18/04/2017 Algèbre Lois de composition interne | 1
Lois de composition interne
Définition et propriétés d’une l.c.i
Définition Loi de Composition Interne
Soit E un ensemble non vide. On appelle loi de composition interne définie sur E toute application de E 𝗑 E dans E. On associe
ainsi à chaque couple (x,y) d’éléments de E un élément de E noté x y, qui est par définition le composé de x et y par la loi .
Définition Associativité
Une loi de composition interne définie sur E, notée , est associative ssi quels que soient les éléments x, y, et z de E on a
l’égalité : (x y) z = x (y z)
Définition Commutativité
Une loi de composition interne définie sur un ensemble E est commutative ssi :
((x, y) E²) x y = y x
Définition Distributivité
Soit et deux lois de composition interne définies sur l’ensemble E. On dit que la loi est distributive par rapport à la loi
ssi quels que soient les éléments x, y, z de E :
x (y z) = (x y) (x z) (distributivité à gauche)
(y z) x = (y x) (z x) (distributivité à droite)
Définition Partie stable
Soit E un ensemble muni d’une lci *. Une partie A, non vide, de E est stable par la loi * ssi :
((x, y) A²) x y A
Définition Compatibilité d’une l.c.i et d’une relation binaire
Si est une loi de composition interne sur l’ensemble E, et une relation binaire définie dans E, on dit que la loi est
compatible avec la relation si quels que soient les éléments x1, x2, y1, y2 de E
x1 x2 et y1 y2 (x1 y1) (x2 y2)
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Propriétés des éléments
Définition Éléments neutres
Soit une loi de composition interne sur l’ensemble E. Un élément e de E est élément neutre pour la loi ssi : (x E) x
e = e x = x
* S’il existe un élément neutre, il est unique
Définition Éléments symétrisables
Soit une loi de composition interne sur l’ensemble E, ayant un élément neutre e . Un élément x de E est symétrisable pour
ssi il existe un élément x’ de E tel que x x’ = x’ x = e. On dit que x’ est le symétrique de x pour la loi .
* Pour une loi de composition interne associative et possédant un élément neutre, si l’élément x admet un symétrique il est
unique.
* Soit une loi de composition interne sur l’ensemble E, ayant un élément neutre. Si les éléments x et y de E ont
respectivement pour symétriques x’ et y’, alors x y est symétrisable et a pour symétrique y’ x’
Définition Éléments réguliers (ou simplifiables)
Soit une loi de composition interne sur l’ensemble E. Un élément a de E est régulier (ou simplifiable) pour la loi ssi pour
tout couple (x, y) d’éléments de E :
a x = a y => x = y (régulier à gauche) et x a = y a => x = y (régulier à gauche)
* Soit une loi de composition interne sur l’ensemble E. Si est associative et possède un élément neutre alors tout élément
symétrisable de E est régulier.
finition Éléments absorbants
Un élément s de E est absorbant (ou singulier) pour la loi de composition interne définie sur E ssi
(x E) x s = s x = s
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