— 1— Université Abdel Hamid Ben Badis Mostaganem Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique Département de Mathématiques - Informatique 1iere Annee Licence MI Algèbre 2 Examen Final S. M. Bahri Exercice 1 Soit ! 2 C. On note E = f!x=x 2 Rg. 1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de C vu comme R-espace vectoriel. 2. A quelle condition E est-il un sous-espace vectoriel de C vu comme C-espace vectoriel ? Exercice 2 Soit dans R3 les vecteurs u1 = (2; 3; 1), u2 = (1; 1; 2); v1 = (3; 7; 0) et v2 = (5; 0; 7): Montrer que vect(u1 ; u2 ) = vect(v1 ; v2 ) Exercice 3 Soit f l’application de R3 dans R3 dé…nie par f (x1 ; x2 ; x3 ) = (x2 ; x3 ; x1 ): 1. Montrer que f est linéaire. 2. Déterminer la matrice M associée à f dans la base canonique. 3. Calculer M 2 et M 3 puis en déduire M 4. En déduire M n ainsi que M n 1 . pour n 2 N. Exercice 4 Soit f un endomorphisme de R3 dont la matrice M est donnée, dans une base B = fe1 ; e2 ; e3 g par : 0 1 0 0 0 M =@ 1 1 0 A 1 1 2 On dé…nit une autre base B 0 = fe01 ; e02 ; e03 g au moyen des relations suivantes : 8 0 < e1 = e1 + e2 + e3 e0 = e2 + e3 : 20 e3 = e3 — 2— 1. Calculer la matrice M 0 associée à u dans la base B 0 . 2. Calculer la matrice (M 0 )n avec n entier positif et en déduire M n .