Réduction des endomorphismes

19/04/2017 Algèbre – Réduction des endomorphismes | 1
 Réduction des endomorphismes 
Valeur propre
Définition – Valeur propre
Soit  un corps commutatif. En pratique  sera le corps des réels ou des complexes.
Soit E un -espace vectoriel et u un endomorphisme de E et A sa matrice dans la base canonique de 
On dit que λ est une valeur propre de u ssi x  E, x ≠ 0E tel que u(x) = λx
On dit que λ est une valeur propre de A ssi x  E, x ≠ 0E tel que Ax = λx
* Si E est de dimension finie l’ensemble des valeurs propres de u est appelé spectre de u
Définition – Vecteur propre
Soit x un vecteur non nul de E, x est un vecteur propre de l’endomorphisme u ssi il existe un scalaire λ tel que u(x) = λx.
Soit x un vecteur non nul de E, x est un vecteur propre de A ssi il existe un scalaire λ tel que Ax = λx.
On dit que x est un vecteur propre associé à la valeur propre λ.
* Un vecteur propre ne peut être associé à deux valeurs propres différentes
* Un vecteur propre n’est jamais nul (par définition !!)
* Une famille de k vecteurs propres associés à k valeurs propres différentes est une famille libre
Définition – Sous-espace propre
Soit λ une valeur propre de u, alors l’ensemble constitué des vecteurs propres associés à la valeur propre λ et du vecteur nul,
forme un sous-espace vectoriel de E appelé sous-espace propre de u associé à la valeur propre λ. C’est le sous-espace
vectoriel égal au noyau de u – λ Id.
* Par définition d'une valeur propre, un espace propre n'est jamais réduit au vecteur nul.
* Si 0 est une valeur propre de u le sous-espace propre associé à 0 est ker u et donc u n’est pas un endomorphisme injectif
* Les espaces propres Ei de valeurs propres λi forment une somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u.
Proposition
Rappel : le déterminant d’un endomorphisme est celui de sa matrice dans une base quelconque
Un scalaire λ est valeur propre de la matrice A ou de l’endomorphisme u ssi l’une des conditions suivantes est réalisée
- Le rang de la matrice A – λ Id ou de l’endomorphisme u – λ Id est inférieur à n
- Le déterminant de la matrice A – λ Id ou de u – λ Id est nul

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Polynôme caractéristique
Définition – Polynôme caractéristique
On appelle polynôme caractéristique de la matrice A (noté PA(X)) ou polynôme caractéristique de l’endomorphisme u (noté
Pu(X)) le déterminant de A – λ Id ou de u – λ Id
Théorème
PA(X) = Pu(X) est un polynôme de degré n
Son terme de plus haut degré est (-1)nXn
Son terme constant est det(u) = det(A)
Le coefficient de degré Xn-1 est la somme des termes diagonaux de la matrice A (trace de la matrice), c’est aussi la somme des
valeurs propres
Théorème
Les racines du polynôme caractéristique sont exactement les valeurs propres de A ou de l’endomorphisme associé à A
* Si 0 est valeur propre de u, u n’est pas inversible (noyau non réduit à 0)
Si 0 n’est pas valeur propre de u, u est inversible (det(u – 0.Id) 
Proposition
Soit A une matrice dont le polynôme caractéristique est scindé. Soient  1,  2, …,  k les k racines de PA(X) et m1, m2, …, mk
leurs multiplicités respectives (m1 + m2 + … + mk = n).
Pour toute valeur propre  i la dimension du sous espace propre associé est inférieure ou égale à son ordre de multiplicité
Si l’ordre de multiplicité de  i est 1 (= valeur propre simple) alors la dimension du sous espace propre associé est 1

19/04/2017 Algèbre – Réduction des endomorphismes | 3
Polynômes d’endomorphismes
Notations – Polynômes d’endomorphismes
Soit   [X] un polynôme
Si f est un endomorphisme de E on note P(f) l’endomorphisme 
où  et pour tout i  1 
Si A est une matrice carrée de dimension n, on note P(A) la matrice 
où  et pour tout i  1 
* Deux polynômes du même endomorphisme commutent (P, Q)  [X] P(u) o Q(u) = Q(u) o P(u)
* Soit P  [X] un polynôme. On dit que P est un polynôme annulateur de u si l’endomorphisme P(u) est identiquement nul
Théorème de Cayley-Hamilton
Soit u un endomorphisme et Pu son polynôme caractéristique. Alors Pu(u) est identiquement nul. (Pu(u) = 0)
Propositions
L’ensemble des polynômes annulateurs de u est un idéal de l’anneau [X] qui est engendré par le polynôme minimal u.
Si P est un polynôme tel que P(u) = 0 alors P est divisible par u. En particulier Pu est un multiple de u
Lemme des noyaux
Soient P1, …, Pk des polynômes premiers entre eux deux à deux et soit P = P1…. Pk leur produit.
On a alors ker P(u) = ker P1(u)  …  ker Pk(u)
Définition – Matrice compagnon
Soit u un endomorphisme tel que sa matrice dans une certaine base soit 
Son polynôme caractéristique est 
Son polynôme minimal est 
Cette matrice est appelée matrice de Frobenius ou matrice compagnon.

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Matrices et endomorphismes diagonalisables
Définition – Matrices diagonalisables
Une matrice A est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire s’il existe une matrice
diagonale D et une matrice de passage P (inversible) telle que D = P-1AP
Proposition
Soient u un endomorphisme du -espace vectoriel E et λ  . Les conditions suivantes sont équivalentes :
󰈆 λ est valeur propre de u
󰈇 u – λ Id n’est pas un isomorphisme
󰈈 det(u – λ Id) = 0
󰈉 Pu(λ) = 0
󰈊 u(λ) = 0
Théorème
Soient  1,  2, …,  k toutes les valeurs propres distinctes de u. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
① u est diagonalisable
② il existe une base de E formée de vecteurs propres de u
③ E = Vλ1  …  Vλk
④ dim Vλ1 + … + dim Vλk = n
⑤ 
 et dim Vλi = mi
⑥ 
⑦ il existe un polynôme P  [X] dont toutes les racines sont simples et tel que P(u) = 0
Proposition
Si u possède n valeurs propres distinctes, alors u est diagonalisable
En pratique
1 – Factoriser le polynôme caractéristique. Si le polynôme n’est pas scindé la matrice n’est pas diagonalisable.
2 – Trouver une base de chaque sous-espace propre. Si pour une des valeurs propres la dimension du sous-espace propres
est inférieure à l’ordre de multiplicité de la valeur propre, alors la matrice n’est pas diagonalisable.
3 – La matrice D est la matrice des vecteurs propres dans leur propre base (c'est-à-dire la matrice des valeurs propres)
P est la matrice de passage de la base d’origine à la base des vecteurs propres ;
L’ordre des valeurs propres dans D et des vecteurs dans P doit être le même
4 – Eventuellement calculer P-1 (et vérifier en calculant PDP-1)

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Matrices et endomorphismes triangulables
Définition – Matrices triangulables
Une matrice A est dite triangulable si elle est semblable à une matrice triangulaire, c'est-à-dire s’il existe une matrice
diagonale T et une matrice de passage P (inversible) telle que T = P-1AP
Théorème
L’endomorphisme u est triangulable
ssi Pu a toutes ses racines dans 
ssi son polynôme minimal est scindé
Corollaire
Tous les endomorphismes linéaires d’un -espace vectoriel (et toutes les matrices carrées à coefficients dans ) sont
triangulables