CORRECTION Exercice 9 ( x2 + 2 1°) f est définie sur [0 ; 1] par f(x) = ln x + Les résultats sur les dérivées ne doivent pas se limiter aux formules mais doivent faire apparaître les conditions dans lesquelles ces formules sont utilisables. En particulier les problèmes de signes qui peuvent se présenter doivent être expliqués. ) a) On sait que si u est une fonction strictement positive et dérivable, on a : ( u )' = u' . 2 u La fonction définie par u(x) = x2 + 2 est strictement positive sur IR. C'est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur IR et on a u'(x) = 2x , donc 2x x2 + 2 a pour dérivée La fonction x ֏ 2 x2 +2 x = x2 +2 1°) b) On sait que si u est une fonction strictement positive et dérivable, ln o u a pour dérivée u' . u La fonction définie sur [0 ; 1] par u(x) = x + x2 + 2 est dérivable, car elle est la somme de deux fonctions dérivables. Pour x ∈ [0 ; 1], on a x ³ 0 et x2 + 2 ³ 2 > 0 , donc x2 + 2 > 0 On peut alors en déduire que x + x2 + 2 > 0 pour tout x ∈ [0 ; 1]. La fonction u est donc strictement positive sur [0 ; 1]. ( Alors f définie sur [0 ; 1] par f(x) = ln x + dérivée est donnée par : 1+ f'(x) = Donc x+ x2 + 2 f'(x) = http://xmaths.free.fr/ ) est dérivable et sa x2 + 2 + x x x2 x2 + 2 = +2 x2 + 2 x+ 1 x2 + 2 x2 +2 = x2 + 2 + x x2 +2 1 x x+ x2 + 2 pour tout x ∈ [0 ; 1] . TS - Révisions - Exercice n°9 - Corrigé 1/3 1°)c) Le résultat précédent permet de dire que f est une primitive sur [0 ; 1] de 1 , l'intégrale I existe donc et on a : la fonction x ֏ 2 x +2 Bien faire apparaître le calcul de l'intégrale. Ce calcul ne présente pas de difficulté en utilisant le résultat de la question précédente. I=⌠ ⌡ 1 1 dx x2 + 2 0 = f(x) = ln x + x2 + 2 ( ) 0 donc I = ln (1 + 3 ) - ln (0 + 2 ) I=⌠ ⌡ 2°) a) 1 dx x2 0 +2 ; J=⌠ ⌡ 1 x2 0 +2 0 I = ln 1 + 3 . 2 donc x2 1 dx 1 x2 + 2 dx 0 x2 et x ֏ x2 + 2 x2 + 2 ont des primitives sur [0 ; 1]. (car elles sont continues sur [0 ; 1] ) 1 1 dx x2 dx + 2 ⌠ On peut alors écrire J + 2I = ⌠ ⌡ ⌡ 2 0 0 x +2 x2 + 2 Ces intégrales existent car les fonctions x ֏ Une condition suffisante pour qu'une fonction ait des primitives est que cette fonction soit continue sur l'intervalle considéré. K=⌠ ⌡ ; J + 2I = ⌠ ⌡ 1 J + 2I = ⌠ ⌡ 1 0 1 2 x2 + dx = ⌠ x2 + 2 dx ⌡ 2 0 x2 + 2 x2 + 2 x +2 x2 + 2 dx J + 2I = K donc 0 2°) b) Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, dont les dérivées u' et v' sont continues sur I. Soient a et b deux éléments de I. b On a : b a Un exercice peut demander une démonstration du cours. b ⌠ u(t).v'(t)dt = u(t).v(t) - ⌠ u'(t).v(t) dt ⌡ ⌡ a a Démonstration : La formule de dérivation d'un produit permet d'écrire (uv)' = u'v + uv' On en déduit que pour tout t ∈ I, on a (u v')(t) =(uv)'(t) - (u'v)(t) Les fonctions étant continues, on a alors d'après les propriétés de l'intégrale : b b b ⌠ (u v')(t)dt = ⌠ (uv)'(t)dt - ⌠ (u'v)(t)dt ⌡ ⌡ ⌡ a a a et comme (uv)' a pour primitive uv, on en déduit : b b b ⌠ u(t).v'(t)dt = u(t).v(t) - ⌠ u'(t).v(t) dt ⌡ ⌡ a http://xmaths.free.fr/ a a TS - Révisions - Exercice n°9 - Corrigé 2/3 La formule d'intégration par parties est en général utilisée pour calculer l'intégrale d'un produit. Les fonctions u, v, u', v' doivent être explicitées de façon claire. Il faut indiquer que ces fonctions ont des primitives sur l'intervalle d'intégration. Lorsque le produit n'apparaît pas de façon évidente, on peut considérer que l'un des facteurs est égal à 1. 2°) c) K = ⌠ ⌡ On pourrait aussi présenter le calcul sous forme de résolution d'un système d'inconnues J et K. x2 + 2 dx 0 x2 + 2 x u(x) = x v'(x) = 2 x +2 Les fonctions u, u', v et v' ont des primitives sur [0 ; 1] (elles sont continues sur [0 ; 1]). On a alors : 1 1 x K = x x2 + 2 - ⌠ dx ⌡ xx 2 0 0 x +2 u'(x) = 1 Intégrons par parties en posant K=1 3 -0 2 -⌠ ⌡ 0 donc Les deux relations entre J et K vues dans les questions précédentes, permettent de calculer J et K. 1 1 x2 x2 + 2 v(x) = dx K= 3 -J . 2°)d) On a vu que J + 2I = K et K = 3 - J donc J + 2I = 3 - J c'est-à-dire 2J = 3 - 2I On sait, d'après la question 1°)c) que I = ln 1 + 3 2 3 1 + On en déduit alors que 2J = 3 - 2ln 2 Donc J = 3 - ln 1 + 3 2 2 Comme on a K = 3 - J , on obtient alors : K = 3 - 3 + ln 1 + 3 2 2 http://xmaths.free.fr/ donc K = 3 + ln 1 + 3 . 2 2 TS - Révisions - Exercice n°9 - Corrigé 3/3