calcul matriciel

CALCUL MATRICIEL
Problème : Résoudre des systèmes et réaliser des opérations sur les tableaux de nombres.
I) Matrice
1) Tableau de nombres
Définition
Une matrice est un tableau de nombres. Si ce tableau comporte n lignes et p colonnes, on dit que la matrice
est du type (n, p). Dans le cas où il y a n lignes et n colonnes, on dit que la matrice est carrée d’ordre n.
Exemples
1 2 3
456
est une matrice de type (2, 3).
12
34
est une matrice carrée.
Remarque
La matrice carrée d’ordre n ne comportant que des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs est la
matrice identité et se note In ou tout simplement I.
Exemples
2
10
01
I
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
Remarque
La matrice de type (n, p) comportant que des 0 est la matrice nulle et se note 0n,p. Dans le cas où n = p on note
0n,p = 0n. Quand il n’y a pas d’ambiguïté, on note la matrice nulle tout simplement 0.
Exemples
2,3
000
0000
3
000
0000
000
Définition
Soit A une matrice de type (n, p). L’élément situé sur la ième ligne et jème colonne se note aij. On note alors
1
1in
ij jp
Aa
.
Exemples
Si
11 12 13 22
1 2 3 : 1 ; 2 ; 3 ; 5
456
A a a a a
II) Calcul
1) Egalité
Définition
Deux matrices A et B sont égales si et seulement si :
elles sont de même type ;
pour tout couple (i, j) tel que
1in
et
1jp
:
ij ij
ab

Calcul matriciel
2) Somme
Définition
Si A et B sont deux matrices de même type (n, p), la matrice S = A + B est la matrice de type (n, p) telle que
pour tout couple (i, j) tel que
1in
et
1jp
:
ij ij ij
s a b
.
Exemple
Si
1 2 3
456
A
et
349
6 1 2
B
alors
AB
3) Multiplication par un réel
Définition
Si A est une matrice de type (n, p) et si
¡
, la matrice
.MA
est la matrice de type (n, p) telle que pour
tout couple (i, j) tel que
1in
et
1jp
:
ij ij
ma
.
Exemple
Si
1 2 3
456
A
et si
2
,
2.A
4) Multiplication de deux matrices
Définition
Si A est une matrice de type (n, p) et si B est une matrice de type (p, r), la matrice
P A B
est la matrice de
type (n, r) telle que pour tout couple (i, j) tel que
1in
et
1jr
:
1
p
ij ik kj
k
p a b
.
Exemple
Si
1 2 3
456
A
et
5 6 2 1
8 3 7 0
9 0 1 0
B
alors
AB
Remarques
Pour effectuer le produit
AB
il faut que B ait autant de lignes que A a de colonnes. Le résultat est une matrice
ayant autant de lignes que A et de colonnes que B.
Pour toute matrice M carrée d’ordre n :
nn
M I I M M   
.
Pour toute matrice M de type (n, p) :
,,
00
p r n r
M
et
,,
00
m n m p
M
.
5) Opérations
Pour tous réels et toutes matrices de types convenables (pour que les opérations soient réalisables) on a :
1)
A B B A  
2)
A B C A B C    
3)
00A A A   
4)
A B A B
5)
A A A
6)
. . . . .A A A
7)
A B C A B C    
8)
A B C A B A C     
9)
B C A B A C A     

Calcul matriciel
Exemple
Soit le système
1
3 4 3 2
3
yz
x y z
xy
. On pose
x
Xy
z
et
1
2
3
B
.
1) Déterminer la matrice A telle que
A X B
.
2) Vérifier que
23 2 0A A I  
.
3) En déduire la matrice A’ telle que
''A A A A I   
.
4) En déduire X puis la solution du système proposé.
Remarque
La matrice A’ déterminée dans l’exercice précédent s’appelle matrice inverse de A et se note
1
A
.