examen final alg2 2013 14

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Université Abdel Hamid Ben Badis Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques - Informatique
1iere Annee Licence MI
Algèbre 2
Examen Final
S. M. Bahri
Exercice 1 Soit ! 2 C. On note E = f!x=x 2 Rg.
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de C vu comme R-espace vectoriel.
2. A quelle condition E est-il un sous-espace vectoriel de C vu comme C-espace vectoriel
?
Exercice 2 Soit dans R3 les vecteurs u1 = (2; 3; 1), u2 = (1; 1; 2); v1 = (3; 7; 0) et
v2 = (5; 0; 7):
Montrer que
vect(u1 ; u2 ) = vect(v1 ; v2 )
Exercice 3 Soit f l’application de R3 dans R3 dé…nie par
f (x1 ; x2 ; x3 ) = (x2 ; x3 ; x1 ):
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer la matrice M associée à f dans la base canonique.
3. Calculer M 2 et M 3 puis en déduire M
4. En déduire M n ainsi que M
n
1
.
pour n 2 N.
Exercice 4 Soit f un endomorphisme de R3 dont la matrice M est donnée, dans une base
B = fe1 ; e2 ; e3 g par :
0
1
0
0 0
M [email protected] 1 1 0 A
1
1 2
On dé…nit une autre base B 0 = fe01 ; e02 ; e03 g au moyen des relations suivantes :
8 0
< e1 = e1 + e2 + e3
e0 = e2 + e3
: 20
e3 = e3
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1. Calculer la matrice M 0 associée à u dans la base B 0 .
2. Calculer la matrice (M 0 )n avec n entier positif et en déduire M n .
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