i,2 x2 + ⋯ + a i,j xj + ⋯ + a i,p xp = bi
⋮
{a n,1 x1 + a n,2 x2 + ⋯ + a n,j xj + ⋯ + a1,n xp = bn
1≤i≤n
où (a i,j )
1≤j≤n
est une famille d’éléments de 𝕂 et (b1, b2, …, bn) un élément de 𝕂n
1≤i≤n
* La matrice A = (a i,j )
1≤j≤n
s’appelle matrice du système
* Le n-uplet (b1, b2, …, bn) est appelé le second membre du système
* Lorsque b1 = b2 = … = bn = 0 on dit que le système est homogène ou sans second membre
* On appelle solution du système tout p-uplet (x1, x2, …, xp) ∈ 𝕂p vérifiant les n équations du système
* On dit que (𝒮) est compatible s’il admet au moins une solution.
* Tout système homogène est compatible puisqu’il admet au moins la solution (0, 0, …, 0)
* On appelle rang du système (𝒮) le rang de la matrice A
* On appelle système homogène associé à (𝒮), le système (𝒮0) obtenu en remplaçant tous les bi par 0.
Structure affine de l’ensemble des solutions
Si l’ensemble des solutions de (𝒮) est non vide c’est un sous-espace affine de 𝕂p dirigé par le sous-espace vectoriel des
solutions de (𝒮0), c'est-à-dire que :
* L’ensemble des solutions de (𝒮0) est un sous-espace vectoriel de 𝕂p
* si (x1, x2, …, xn) et (y1, y2, …, yn) sont deux solutions de (𝒮) alors leur différence est solution de (𝒮0)
* si (x1, x2, …, xn) est solution de (𝒮) et (y1, y2, …, yn) est solution de (𝒮0) alors leur somme est solution de (𝒮)
* lorsque (𝒮) est compatible, on en obtient toutes les solutions en ajoutant à une solution particulière de (𝒮) toutes les
solutions de (𝒮0)
19/04/2017
Algèbre – Systèmes linéaires | 50
Interprétations d’un système linéaire
Interprétation matricielle
Si A est la matrice de (𝒮), alors en posant :
x1
b1
x2
b2
X = ( ⋮ ) et B = ( )
⋮
xp
bn
Le système (𝒮) s’écrit AX = B
Si A est une matrice carrée inversible alors le système (𝒮) possède une unique solution donnée par X = A-1B
Interprétation vectorielle
Si C1, C2,… Cp désignent les vecteurs colonnes de la matrice A et si B désigne le vecteur (b1, b2, …, bn) ∈ 𝕂n alors le système
𝑝
peut s’écrire ∑𝑗=1 𝑥𝑗 𝐶𝑗 = 𝐵
* Le système (𝒮) est compatible ssi B appartient au sous-espace vectoriel Vect{C1, C2,… Cp } de 𝕂n
* Le rang de (𝒮) est égal au rang de (C1, C2, …, Cp)
* Si la famille (C1, C2, …, Cp) est libre alors le système possède au plus une solution
* Si n = p et si la famille (C1, C2, …, Cp) est une base de 𝕂n alors pour tout B le système possède une unique solution
correspondant aux composantes de B dans la base (C 1, C2, …, Cp)
Interprétation à l’aide d’une application linéaire
Soit u l’application linéaire de 𝕂n dans 𝕂p canoniquement associée à la matrice A du système. Si x = (x1, x2, …, xn) et
b = (b1, b2, …, bn), alors le système (𝒮) s’écrit u(x) = b
* Le système est compatible ssi b appartient à Im u
* Si u est injective le système possède au plus une solution
* Si u est bijective le système possède une solution et une seule
* Si x0 est solution de (𝒮) l’ensemble des solutions de (𝒮) est : x0 + ker u = {x0 + h | h ∈ ker u}
* le rang de (𝒮) est égal au rang de u
* Si (𝒮) est un système homogène de rang r alors l’ensemble des solutions de (𝒮) est un sous-espace vectoriel de 𝕂p de
dimension p-r
Interprétation à l’aide de formes linéaires
Soient 𝜑1, 𝜑2, …, 𝜑n les formes linéaires sur 𝕂p canoniquement associées aux lignes de A. Si x = (x1, x2, …, xp) et b = (b1, b2, …,
bn), le système (𝒮) peut s’écrire 𝜑1(x) = b1, 𝜑2(x) = b2, …, 𝜑n(x) = bn
* L’ensemble des solutions du système (𝒮0) est l’intersection des noyaux des n formes linéaires, c'est-à-dire de n hyperplans
vectoriels
* L’ensemble des solutions du système (𝒮) est l’intersection de n hyperplans affines
* L’intersection de n hyperplans vectoriels, noyaux de formes linéaires indépendantes sur un espace vectoriel de dimension p
est un sous-espace vectoriel de dimension p-n
19/04/2017
Algèbre – Systèmes linéaires | 51
Systèmes de Cramer
Définition – Système de cramer
Si (𝒮) est un système linéaire de n équations à n inconnues, il est équivalent de dire :
(i)
Le système (𝒮) admet une solution et une seule
(ii)
Le système homogène associé à (𝒮) ne possède que la solution triviale (0, 0, ..., 0)
(iii)
La matrice du système est inversible
(iv)
Le déterminant du système est non nul
On appelle système de Cramer tout système linéaire de n équations à n inconnues vérifiant l’une des propriétés précédentes.
* Pour montrer qu’une matrice carrée A est inversible il suffit de montrer que le système AX = 0 ne possède que la solution
nulle
* Pour montrer qu’une matrice carrée A d’ordre n est inversible et trouver son inverse, il suffit de montrer que pour tout Y ∈
𝕂n le système AX = Y possède au plus une solution
* Soit (𝒮) système de n équations à n inconnues dont la matrice est triangulaire
La matrice est inversible ssi tous les coefficients sont non nuls
* La méthode du pivot de Gauss permet de résoudre un système de Cramer
19/04/2017
Algèbre – Systèmes linéaires | 52
⋇ Réduction des endomorphismes ⋇
Valeur propre
Définition – Valeur propre
Soit 𝕂 un corps commutatif. En pratique 𝕂 sera le corps des réels ou des complexes.
Soit E un 𝕂-espace vectoriel et u un endomorphisme de E et A sa matrice dans la base canonique de 𝕂
On dit que λ est une valeur propre de u ssi ∃x ∈ E, x ≠ 0E tel que u(x) = λx
On dit que λ est une valeur propre de A ssi ∃x ∈ E, x ≠ 0E tel que Ax = λx
* Si E est de dimension finie l’ensemble des valeurs propres de u est appelé spectre de u
Définition – Vecteur propre
Soit x un vecteur non nul de E, x est un vecteur propre de l’endomorphisme u ssi il existe un scalaire λ tel que u(x) = λx.
Soit x un vecteur non nul de E, x est un vecteur propre de A ssi il existe un scalaire λ tel que Ax = λx.
On dit que x est un vecteur propre associé à la valeur propre λ.
* Un vecteur propre ne peut être associé à deux valeurs propres différentes
* Un vecteur propre n’est jamais nul (par définition !!)
* Une famille de k vecteurs propres associés à k valeurs propres différentes est une famille libre
Définition – Sous-espace propre
Soit λ une valeur propre de u, alors l’ensemble constitué des vecteurs propres associés à la valeur propre λ et du vecteur nul,
forme un sous-espace vectoriel de E appelé sous-espace propre de u associé à la valeur propre λ. C’est le sous-espace
vectoriel égal au noyau de u – λ Id.
* Par définition d'une valeur propre, un espace propre n'est jamais réduit au vecteur nul.
* Si 0 est une valeur propre de u le sous-espace propre associé à 0 est ker u et donc u n’est pas un endomorphisme injectif
* Les espaces propres Ei de valeurs propres λi forment une somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u.
Proposition
Rappel : le déterminant d’un endomorphisme est celui de sa matrice dans une base quelconque
Un scalaire λ est valeur propre de la matrice A ou de l’endomorphisme u ssi l’une des conditions suivantes est réalisée
- Le rang de la matrice A – λ Id ou de l’endomorphisme u – λ Id est inférieur à n
- Le déterminant de la matrice A – λ Id ou de u – λ Id est nul
19/04/2017
Algèbre – Réduction des endomorphismes | 53
Polynôme caractéristique
Définition – Polynôme caractéristique
On appelle polynôme caractéristique de la matrice A (noté P A(X)) ou polynôme caractéristique de l’endomorphisme u (noté
Pu(X)) le déterminant de A – λ Id ou de u – λ Id
a1,1 − X a1,2 …
…
a1,n
a
⋱
⋮
| 2,1
|
PA (X) = Pu (X) =
⋮
⋮
| ⋮
⋱
a n−1,n |
a n,1
⋯ … a n,n−1 a n,n − X
Théorème
PA(X) = Pu(X) est un polynôme de degré n
Son terme de plus haut degré est (-1)nXn
Son terme constant est det(u) = det(A)
Le coefficient de degré Xn-1 est la somme des termes diagonaux de la matrice A (trace de la matrice), c’est aussi la somme des
valeurs propres
Théorème
Les racines du polynôme caractéristique sont exactement les valeurs propres de A ou de l’endomorphisme associé à A
* Si 0 est valeur propre de u, u n’est pas inversible (noyau non réduit à 0)
Si 0 n’est pas valeur propre de u, u est inversible (det(u – 0.Id) ≠ 0)
Proposition
Soit A une matrice dont le polynôme caractéristique est scindé. Soient λ 1, λ 2, …, λ k les k racines de PA(X) et m1, m2, …, mk
leurs multiplicités respectives (m1 + m2 + … + mk = n).
Pour toute valeur propre λ i la dimension du sous espace propre associé est inférieure ou égale à son ordre de multiplicité
Si l’ordre de multiplicité de λ i est 1 (= valeur propre simple) alors la dimension du sous espace propre associé est 1
19/04/2017
Algèbre – Réduction des endomorphismes | 54
Polynômes d’endomorphismes
Notations – Polynômes d’endomorphismes
Soit P(X) = a 0 + a1 X + ⋯ + a d X d ∈ 𝕂[X] un polynôme
Si f est un endomorphisme de E on note P(f) l’endomorphisme a 0 + a1 u + ⋯ + a d ud = ∑di=0 a i ui
où u0 = I et pour tout i ≥ 1 ui = ui−1 of
Si A est une matrice carrée de dimension n, on note P(A) la matrice a 0 + a1 A + ⋯ + a d Ad = ∑di=0 a i Ai
où A0 = I et pour tout i ≥ 1 Ai = Ai−1 A
* Deux polynômes du même endomorphisme commutent ∀(P, Q) ∈ 𝕂[X] P(u) o Q(u) = Q(u) o P(u)
* Soit P ∈ 𝕂[X] un polynôme. On dit que P est un polynôme annulateur de u si l’endomorphisme P(u) est identiquement nul
Théorème de Cayley-Hamilton
Soit u un endomorphisme et Pu son polynôme caractéristique. Alors Pu(u) est identiquement nul. (Pu(u) = 0)
Propositions
L’ensemble des polynômes annulateurs de u est un idéal de l’anneau 𝕂[X] qui est engendré par le polynôme minimal πu.
Si P est un polynôme tel que P(u) = 0 alors P est divisible par πu. En particulier Pu est un multiple de πu
Lemme des noyaux
Soient P1, …, Pk des polynômes premiers entre eux deux à deux et soit P = P 1…. Pk leur produit.
On a alors ker P(u) = ker P1(u) ⊕ … ⊕ ker Pk(u)
Définition – Matrice compagnon
0
1
0
Soit u un endomorphisme tel que sa matrice dans une certaine base soit A =
⋮
⋮
(0
Son polynôme caractéristique est Pu = (−1)n (X n − a n−1 X n−1 − ⋯ − a1 X − a 0 )
Son polynôme minimal est πu = (−1)n Pu = (X n − a n−1 X n−1 − ⋯ − a1 X − a 0 )
Cette matrice est appelée matrice de Frobenius ou matrice compagnon.
19/04/2017
0
⋱
⋱
⋱
⋯
⋯
⋱
⋱
⋯
⋯
⋱
⋱
⋱
0
0
⋮
⋮
0
0
1
a0
a1
a n−2
a n−1 )
Algèbre – Réduction des endomorphismes | 55
Matrices et endomorphismes diagonalisables
Définition – Matrices diagonalisables
Une matrice A est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire s’il existe une matrice
diagonale D et une matrice de passage P (inversible) telle que D = P-1AP
Proposition
Soient u un endomorphisme du 𝕂-espace vectoriel E et λ ∈ 𝕂. Les conditions suivantes sont équivalentes :
① λ est valeur propre de u
② u – λ Id n’est pas un isomorphisme
③ det(u – λ Id) = 0
④ Pu(λ) = 0
⑤ πu(λ) = 0
Théorème
Soient λ 1, λ 2, …, λ k toutes les valeurs propres distinctes de u. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
① u est diagonalisable
② il existe une base de E formée de vecteurs propres de u
③ E = Vλ1 ⊕ … ⊕ Vλk
④ dim Vλ1 + … + dim Vλk = n
⑤ Pu = (−1)k ∏ki=1(X − λi )mi et dim Vλi = mi
⑥ 𝜋𝑢 = ∏ki=1(X − λi )
⑦ il existe un polynôme P ∈ 𝕂[X] dont toutes les racines sont simples et tel que P(u) = 0
Proposition
Si u possède n valeurs propres distinctes, alors u est diagonalisable
En pratique
1 – Factoriser le polynôme caractéristique. Si le polynôme n’est pas scindé la matrice n’est pas diagonalisable.
2 – Trouver une base de chaque sous-espace propre. Si pour une des valeurs propres la dimension du sous-espace propres
est inférieure à l’ordre de multiplicité de la valeur propre, alors la matrice n’est pas diagonalisable.
3 – La matrice D est la matrice des vecteurs propres dans leur propre base (c'est-à-dire la matrice des valeurs propres)
P est la matrice de passage de la base d’origine à la base des vecteurs propres ;
L’ordre des valeurs propres dans D et des vecteurs dans P doit être le même
4 – Eventuellement calculer P-1 (et vérifier en calculant PDP-1)
19/04/2017
Algèbre – Réduction des endomorphismes | 56
Matrices et endomorphismes triangulables
Définition – Matrices triangulables
Une matrice A est dite triangulable si elle est semblable à une matrice triangulaire, c'est-à-dire s’il existe une matrice
diagonale T et une matrice de passage P (inversible) telle que T = P-1AP
Théorème
L’endomorphisme u est triangulable
ssi Pu a toutes ses racines dans 𝕂
ssi son polynôme minimal est scindé
Corollaire
Tous les endomorphismes linéaires d’un ℂ-espace vectoriel (et toutes les matrices carrées à coefficients dans ℂ) sont
triangulables
19/04/2017
Algèbre – Réduction des endomorphismes | 57
Cas particuliers
Proposition
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E de dimensions respectives k et n-k tels que E = F ⊕ G. La projection p et la
symétrie s parallèlement à G sont diagonalisables. Leurs polynômes minimaux et caractéristiques sont :
Pp (X) = (−1)n X n−k (X − 1)k et πp = X(X − 1)
Ps (X) = (−1)n (X + 1)n−k (X − 1)k et πs = (X + 1)(X − 1)
Proposition
Soit f un endomorphisme nilpotent d’indice k. Son polynôme caractéristique est (−1)n X n , son polynôme minimal est X k .
Si k > 1 f n’est pas diagonalisable.
19/04/2017
Algèbre – Réduction des endomorphismes | 58
⋇ Arithmétique dans ℤ ⋇
PGCD & PPCM
PGCD de 2 entiers relatifs
L’ensemble des diviseurs communs à 2 entiers relatifs non nuls a et b a un plus grand élément ∆ qu’on appelle le plus grand
diviseur commun à a et b. On note ∆ = PGCD(a,b) ou ∆ = a ∧ b
* Tout diviseur commun à a et b divise toute combinaison linéaire au + bv
* L’ensemble des diviseurs communs à deux entiers relatifs non tous deux nuls est l’ensemble des diviseurs de leur PGCD
* Pour montrer qu’un diviseur d de a et b est le PGCD de a et b il faut montrer que tous les diviseurs de a et b divisent d
Propriété du PGCD
(∀ (a, b, c) ∈ (ℤ*)3) ca ∧ cb=|c|(a ∧ b)
Algorithme d’Euclide
* Si (a, b) ∈ ℤ x ℕ* et si r est le reste de la division de a par b alors : a ∧ b = b ∧ r
on effectue successivement les divisions
Ce qui conduit aux résultats
b = bq + r et 0≤r<b
a ∧b=b ∧r
b = rq1 + r1 et 0≤r1<r
b ∧ r = r ∧ r1
r = rq1 + r2 et 0≤r2<r
r ∧ r1 = r 1 ∧ r2
…
…
rn-2 = rn-1qn + rn et rn = 0 et rn-1≠0
rn-2 ∧ rn-1 = r n-1 ∧ r n = rn-1
* Le PGCD des entiers naturels non nuls a et b est le dernier reste non nul obtenu par la méthode des divisions successives.
Retrouver une combinaison linéaire après l’algorithme d’Euclide
Exemple : PGCD(18480,9828)
18480 = 9828*1 + 8652
84 = 25*(18480-9828) – 22*9878 = 25*18480 – 47*9828
9828 = 8652*1 + 1176
84 = 3*8652 – 22*(9878 – 8652) = 25*8652 – 22*9878
8652 = 1176*7 + 420
84 = 3*(8652 - 7*1176) – 1176 = 3*8652 – 22*1176
1176 = 420*2 + 336
84 = 420 – (1176 – 2*420) = 3*420 – 1176
420 = 336*1 + 84
84 = 420 – 336
336 = 84*4 + 0
PGCD(18480,9828) = 84
On part de la dernière égalité et on remonte en remplaçant le reste de chaque division par sa combinaison linéaire.
Diviseur commun à n entiers relatifs
Si les entiers a0,a1,…an ne sont pas tous nuls, l’entier strictement positif ∆ qui engendre le sous-groupe a1ℤ + a2ℤ +…+ anℤ est
par définition le PGCD de a0,a1,…an. On le note PGCD(a0, a1, … an) ou on écrit ∆ = a0 ∧ a1 ∧ … ∧ an
PPCM de 2 entiers relatifs
Si a et b sont deux entiers relatifs non nuls, l’ensemble des multiples communs à a et b est un sous-groupe de (ℤ,+). L’entier
naturel μ qui l’engendre est le plus petit multiple commun strictement positif. On l’appelle PPCM de a et de b. On note μ =
PPCM(a,b) ou μ = a ∨ b
* Pour montrer qu’un multiple m de a et b est le PPCM de a et b il faut montrer que m divise tous les multiples de a et b
Théorème
Quels que soient 2 entiers relatifs non nuls a et b on a l’égalité (a ∨ b) x (a ∧ b) = |ab|
* (a ∨ b) = |ab| ssi (a ∧ b) = 1
* le PGCD divise le PPCM
Multiples communs à n entiers relatifs
L’ensemble des multiples communs à a1, a2, …, an est l’ensemble des multiples de leur PPCM
* ∨ et ∧ sont des lois de composition interne dans ℤ* commutatives et associatives
19/04/2017
Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 59
Nombres premiers
Nombres premiers entre eux
Soient deux entiers relatifs a et b. On dit qu’ils sont premiers entre eux ssi a et b ont pour seuls diviseurs communs 1 et -1
c’est-à-dire si a ∧ b = 1
Théorème de Bachet-Bezout
Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux ssi il existe (u,v) ∈ℤ² tel que au + bv = 1 (égalité de Bezout)
Nombres premiers entre eux dans leur ensemble
Soient n entiers relatifs a1,a2,…an. Les énoncés suivants sont équivalents :
* a1, a2, … an ont pour seuls diviseurs communs -1 et 1
* a1, a2, … an ont pour PGCD 1
* Il existe des entiers relatifs u1,u2,…un tels que a1u1+a2u2+…+anun = 1 (égalité de Bezout)
On dit alors que a1, a2, … an sont premiers entre eux dans leur ensemble
Nombres premiers dans ℕ
Un entier naturel est premier ssi il a exactement deux diviseurs dans ℕ (1 et lui-même)
* 1 n’est pas premier (si 1 était premier la décomposition en nombre premier ne serait pas unique)
Lemme d’Euclide
Si un nombre premier divise le produit de deux entiers alors il divise l’un des deux entiers.
Théorème (ou lemme) de Gauss
Quels que soient les entiers relatifs a, b, d, si d divise ab et s’il est premier avec a alors d divise b.
(généralisation du Lemme d’Euclide)
Propriété des nombres premiers entre eux
Soit (a,b,c) ∈ ℤ3 si a|c et b|c et a ∧ b = 1 alors ab | c
Propriétés des nombres premiers
Tout entier composé n a au moins un diviseur premier p tel que p²≤n
Si p est premier alors il est premier avec tout entier qu’il ne divise pas
Si deux nombres premiers sont distincts alors ils sont premiers entre eux (réciproque fausse)
Si un nombre premier p divise un produit de facteurs premiers p 1p2 alors il est égal à l’un d’eux
Décomposition d’un entier naturel en un produit de facteurs premiers
Tout entier supérieur à 1 peut s’écrire de manière unique n = p1α1 p2α2 … pkαk
p1,p2 … pk sont des entiers premiers naturels tous distincts ; les exposants α1,α2, …αk sont des entiers naturels non nuls
La décomposition est unique à l’ordre près
* Un entier relatif p est premier ssi il a exactement 4 diviseurs (1 -1 lui-même et son opposé)
Tout entier relatif différent de 0, 1 et -1 peut être décomposé en produit de facteur premier mais la décomposition n’est pas
unique
19/04/2017
Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 60
Idéaux de ℤ
L’anneau ℤ est intègre et ses éléments inversibles sont +1 et -1.
Toutes les propriétés arithmétiques de ℤ peuvent s’énoncer à travers celles des idéaux.
Théorème – Sous–groupes ℤ
Tout sous-groupe H de ℤ est monogène de la forme nℤ pour un unique n ∈ ℕ appelé générateur positif de H. Un entier m
engendre alors H ssi on a m = ±n
* 0ℤ = {0} et 1ℤ = ℤ
Entiers associés
Deux entiers m et n sont dit associés ssi ils sont égaux ou opposés. C'est-à-dire ssi m divise n et n divise m ou ssi les idéaux
principaux nℤ et mℤ sont égaux
Théorème
Tout idéal de ℤ peut s’écrire de façon unique sous la forme aℤ avec a ∈ ℕ. L’entier a s’appelle le générateur positif ou nul de
I.
Théorème
Le PGCD de a et b est le générateur positif ou nul de l’idéal aℤ + bℤ
Le PPCM de a et b est le générateur positif ou nul de l’idéal aℤ ∩ bℤ
19/04/2017
Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 61
Groupe et anneau quotient ℤ/nℤ
Définition – Relation de congruence modulo n
Soit (x,y) ∈ ℤ2. On dit que x est congru à y modulo n et l’on écrit x ≡ y mod n, lorsque x – y appartient à nℤ, c'est-à-dire est un
multiple de n
* La relation de congruence modulo n est une relation d’équivalence sur ℤ
* Tout entier x ∈ ℤ est congru modulo n à un unique élément de ⟦0, n-1⟧ qui est le reste de la division de x par n
* La relation de congruence est compatible avec l’addition et le produit
Définition – Ensemble quotient ℤ/nℤ
On appelle ensemble quotient ℤ/nℤ l’ensemble des classes d’équivalence de ℤ pour la relation de congruence modulo n.
On note usuellement x̅ la classe d’équivalence de l’entier x. x̅ = {x + nk|k ∈ ℤ}
* L’ensemble ℤ/nℤ égal à {0̅, 1̅, … , ̅̅̅̅̅̅̅
n − 1} a n éléments
* (ℤ/nℤ, +) est un groupe (le groupe quotient). Il est cyclique de cardinal n. Le morphisme de ℤ → ℤ/nℤ qui associe à tout
entier sa classe d’équivalence est surjectif de noyau le sous-groupe nℤ
* (ℤ/nℤ, +, .) est un anneau (l’anneau quotient). Si n est premier l’anneau est intègre et c’est donc un corps
Proposition
Tout élément x̅ de ℤ/nℤ est d’ordre fini et son ordre est
n
x∧n
Un élément x̅ engendre ℤ/nℤ ssi x est premier avec n
* Ces propositions sont vraies pour tout groupe cyclique G à n éléments
Proposition
La classe r̅ d’un entier r ∈ ℤ est inversible dans ℤ/nℤ ssi r et n sont premiers entre eux
Proposition
Soit n ∈ ℕ*. Les assertions suivantes sont équivalentes
1. l’entier n est premier
2. ℤ/nℤ est un corps
3. ℤ/nℤ est un anneau intègre
Théorème des restes chinois
Les entiers p et q sont premiers entre eux ssi ℤ/pℤ 𝗑 ℤ/qℤ est isomorphe à ℤ/pqℤ
Corollaire
Si n et m sont premiers entre eux alors pour tout (a, b) ∈ ℤ²
k ≡ a mod n
Il existe une solution k ∈ ℤ au système de congruences {
k ≡ a mod m
l ∈ ℤ vérifie ce système ssi l ≡ k mod nm
Définition – Fonction indicatrice d’Euler
On appelle fonction indicatrice d’Euler la fonction φ qui associe à tout entier n le nombre des entiers premiers avec n situés
entre 1 et n.
* C’est aussi le nombre d’éléments générateurs du groupe ℤ/nℤ et le nombre d’éléments inversibles de l’anneau ℤ/nℤ
* Pour tout nombre premier on a φ(pk) = pk - pk-1
* Pour n et m premiers entre eux on a φ(mn) = φ(m)φ(n)
* Pour n entier, de décomposition en facteurs premiers φ(n) = p1 k1 … pr kr on a φ(n) = n (1 −
* Pour tout n ∈ ℕ\{0, 1} si a est inversible dans ℤ/nℤ alors a
φ(n)
1
p1
) … (1 −
1
pr
)
= 1̅ (identité d’Euler)
Petit théorème de Fermat
Si p est premier alors ap ≡ a mod p
19/04/2017
Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 62
Théorème de Wilson
Un entier p ∈ ℕ\{0, 1} est premier ssi (p − 1) ! + 1 ≡ 0 mod p
19/04/2017
Algèbre - Arithmétique dans ℤ | 63
⋇ Polynômes à une indéterminée ⋇
Généralités
Définition – Polynôme à une indéterminée
Soit 𝕂 un corps commutatif et 𝕂[X] l’ensemble des suites (ai)i∈ℕ d’éléments de 𝕂, nuls à partir d’un certain rang. Les
éléments de 𝕂[X] sont appelés polynômes à une indéterminée et à coefficients dans 𝕂
* Le polynôme égal à la suite (0,1,0,0,...) nulle partout, sauf pour l'indice 1 où elle vaut 1, est appelé indéterminée et
généralement noté X.
* 𝕂[X] est un anneau intègre dont les éléments inversibles sont les polynômes constants non nuls. (groupe des éléments
inversibles = 𝕂*
Définition – Degré et Valuation
degré de P : plus grand entier p tel que ap ≠ 0 (si ap = 1 le polynôme est normalisé ou unitaire)
valuation de P : plus grand entier m tel que am ≠ 0
par convention : degré du polynôme nul -∞ et valuation du polynôme nul +∞
Notation
Si ai = 0 pour tout entier i sauf 1, on note le polynôme X
Si ai = 0 pour tout entier i sauf k, on note le polynôme X k et par convention X0 = 1
p
Si degré de P = p on écrit P = ∑k=0 a k X k
Addition et Multiplication
Soit P = (ai)i∈ℕ et Q = (bi)i∈ℕ
(P,Q) ⟶ P + Q = (ai + bi) i∈ℕ
(P,Q) ⟶ PQ = ∑i+j=r a i bj
Muni de ces deux opérations 𝕂[X] est un anneau principal
deg (P + Q) ≤ max(deg (P) + deg (Q))
v(P + Q) ≥ min (v(P), v(Q))
deg (PQ) = deg (P) + deg (Q)
v(PQ) = v(P) + v(Q)
Polynôme composé
p
P = ∑k=0 a k X k
p
PoQ = ∑k=0 ak Qk
deg(P o Q) = deg (P) . deg (Q)
Définition
Fonction polynômiale
Soit P ∈ 𝕂[X], P = ∑nk=0 a k X k . On lui associe :
̃∶𝕂 →𝕂
P
x ⟼ ∑nk=0 a k x k convenant de x0 = 1
̃ est appelée fonction polynomiale associée à P
P
* Dans le cas où 𝕂 est un corps commutatif infini, il y a équivalence entre l'identité formelle de polynômes à coefficients dans
𝕂 et l'identité des fonctions polynômes associées. On peut donc confondre les deux.
̃(x)
* Schéma de Hörner pour calculer P
19/04/2017
Algèbre – Polynômes à une indéterminée | 65
Division de deux polynômes
Théorème – Division euclidienne
Soit A et B deux éléments de 𝕂[X] et B ≠ 0
Il existe un couple unique (Q,R) de 𝕂[X]² tel que A = BQ + R et deg(R) < deg(B)
* Si R = 0 alors B divise A
* Si A|B et B|A alors il existe k dans 𝕂 tel que A = kB , A et B sont associés
* Le reste de la division de P par (X - a) est P(a) donc (X – a) divise P ssi P(a) = 0
Théorème – Division suivant les puissances croissantes à l’ordre n
Soit A et B deux éléments de 𝕂[X] et B ≠ 0
Pour chaque entier positif n, il existe un couple unique (Q,R) de 𝕂[X]² tel que A = BQ + Xn+1R et deg(Q) ≤ n
19/04/2017
Algèbre – Polynômes à une indéterminée | 66
PGCD et PPCM
Proposition – Idéal de 𝕂[X]
Tout idéal I de 𝕂[X] peut s’écrire de façon unique sous la forme P𝕂[X] avec P ∈ 𝕂[X] normalisé. Le polynôme P s’appelle le
générateur normalisé de I.
Définition – PGCD
Le PGCD D de P et de Q est le générateur normalisé de l’idéal P𝕂[X] + Q𝕂[X].
* Tout diviseur commun à P et Q divise D
* Si D est le PGCD de P et Q alors il existe (U, V) ∈ 𝕂[X]² tel que D = UP + VQ
Définition – Polynômes premiers entre eux
Les polynômes A1, A2, … An sont dit premiers entre eux dans leur ensemble si le PGCD de A1, A2, … An est une constante (non
nulle)
Théorème de Bezout
Soient A et B deux polynômes premiers entre eux et non nuls, alors il existe un couple unique (U, V) de 𝕂[X]² tel que :
AU + BV = 1 et deg(U) < deg(B) et deg(V) < deg(A)
Théorème de Gauss
Soit (P, Q, R) ∈ 𝕂[X]3 Si P et Q sont premiers entre eux et si P divise QR alors P divise R.
Définition – PPCM
Le PPCM M de P et de Q est le générateur normalisé de l’idéal P𝕂[X] ∩ Q𝕂[X].
* Tout multiple commun de P et Q est un multiple de M
* PPCM(P, Q) =
19/04/2017
P.Q
PGCD(P,Q)
Algèbre – Polynômes à une indéterminée | 67
Polynômes irréductibles
Définition – Polynôme irréductible
P est dit irréductible dans 𝕂[X] si
deg(P) ≥ 1 et les seuls diviseurs de P sont les constantes de 𝕂* et les polynômes de la forme kP où k ∈ 𝕂*
Corollaire
Soit P irréductible dans 𝕂[X]
Si P ne divise pas A, P et A sont premiers entre eux
Si P divise le produit A1.A2. … An de polynômes de 𝕂[X] P divise au moins l’un d’entre eux
Théorème
Tout polynôme non contant de 𝕂[X] admet un diviseur irréductible dans 𝕂[X]
Tout polynôme de 𝕂[X] de degré ≥ 1 est égal à un produit de polynômes irréductibles deux à deux premiers entre eux.
19/04/2017
Algèbre – Polynômes à une indéterminée | 68
Polynômes dérivés
On suppose le corps 𝕂 de caractéristique nulle. (c’est le cas pour ℝ et ℂ)
Définition – Dérivée première
Soit P un polynôme de 𝕂[X]
Si P = a0 + a1X + a2X2 + … + anXn à un degré n supérieur ou égal à 1, on appelle polynôme dérivé de P et on note P’ le polynôme
P’ = a1 + 2a2X + … + nanXn-1
Si P est un polynôme constant, le polynôme dérivé de P est par définition le polynôme nul
* donc deg(P’) = deg(P) – 1
* (P + Q)’ = P’ + Q’ et (PQ)’ = P’Q + PQ’
Formule de Leibnitz – Dérivée n-ième
p
(PQ)
(n)
=∑
k=0
n!
P (k) Q(n−k)
k! (n − k)!
Formule de Taylor
P(X) = P(a) + P ′ (a). (X − a) + ⋯ +
19/04/2017
P(k) (a)
k!
(X − a)k + ⋯ +
P(n) (a)
n!
(X − a)n a ∈ 𝕂
Algèbre – Polynômes à une indéterminée | 69
Réduction de polynômes
Définition – Racine
On dit que a est une racine de P si P(a) = 0 donc ssi (X – a) divise P
Corollaire
Si P de degré p a plus de p racines distinctes alors ce polynôme est nul
Définition – Racine d’ordre n
Soit n un entier positif. On dit que a est une racine d’ordre n ou encore de multiplicité n du polynôme P si P est divisible par
(X – a)n sans être divisible par (X – a)n+1
Définition – Polynôme scindé
Un polynôme scindé est un polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré.
Théorème
a est une racine d’ordre n ssi P(a) = 0 et P’(a) = 0 … P(n-1)(a) = 0 et P(n)(a) ≠ 0
Théorèmes
Dans ℂ[X] les seuls polynômes irréductibles sont les constantes (non nulles) et les polynômes du premier degré.
Dans ℝ[X] les seuls polynômes irréductibles sont les constantes (non nulles) et les polynômes du premier degré et les
polynômes du second degré sans racine réelle.
Tout polynôme de ℝ[X] de degré impair a au moins une racine réelle.
19/04/2017
Algèbre – Polynômes à une indéterminée | 70
⋇ Fractions rationnelles ⋇
Corps des fractions rationnelles
Définition – Fraction rationnelle
P
On appelle fraction rationnelle à coefficient dans 𝕂 toute fraction F de la forme où P et Q ∈ 𝕂[X] et Q ≠ 0
Q
* On dit que le couple (P, Q) est un représentant de la fraction rationnelle F. On convient que deux couples (P 1, Q1) et (P2, Q2)
représentent la même fraction F si P1.Q2 = P2.Q1
* On appelle 𝕂(X) l’ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans 𝕂
Définition – Représentant irréductible
On appelle représentant irréductible de F tout représentant (P, Q) tel que P ∧ Q = 1
Définition – Opérations sur 𝕂(X)
Soient F =
P
Q
R
et G = deux éléments de 𝕂(X) et λ ∈ 𝕂
Addition : F + G =
S
PS+RQ
QS
PR
Multiplication : FG =
QS
Multiplication par un scalaire λF =
λP
Q
Composition : Si G n’est pas constante, on pose F o G =
P(G)
Q(G)
Définition – Degré d’une fraction rationnelle
Soient F =
P
Q
∈ 𝕂(X). Le degré de F noté deg F est défini par deg P – deg Q
Proposition – Degré et opérations
Soient F et G ∈ 𝕂(X).
deg(F + G) ≤ deg F + deg G
deg FG = deg F + deg G
Définitions – Dérivée
Soit F =
P
Q
∈ 𝕂(X). On pose 𝐹 ′ =
𝑃′ 𝑄−𝑄′𝑃
𝑄²
Proposition – Structure de corps et de 𝕂-espace vectoriel
(𝕂(X), +, ⨯) est un corps admettant 𝕂[X] comme sous-anneau
(𝕂(X), +, .) est un 𝕂-espace vectoriel admettant 𝕂[X] comme sous-espace vectoriel
* 𝕂(X) est appelé le corps des fractions de 𝕂[X]
Définition – Fonction rationnelle
P
Soit F une fraction rationnelle de forme irréductible . On note 𝑃̃ et 𝑄̃ les fonctions polynomiales associées à P et Q.
Q
𝕂⟶𝕂
La fonction 𝐹̃ : {𝑥 ⟼ P(x) est appelée fonction rationnelle associée à la fraction rationnelle F
Q(x)
* Elle est indépendante du représentant de F choisi
* Elle est définie sur 𝕂 privé de l’ensemble des racines de Q
Définitions – Zéros et pôles d’une fraction rationnelle
Soit F =
P
Q
∈ 𝕂(X) une fraction rationnelle, a ∈ 𝕂 et r ∈ ℕ
On dit que a est un zéro de F (de multiplicité r) si a est une racine de P
On dit que a est un pôle de F(de multiplicité r) si a est une racine de Q
19/04/2017
Algèbre – Fractions rationnelles| 71
Décomposition d’une fraction en éléments simples
Etape 1 – Réduire la fraction
Simplifier la fraction telle que F =
P
Q
avec P et Q premiers entre eux. F est alors irréductible.
Réduire la fraction de telle sorte que le degré du numérateur soit inférieur à celui du dénominateur. On a alors F = T +
R
Q
où
R
T est la partie entière et est la partie que l’on va décomposer.
Q
Etape 2 – Factoriser Q
Factoriser Q en polynômes du premier degré dans ℂ, en polynômes du premier ou du 2ème degré dans ℝ.
Si a est une racine de Q, a est un pôle de F.
Etape 3 – Décomposition en éléments simples
Si
Si
R
Q
R
Q
=
=
R
…(X−a)n …
alors
R
…(X2 +bX+c)n …
Attention
R
Xn
= ⋯+
R
Q
α
α
(dans ℝ) alors
α1
X
α
1
2
n
= ⋯ + (X−a)
+ (X−a)
2 + ⋯ + (X−a)n + ⋯ si n > 1 c’est un pôle multiple sinon c’est un pôle simple
α2
+
X2
+ ⋯+
R
α
Q
= ⋯ + (X21X
+β1
+bX+c)
αn
Xn
α X+β2
+ (X2 2
+bX+c)2
α X+βn
+ ⋯ + (X2 n
+bX+c)n
+⋯
+⋯
Attention : il ne doit pas y avoir de coefficients devant le monôme de plus haut degré pour les pôles
α
(2X−a)
n’est pas correct, on prend
α
a
2
(X− )
Etape 4 – Calcul des coefficients
* Cas d’un pôle simple de degré 1
On multiplie tout par (X − a) et on calcule la valeur pour X = a
Tous les éléments se simplifie et on trouve α1
* Cas d’un pôle multiple de degré 1
Pour celui d’ordre le plus haut on multiplie tout par (X − a)n et on calcule la valeur pour X = a
R
α
α
α
α
n
1
2
n−1
Ensuite on calcule − (X−a)
n = ⋯ + (X−a) + (X−a)2 + ⋯ + (X−a)n−1 + ⋯
Q
On met les éléments de la partie gauche au même dénominateur et le numérateur devient divisible par (X − a). On simplifie,
on multiplie tout par (X − a)n−1 et on calcule la valeur pour X = a et on obtient αn−1 . On recommence pour n-2 etc…
* Cas d’un pôle de degré 2 (dans ℝ )
Si c’est un pôle multiple, on commence par le pôle d’ordre le plus haut. On multiplie tout par (X 2 + bX + c)n et on simplifie.
On utilise ensuite z une des deux racines complexes de X 2 + bX + c, on calcule la valeur pour X=z. On identifie les parties
réelles et imaginaire et on obtient αn X + βn .
R
α X+βn
Ensuite on calcule − (X2 n
Q
+bX+c)n
. On simplifie par X 2 + bX + c etc …
* On peut aussi trouver un système d’équation en substituant des valeurs particulières à X
* On peut aussi trouver le pôle d’ordre le plus bas en multipliant tout par X et en trouvant la valeur à l’infini (s’applique sur la
fraction sans la partie entière car on doit avoir degré du dénominateur plus grand ou égal à celui du numérateur)
19/04/2017
Algèbre – Fractions rationnelles| 72
Exemple 1
Décomposer
𝐗 𝟓 +𝐗 𝟒 +𝟏
en éléments simples sur ℝ
(𝐗−𝟏)𝟑 (𝐗+𝟏)𝟐
Etape 1 - Trouver la partie entière de la fraction
la division de X 5 + X 4 + 1par (X − 1)3 (X + 1)2 nous donne 1 comme partie entière
on a donc
X5 +X4 +1
(X−1)3 (X+1)2
=1+
A
(X−1)3
+
B
+
(X−1)2
C
(X−1)
+
D
(X+1)2
+
E
(X+1)
Etape 2 - Trouver A et D
* en multipliant tout par (X − 1)3 et en remplaçant X par 1 on trouve facilement A = 3/4
* en multipliant tout par (X + 1)2 et en remplaçant X par -1 on trouve facilement D = -1/8
on a donc
X5 +X4 +1
(X−1)3 (X+1)2
=1+
3/4
(X−1)3
+
B
+
(X−1)2
C
(X−1)
+
1/8
(X+1)2
+
E
(X+1)
Etape 3 - Trouver B et C
X5 +X4 +1
(X−1)3 (X+1)2
−
3/4
= 1+
(X−1)3
B
(X−1)2
+
C
1/8
+
(X−1)
(X+1)2
+
E
(X+1)
3X 2 3X
−
− 3/4
3/4(X + 1)2
B
C
1/8
E
4
2
−
=1+
+
+
+
3
2
3
2
2
2
(X − 1) (X + 1)
(X − 1) (X + 1)
(X − 1)
(X − 1) (X + 1)
(X + 1)
X5 + X4 −
or X 5 + X 4 −
3X2
4
−
3X
2
3
5X
4
4
− = (X − 1) (X 4 + 2X 3 + 2X 2 +
1
− )
4
donc
(X − 1)(X 4 + 2X 3 + 2X 2 +
(X − 1)3 (X + 1)2
5X 1
− )
4 4 = 1+
B
C
1/8
E
+
+
+
(X − 1)2 (X − 1) (X + 1)2 (X + 1)
donc
5X 1
−
B
C
1/8
E
4 4=1+
+
+
+
(X − 1)2 (X + 1)2
(X − 1)2 (X − 1) (X + 1)2 (X + 1)
X 4 + 2X 3 + 2X 2 +
en multipliant tout par (𝑋 − 1)2 et en remplaçant X par 1 on trouve facilement B = 3/2
5𝑋 1
𝑋 4 + 2𝑋 3 + 2𝑋 2 +
−
𝐶
1/8
𝐸
4
4 − 3/2 = 1 +
+
+
2
2
2
2
(𝑋 − 1) (𝑋 + 1)
(𝑋 − 1)
(𝑋 − 1) (𝑋 + 1)
(𝑋 + 1)
4𝑋 4 + 8𝑋 3 + 2𝑋 2 − 7𝑋 − 7
𝐶
1/8
𝐸
=1+
+
+
4(𝑋 − 1)2 (𝑋 + 1)2
(𝑋 − 1) (𝑋 + 1)2 (𝑋 + 1)
(4𝑋 3 + 12𝑋 2 + 14𝑋 + 7)(𝑋 − 1)
𝐶
1/8
𝐸
= 1+
+
+
2
2
2
4(𝑋 − 1) (𝑋 + 1)
(𝑋 − 1) (𝑋 + 1)
(𝑋 + 1)
1
4𝑋 3 + 12𝑋 2 + 14𝑋 + 7
𝐶
𝐸
8
=1+
+
+
(𝑋 − 1) (𝑋 + 1)2 (𝑋 + 1)
4(𝑋 − 1)(𝑋 + 1)2
en multipliant tout par (𝑋 − 1) et en remplaçant X par 1 on trouve facilement C = 37/16
Etape 4 - Trouver E
𝑋 5 +𝑋 4 +1
(𝑋−1)3 (𝑋+1)2
X5 +X4 +1
(X−1)3 (X+1)2
=1+
−
3/4
(X−1)3
1/8
(X+1)2
8X5 +8X4 +X3 −3X2 +3X+7
8(X−1)3 (X+1)2
5
4
3
+
= 1+
=1+
3/2
(X−1)2
3/4
(X−1)3
3/4
(X−1)3
+
+
+
37/16
(X−1)
+
3/2
(X−1)2
3/2
(X−1)2
1/8
(X+1)2
+
+
37/16
(X−1)
37/16
(X−1)
+
+
+
E
(X+1)
E
(X+1)
E
(X+1)
4
2
or 8X + 8X + X − 3X 2 + 3X + 7 = (X + 1)(8X + X − 4X + 7)
(8X 4 + X 2 − 4X + 7)
3/4
3/2
37/16
E
= 1+
+
+
+
(X − 1)3 (X − 1)2 (X − 1) (X + 1)
8(X − 1)3 (X + 1)
en multipliant tout par (X + 1) et en remplaçant X par -1 on trouve facilement E = -5/16
19/04/2017
Algèbre – Fractions rationnelles| 73
Exemple 2
Décomposer
𝟒𝐗 𝟑
(𝐗−𝟏)𝟐 (𝐗+𝟏)𝟐
en éléments simples sur ℝ
Etape 1 - Trouver la partie entière de la fraction
la partie entière est nulle
on a donc
4X3
(X−1)2 (X+1)2
=
A
(X−1)2
+
B
(X−1)
+
C
(X+1)2
+
D
(X+1)
Etape 2 - Trouver A et C
en multipliant tout par (X − 1)2 et en remplaçant X par 1 on trouve facilement A = 1
en multipliant tout par (X + 1)2 et en remplaçant X par -1 on trouve facilement C = -1
Etape 3 - Trouver B et D
comme le degré du dénominateur est supérieur à celui du numérateur, on multiplie par X et on regarde la limite à l’infini on
obtient B + D = 4
on cherche la valeur pour X=0 on obtient 0 = D - B
on obtient D = B = 2
Voir aussi exercice 2 – 3 – 4 de la fiche exo7
19/04/2017
Algèbre – Fractions rationnelles| 74
⋇ Nombres complexes ⋇
Définitions
Définition de ℂ
Il existe un ensemble ℂ dont les éléments s’écrivent de manière unique sous la forme a + ib avec a et b ∈ ℝ et i tel que i² = -1
* L’écriture d’un complexe z sous la forme a + ib s’appelle la forme cartésienne ou algébrique de z
* On peut identifier ℂ à ℝ²
Règles de calcul
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(a + ib) x (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
* L’addition et la multiplication vérifient les propriétés de commutativité, d’associativité et de distributivité. Tout complexe
non nul a un inverse. Tout ceci confère à ℂ une structure de corps.
Définition – Partie réelle et imaginaire
Soit z = a + ib ∈ ℂ. Les réels a et b sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de z.
On note : a = Re(z) et b = Im(z)
* Un nombre complexe de partie imaginaire nulle est un réel et un nombre complexe de partie réelle nulle est un imaginaire
pur
Proposition
Soient z1, z2 ∈ ℂ. Alors
Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2) et Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2)
* Ce n’est pas vrai pour la multiplication
Définition – Conjugué d’un nombre complexe
Soit z = a + ib ∈ C. On appelle conjugué de z le nombre complexe z̅ défini par z = a − ib
Propriétés de la conjugaison
Re(z) = Re(z̅) et Im(z̅) = −Im(z)
Re(z) =
z+z̅
2
et Im(z) =
z−z̅
2i
z̿ = z
* z est réel ssi z̅ = z , z est imaginaire pur ssi z̅ = −z
Propriétés – Conjugaison et opérations
Soient z1, z2 ∈ ℂ. Alors
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
z1 + z2 = z̅1 + z̅2
z1 − z2 = z̅1 − z̅2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
z1 z2 = z̅1 z̅2
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
z
z
̅̅̅
( 1) = 1
z2
z2
̅̅̅
Définition – Module d’un nombre complexe
Soit z ∈ ℂ. Alors zz̅ est un réel positif. On appelle module de z le réel positif défini par |z| = √zz̅
Proposition – Propriétés du module
Soit z ∈ ℂ.
|z| = √Re(z)2 + Im(z)2
z = 0 ssi |z| = 0
|z| = |z̅|
Si z ≠ 0,
1
z
z̅
= |z|2
|Re(z)| ≤ |z| et |Im(z)| ≤ |z|
Proposition – Module et opérations
|𝑧1 𝑧2 | = |𝑧1 ||𝑧2 |
|𝑧1 |
|𝑧1 + 𝑧2 | ≤ |𝑧1 | + |𝑧2 |
|𝑧 𝑛 | = |𝑧|𝑛
|𝑧1 − 𝑧2 | ≥ ||𝑧1 | − |𝑧2 ||
|𝑧2 |
𝑧
= | 1|
𝑧2
Le plan complexe
Définition – Image d’un complexe et affixe d’un point ou d’un vecteur
On munit le plan euclidien E d’un repère orthonormé ℛ = (O, ⃗i, ⃗j)
On appelle image d’un complexe z le point M de coordonnées (Re(z), Im(z)) dans le
repère orthonormé ℛ
On appelle affixe du point M de coordonnés (x, y) dans le repère orthonormé ℛ le
complexe z = x + iy
On appelle affixe du vecteur u
⃗⃗ = ai⃗ + bj⃗ le complexe z = a + ib
Proposition
Soient A et B deux points d’affixes respectives a et b. Alors le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB a pour affixe b – a
Interprétation géométrique du conjugué
̅ de M par rapport à
Si z est l’affixe d’un point M, alors z̅ est l’affixe du symétrique M
l’axe des abscisses
Interprétation géométrique du module
Si z est un nombre complexe d’image le point M, alors |z| = 𝑂𝑀
Si u
⃗⃗ est un vecteur d’affixe z alors |z| = ‖u
⃗⃗‖
Proposition
Si A et B sont deux points d’affixes respectifs a et b, alors AB = |b − a|
Interprétation géométrique de l’inégalité triangulaire
L’inégalité triangulaire |𝑧1 + 𝑧2 | ≤ |𝑧1 | + |𝑧2 | s’interprète
par OB ≤ OA + AB
L’inégalité triangulaire |𝑧1 − 𝑧2 | ≥ ||𝑧1 | − |𝑧2 || s’interprète
par AB ≥ |OB − OA|
Groupe 𝕌 des complexes de module 1
Définition – 𝕌
On note 𝕌 l’ensemble des complexes de module 1. Cet ensemble muni de la loi multiplicative a une structure de groupe.
* L’image des points de 𝕌 est le cercle de centre O et de rayon 1, c’est-à-dire le cercle trigonométrique
Proposition
1
Soit u ∈ ℂ. Alors u ∈ 𝕌 ⇔ 𝑢̅ ∈ 𝕌 ⇔ = 𝑢̅
𝑢
Définition – Notation 𝐞𝐢𝛉
Pour θ ∈ ℝ, on note eiθ le complexe cos θ + i sin θ
Proposition
Pour tout θ ∈ ℝ, eiθ ∈ 𝕌. Réciproquement, pour tout z ∈ 𝕌, il existe θ ∈ ℝ tel que 𝑧 = eiθ
𝕌 = {eiθ , θ ∈ ℝ}
Proposition – Conjugué de 𝐞𝐢𝛉
Soit θ ∈ ℝ. Alors ̅̅̅̅
eiθ =
1
eiθ
= e−iθ
Proposition – Relation d’Euler
Pour θ ∈ ℝ, cos θ =
eiθ +e−iθ
2
et sin θ =
eiθ −e−iθ
2i
Propositions
Soient θ1 , θ2 ∈ ℝ, alors on a :
ei(θ1+θ2) = eiθ1 eiθ2
eiθ1 = eiθ2 ssi θ1 ≡ θ2 [2𝜋]
n
Par récurrence on a (eiθ ) = einθ pour tout entier relatif n
Formule de Moivre
Pour θ ∈ ℝ et n ∈ ℤ
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
Argument d’un complexe non nul
Définition – Argument d’un complexe non nul
Soit z un complexe non nul. Tout réel θ tel que 𝑧 = |𝑧|eiθ est appelé un argument de z
Proposition
Soient z un complexe non nul et θ0 un argument de z. L’ensemble des arguments de z est θ0 + 2πℤ = {θ0 + 2kπ, k ∈ ℤ}
Proposition
Soient z1, z2 ∈ ℂ∗ . Alors
|z1 | = |z2 |
z1 = z2 ⇔ {
arg(z1 ) ≡ arg(z2 ) [2π]
* Tout complexe non nul admet un argument unique dans l’intervalle ]−𝜋, 𝜋] On l’appelle l’argument principal.
Proposition
Soient z1, z2 ∈ ℂ∗ . Alors
z
arg(z1 z2 ) ≡ arg(z1 ) + arg(z2 )[2π] et arg ( 1) = arg(z1 ) − arg(z2 )[2π]
z2
* Soit z un complexe non nul. z est réel ssi arg(z) ≡ 0[2π]
π
z est imaginaire pur ssi arg(z) ≡ [2π]
2
Interprétation géométrique de l’argument
Si z est un nombre complexe non nul d’image le point M, alors arg(z) est une
mesure de l’angle orienté (i⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM)
Si u
⃗⃗ est un vecteur non nul d’affixe z, alors arg(z) est une mesure de l’angle
orienté (i⃗, u
⃗⃗ )
Proposition – Lien avec les coordonnées polaires
Le point M d’affixe ρeiθ a pour coordonnées polaires [ρ, θ]
Proposition
Soient A et B deux points distincts d’affixes respectifs a et b. Alors arg(b − a) est une mesure de l’angle orienté (i⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB )
Proposition
Soient A, B et M trois points distincts d’affixes respectifs a, b et z. Alors arg (
z−b
z−a
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
) est une mesure de l’angle orienté (MA
Racines nèmes
Définition – Racines nèmes de l’unité
Soit n un entier naturel non nul. On appelle racines nèmes de l’unité tout nombre complexe tel 𝑧 𝑛 = 1. Ce sont des éléments
de 𝕌. On note 𝕌n l’ensemble des racines nèmes de l’unité.
Proposition
Il existe exactement n racines nèmes de l’unité qui sont les complexes ωk = ei
𝕌n =
2kπ
{ei n , k
∈ ℤ} =
2kπ
{ei n , k
2kπ
n
avec k ∈ ⟦0,n-1⟧
∈ ⟦0, n − 1⟧}
* Les ωk sont toutes des puissances de ω1
2π
* les racines cubiques de l’unité sont 1, j et j² avec 𝑗 = ei 3
Interprétation géométrique des racines nèmes de l’unité
Les images des racines nèmes de l’unité sont disposées
régulièrement sur le cercle trigonométrique (ici n = 10)
Elles sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés
Géométriquement on voit que la somme des racines n èmes de
l’unité est nulle puisque c’est le centre de gravité du
polygone qui a pour affixe 0
Définition – Racines nèmes d’un complexe non nul
Soient a un complexe non nul et n ∈ ℕ*. On appelle racines nèmes de a tout complexe z tel que z n = a
Proposition
Soient a a un complexe non nul et n ∈ ℕ*. Si z0 est une racines nèmes de a alors l’ensemble des racines nèmes de a est
z0 𝕌n = {z0 ω, ω ∈ 𝕌n }
Corollaire
Soient a un complexe non nul de module r et d’argument θ et et n ∈ ℕ*. Alors a admet exactement n racines nèmes qui sont
1
θ 2kπ
)
n
r n ei(n+
avec k ∈ ⟦0,n-1⟧
* Pour déterminer les racines nèmes d’un complexe a , on met donc a sous forme trigonométrique et on utilise ce corollaire
Equations du second degré
Proposition – Racines carrées d’un complexe
Tout complexe non nul admet deux racines carrées opposées
* 0 n’admet que lui-même comme racine carré
* Si a est un réel > 0 les racines carrées de a sont √a et −√a
* Si a est un réel < 0 les racines carrées de a sont 𝑖 √−a et −i√−a
* attention √a n’a de sens que pour a réel positif !!
Méthode pour déterminer les racines d’un complexe
* méthode algébrique
Soit Z = X + iY une racine carrée d’un complexe non réel z = a + ib
On a donc Z² = z. On considère la partie réelle et le module de Z² et z et on obtient
X² − Y² = a et X² + Y² = √a² + b²
On détermine les valeurs de X² et Y² ce ui nous donne 4 solutions possibles pour le couple (X, Y). En considérant la partie
imaginaire de Z² et z, on a 2XY = b donc XY est du signe de b et on a finalement plus que 2 solutions
* méthode trigonométrique
θ
Si on connaît la forme trigonométrique d’un complexe non nul z = reiθ , alors les racines carrées de z sont ±√rei2
Proposition – Equations du second degré à coefficients complexes
Soient a, b, c trois complexes avec a non nul
Considérons l’équation az² + bz + c = 0 dont ∆= b² − 4ac est son discriminant
Si ∆≠ 0, l’équation admet deux racines distinctes z =
Si ∆= 0, l’équation admet une racine double z =
−b±δ
2a
où δ est une racine carrée de ∆
−b
2a
Proposition – Equations du second degré à coefficients réels
Soient a, b, c trois complexes avec a non nul
Considérons l’équation az² + bz + c = 0 dont ∆= b² − 4ac est son discriminant
Si ∆> 0, l’équation admet deux racines réelles distinctes z =
−b±√∆
2a
Si ∆< 0, l’équation admet deux racines complexes distinctes et conjuguées z =
Si ∆= 0, l’équation admet une racine réelle double z =
−b±i√−∆
2a
−b
2a
Proposition – Lien coefficients-racines
Soient a, b, c trois complexes avec a non nul.
𝑏
𝑐
𝑎
𝑎
Alors deux complexes 𝑧1 et 𝑧2 sont solutions de l’équation az² + bz + c = 0 ssi 𝑧1 + 𝑧2 = − et 𝑧1 𝑧2 =
Complexes et géométrie
Proposition – Barycentres
Soient M1 , …, Mn n points d’affixes z1 , …, zn . Soient α1 , …, αn n réels tels que A = ∑ni=1 αi ≠ 0. Alors le barycentre de
1
(M1 , α1 ), …, (Mn , αn ) est le point d’affixe ∑ni=1 αi zi
A
Proposition – Colinéarité et orthogonalité de vecteurs
Soient u
⃗⃗ et v
⃗⃗ deux vecteurs d’affixes respectifs z1 et z2 . Alors
⃗⃗ et v
u
⃗⃗ sont colinéaires ⇔
z2
z1
∈ ℝ (avec z1 ≠ 0) ⇔ z1 z̅2 ∈ ℝ
⃗⃗ et v
u
⃗⃗ sont orthogonaux ⇔
z2
z1
∈ iℝ (avec z1 ≠ 0) ⇔ z1 z̅2 ∈ iℝ
Proposition – Parallélisme et perpendicularité de droites
Soient A, B, C, D quatre points d’affixes respectifs a, b, c et d. On suppose A ≠ B et C ≠ D
d−c
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(AB) et (CD) sont parallèles ⇔
∈ ℝ ⇔ (d − c)(b
− a) ∈ ℝ
b−a
(AB) et (CD) sont perpendiculaires ⇔
d−c
b−a
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
∈ iℝ ⇔ (d − c)(b
− a) ∈ iℝ
Proposition – Alignement et angle droit
Soient A, b et C trois points d’affixes respectifs a, b, c. alors
A, B, C alignés ⇔
d−c
b−a
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
∈ ℝ (si a et B sont distincts) ⇔ (d − c)(b
− a) ∈ ℝ
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̂ est un angle droit ⇔ d−c ∈ iℝ (si a et B sont distincts) ⇔ (d − c)(b
BAC
− a) ∈ iℝ
b−a
Proposition – Translation
Soit a ∈ ℂ. L’application M(z) ⟼ M’(z + a) est une translation de vecteur u
⃗⃗d’affixe a
Proposition – Symétrie
L’application M(z) ⟼ M’(z̅) est la symétrie par rapport à l’axe des abscisses.
Définition – Similitude directe
On appelle similitude directe de centre A, d’angle θ et de rapport λ, la composée s de la rotation r de centre A et d’angle θ et
de l’homothétie h de centre A et de rapport λ. De plus, r et h commutent.
s=hor=roh
Proposition
Soient a ∈ ℂ\{1} et b ∈ ℂ. Alors il existe un unique ω tel que aω + b = ω
L’application M(z) ⟼ M’(az + b) est la similitude de centre Ω(ω), d’angle arg(a) et de rapport |a|
Exponentielle complexe
Définition – Exponentielle complexe
Soit z = a + ib ∈ ℂ. On définit l’exponentielle complexe de z par ez = ea eib
Propriétes de l’exponentielle
L’exponentielle complexe a les mêmes propriétés que l’exponentielle réelle
Soient z1 , z2 ∈ ℂ. Alors 𝑒 z1+z2 = 𝑒 z1 𝑒 z2
Soit z ∈ ℂ. Alors ez ≠ 0 et
1
ez
= e−z
Proposition – Module et argument
Soit z ∈ ℂ. Alors |ez | = eRe(z) et arg(ez ) ≡ Im(z)[2π]
Proposition – Surjectivité de l’exponentielle
Tout nombre complexe non nul z admet des antécédents par l’exponentielle. Si Z est un antécédent de z, alors ses autres
antécédents sont les 𝑍 + 2𝑖𝑘𝜋 avec k ∈ ℤ
* L’exponentielle complexe est surjective sur ℂ∗ : tout nombre complexe admet au moins un antécédent (en fait une infinité)
⋇ ALGÈBRE ⋇
⋇ Ensembles, relations, applications ⋇ ................................................. 1
Opérations sur les parties d’un ensemble ...........................................1
Ensembles finis, infinis, dénombrables ...............................................2
Fonction caractéristique d’un ensemble .............................................3
Relations .............................................................................................4
Applications .........................................................................................5
⋇ Relations binaires sur un ensemble ⋇ ............................................... 9
Généralités ..........................................................................................9
Relations d’équivalence ....................................................................10
Relations d’ordre ...............................................................................11
⋇ Lois de composition interne ⋇ ........................................................ 13
Définition et propriétés d’une l.c.i.....................................................13
Propriétés des éléments ....................................................................14
⋇ Groupes ⋇ ...................................................................................... 15
Définition ..........................................................................................15
Sous-groupes.....................................................................................16
Groupes cycliques .............................................................................17
Groupes symétriques ........................................................................18
⋇ Anneaux ⋇ ..................................................................................... 19
Définition ..........................................................................................19
Propriétés de calcul dans un anneau .................................................20
Idéal d’un anneau commutatif ..........................................................21
⋇ Corps ⋇ .......................................................................................... 23
Définitions .........................................................................................23
⋇ Algèbre ⋇ ....................................................................................... 25
Définitions .........................................................................................25
⋇ Morphismes ⋇ ................................................................................ 27
Généralités ........................................................................................27
Morphismes de groupes ....................................................................28
Morphismes d’anneaux et de corps ..................................................29
⋇ Espaces Vectoriels ⋇ ....................................................................... 31
Définition – Sous-espaces vectoriels .................................................31
Homomorphismes d’espaces vectoriels ............................................32
Indépendance linéaire – Familles génératrices – Bases.....................33
Somme de sous-espaces vectoriels ...................................................34
Dimension finie .................................................................................36
⋇ Matrices ⋇...................................................................................... 37
Définitions .........................................................................................37
Opérations sur les matrices ...............................................................39
Matrice d’une application linéaire ....................................................40
Matrice de changement de base .......................................................41
Matrices inversibles ..........................................................................42
Matrices semblables et matrices équivalentes..................................43
⋇ Déterminants ⋇ .............................................................................. 45
Applications multilinéaires ................................................................45
Déterminants ....................................................................................46
Applications .......................................................................................47
⋇ Systèmes linéaires ⋇....................................................................... 49
Opérations élémentaires sur une matrice .........................................49
Systèmes linéaires .............................................................................50
Interprétations d’un système linéaire ...............................................51
Systèmes de Cramer..........................................................................52
⋇ Réduction des endomorphismes ⋇ ................................................. 53
Valeur propre ....................................................................................53
Polynôme caractéristique..................................................................54
Polynômes d’endomorphismes .........................................................55
Matrices et endomorphismes diagonalisables ..................................56
Matrices et endomorphismes triangulables ......................................57
Cas particuliers ..................................................................................58
⋇ Arithmétique dans ℤ ⋇ ................................................................... 59
PGCD & PPCM ...................................................................................59
Nombres premiers ............................................................................60
Idéaux de ℤ .......................................................................................61
Groupe et anneau quotient ℤ/nℤ ..................................................... 62
⋇ Polynômes à une indéterminée ⋇ ................................................... 65
Généralités ....................................................................................... 65
Division de deux polynômes ............................................................. 66
PGCD et PPCM .................................................................................. 67
Polynômes irréductibles ................................................................... 68
Polynômes dérivés............................................................................ 69
Réduction de polynômes .................................................................. 70
⋇ Fractions rationnelles ⋇.................................................................. 71
Corps des fractions rationnelles ....................................................... 71
Décomposition d’une fraction en éléments simples......................... 72
Exemple 1 ......................................................................................... 73
Exemple 2 ......................................................................................... 74
⋇ Nombres complexes ⋇ ................................................................... 75
Définitions ........................................................................................ 75
Le plan complexe .............................................................................. 77
Groupe 𝕌 des complexes de module 1 ............................................. 78
Argument d’un complexe non nul .................................................... 79
Racines nèmes ..................................................................................... 80
Equations du second degré .............................................................. 81
Complexes et géométrie................................................................... 82
Exponentielle complexe ................................................................... 83
19/04/2017
– | 86