examen final alg2 2013 14

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Université Abdel Hamid Ben Badis Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques - Informatique
1iere Annee Licence MI
Algèbre 2
Examen Final
S. M. Bahri
Exercice 1 Soit !2C. On note E=f!x=x 2Rg.
1. Montrer que Eest un sous-espace vectoriel de Cvu comme R-espace vectoriel.
2. A quelle condition Eest-il un sous-espace vectoriel de Cvu comme C-espace vectoriel
?
Exercice 2 Soit dans R3les vecteurs u1= (2;3;1),u2= (1;1;2); v1= (3;7;0) et
v2= (5;0;7):
Montrer que
vect(u1; u2) = vect(v1; v2)
Exercice 3 Soit fl’application de R3dans R3dé…nie par
f(x1; x2; x3)=(x2; x3; x1):
1. Montrer que fest linéaire.
2. Déterminer la matrice Massociée à fdans la base canonique.
3. Calculer M2et M3puis en déduire M1.
4. En déduire Mnainsi que Mnpour n2N.
Exercice 4 Soit fun endomorphisme de R3dont la matrice Mest donnée, dans une base
B=fe1; e2; e3gpar :
M=0
@
0 0 0
110
11 2
1
A
On dé…nit une autre base B0=fe0
1; e0 2; e0 3gau moyen des relations suivantes :
8
<
:
e0
1=e1+e2+e3
e0
2=e2+e3
e0
3=e3

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1. Calculer la matrice M0associée à u dans la base B0.
2. Calculer la matrice (M0)navec nentier positif et en déduire Mn.