Correction au format pdf - XMaths

http://xmaths.free.fr/ TS - Révisions - Exercice n°9 - Corrigé 1 / 3
CORRECTION Exercice 9
1°) f est définie sur [0 ; 1] par f(x) = ln
( )
x + x
2
+ 2
a) On sait que si u est une fonction strictement positive et dérivable, on a :
( ) u
' = u'
2u
.
La fonction définie par u(x) = x
2
+ 2 est strictement positive sur IR.
C'est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur IR et on a
u'(x) = 2x , donc
La fonction x ֏ x
2
+ 2 a pour dérivée 2x
2x
2
+ 2
= x
x
2
+ 2
1°) b) On sait que si u est une fonction strictement positive et dérivable,
ln o u a pour dérivée u'
u .
La fonction définie sur [0 ; 1] par u(x) = x + x
2
+ 2 est dérivable, car
elle est la somme de deux fonctions dérivables.
Pour x ∈ [0 ; 1], on a x ³ 0 et x
2
+ 2 ³ 2 > 0 , donc x
2
+ 2 > 0
On peut alors en déduire que x + x
2
+ 2 > 0 pour tout x ∈ [0 ; 1].
La fonction u est donc strictement positive sur [0 ; 1].
Alors f définie sur [0 ; 1] par f(x) = ln
( )
x + x
2
+ 2 est dérivable et sa
dérivée est donnée par :
f'(x) = 1 + x
x
2
+ 2
x + x
2
+ 2
=
x
2
+ 2 + x
x
2
+ 2
x + x
2
+ 2
= x
2
+ 2 + x
x
2
+ 2
x 1
x + x
2
+ 2
Donc f'(x) = 1
x
2
+ 2
pour tout x ∈ [0 ; 1] .
Les résultats sur les dérivées
ne doivent pas se limiter aux
formules mais doivent faire
apparaître les conditions
dans lesquelles ces formules
sont utilisables.
En particulier les problèmes
de signes qui peuvent se
présenter doivent être
expliqués.

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1°)c) Le résultat précédent permet de dire que f est une primitive sur [0 ; 1] de
la fonction x ֏ 1
x
2
+ 2
, l'intégrale I existe donc et on a :
I = ⌠
⌡
1
0
dx
x
2
+ 2
= 
f(x)
1
0
= 
ln
( )
x + x
2
+ 2
1
0
donc I = ln (1 + 3 ) - ln (0 + 2 ) donc I = ln 1 + 3
2
.
2°) a) I = ⌠
⌡
1
0
dx
x
2
+ 2
; J = ⌠
⌡
1
0
x
2
x
2
+ 2
dx ; K = ⌠
⌡
1
0
x
2
+ 2 dx
Ces intégrales existent car les fonctions x ֏ x
2
x
2
+ 2
et x ֏ x
2
+ 2
ont des primitives sur [0 ; 1]. (car elles sont continues sur [0 ; 1] )
On peut alors écrire J + 2I = ⌠
⌡
1
0
x
2
x
2
+ 2
dx + 2 ⌠
⌡
1
0
dx
x
2
+ 2
J + 2I = ⌠
⌡
1
0
x
2
x
2
+ 2
+ 2
x
2
+ 2
dx = ⌠
⌡
1
0
x
2
+ 2
x
2
+ 2
dx
J + 2I = ⌠
⌡
1
0
x
2
+ 2 dx donc J + 2I = K
2°) b) Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, dont les dérivées
u' et v' sont continues sur I. Soient a et b deux éléments de I.
On a : ⌠
⌡
a
b
u(t).v'(t)dt = 
 u(t).v(t)
b
a
- ⌠
⌡
a
b
u'(t).v(t) dt
Démonstration :
La formule de dérivation d'un produit permet d'écrire (uv)' = u'v + uv'
On en déduit que pour tout t ∈ I, on a (u v')(t) =(uv)'(t) - (u'v)(t)
Les fonctions étant continues, on a alors d'après les propriétés de
l'intégrale :
⌠
⌡
a
b
(u v')(t)dt = ⌠
⌡
a
b
(uv)'(t)dt - ⌠
⌡
a
b
(u'v)(t)dt
et comme (uv)' a pour primitive uv, on en déduit :
⌠
⌡
a
b
u(t).v'(t)dt = 
 u(t).v(t)
b
a
- ⌠
⌡
a
b
u'(t).v(t) dt
Bien faire apparaître le calcul
de l'intégrale.
Ce calcul ne présente pas de
difficulté en utilisant le
résultat de la question
précédente.
Un exercice peut demander
une démonstration du cours.
Une condition suffisante pour
qu'une fonction ait des
primitives est que cette
fonction soit continue sur
l'intervalle considéré.

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2°) c) K = ⌠
⌡
1
0
x
2
+ 2 dx
Intégrons par parties en posant u'(x) = 1 v(x) = x
2
+ 2
u(x) = x v'(x) = x
x
2
+ 2
Les fonctions u, u', v et v' ont des primitives sur [0 ; 1]
(elles sont continues sur [0 ; 1]). On a alors :
K = 
 x x
2
+ 2
1
0
- ⌠
⌡
1
0
x x x
x
2
+ 2
dx
K = 13 - 0 2 - ⌠
⌡
1
0
x
2
x
2
+ 2
dx
donc K = 3 - J .
2°)d) On a vu que J + 2I = K et K = 3 - J
donc J + 2I = 3 - J c'est-à-dire 2J = 3 - 2I
On sait, d'après la question 1°)c) que I = ln 1 + 3
2
On en déduit alors que 2J = 3 - 2ln 1 + 3
2
Donc J = 3
2 - ln 1 + 3
2
Comme on a K = 3 - J , on obtient alors :
K = 3 - 3
2 + ln 1 + 3
2
donc K = 3
2 + ln 1 + 3
2
.
Les deux relations entre J et
K vues dans les questions
précédentes, permettent de
calculer J et K.
On pourrait aussi présenter le
calcul sous forme de
résolution d'un système
d'inconnues J et K.
La formule d'intégration par
parties est en général utilisée
pour calculer l'intégrale d'un
produit.
Les fonctions u, v, u', v'
doivent être explicitées de
façon claire. Il faut indiquer
que ces fonctions ont des
primitives sur l'intervalle
d'intégration.
Lorsque le produit n'apparaît
pas de façon évidente, on
peut considérer que l'un des
facteurs est égal à 1.