Matrices, applications linéaires

Dixième feuille d’exercices.
bXc
Sur les applications linéaires.
Exercice 1. Soit ∆:R[X]→R[X] l’application qui à un polynôme Passocie son poly-
nôme dérivé P0. Montrer qu’elle est linéaire, calculer son image et son noyau.
Exercice 2. Soit f:Rn→Rnune application linéaire telle que pour tout x∈Rn, la fa-
mille ¡x,f(x)¢est liée. Montrer que fest une homothétie.
Exercice 3. Soit f:Rn→Rnune application linéaire. Soit x0un élément de Rn. On
suppose que ¡f(x0), f2(x0),..., fn(x0)¢forme une base de Rn.
1. Montrer que fest surjective.
2. On admet que fest aussi injective. Montrer 1qu’il existe (a0, ..., an−1)∈Rntel que
fn+an−1fn−1+... +a1f+a0Id =0.
Exercice 4. Soit f:E→Eun endomorphisme d’un espace vectoriel. Soient λ,µdeux
réels distincts. Montrer que les sous-espaces vectoriels suivants sont en somme di-
recte :
ker(f−λId) ker( f−µId)
Exercice 5. Soit Eun espace vectoriel et f,g:E→Edeux endomorphismes de Equi
commutent, c’est-à-dire que f◦g=g◦f. Montrer que im(f) et ker(f) sont des sous-
espaces vectoriels stables par g.
Exercice 6. L’application Tr : Mn(R)→Rest-elle un isomorphisme ?
Exercice 7. Soit Aune matrice f:Mn(R)→Mn(R) l’application qui à une matrice M
associe La matrice AM . Est-ce une application linéaire ?
Exercice 8. Soient Met Nles matrices suivantes :
M=µa b
c d¶N=µd−b −c a ¶
1. Sans utiliser le théorème de Cayley-Hamilton pour ceux qui connaissent !
1

QDixième feuille. Q
1. Calculer le produit M N , puis donner une condition nécessaire et suffisante pour
que Msoit inversible.
2. Dans ce cas, trouver explicitement l’inverse de M.
Exercice 9. Calculer les puissances Amde la matrice carrée n×nsuivante :
0 1
0 1
......
1
0
Exercice 10. Montrer que l’espace vectoriel engendré par GLn(R) est Mn(R).
Exercice 11. Soit φ:Mn(R)→Rune application non nulle et multiplicative , c’est-à-
dire qui vérifie l’égalité suivante :
∀A,B∈Mn(R), φ(AB)=φ(A)×φ(B)
1. Calculer φ(Idn). Montrer que si Mest inversible, alors φ(M)6= 0.
2. Si Aest nilpotente, calculer φ(A).
3. Montrer que si Mn’est pas inversible, alors φ(M)=0 (utiliser le théorème du
rang et la question précédente).
2