Chapitre 5 Fonctions logarithmes I. DEFINITION Définition On appelle fonction logarithme népérien, l'unique fonction f définie et dérivable sur ] 0 ;+∞ [ , 1 ayant pour fonction dérivée la fonction f ' ( x )= , et vérifiant, pour tous réels a et b strictement x positifs, la relation fonctionnelle suivante : f (ab)= f ( a)+ f ( b) La fonction logarithme est notée ln(x). Remarques • ln (1)=0 • La fonction ln est donc la primitive sur ] 0 ;+∞ [ , qui s'annule en 1, de la fonction 1 x→ . x II. PROPRIETES ALGEBRIQUES Propriétés Pour tous nombres réels a et b, on a : • ln (ab)=ln (a)+ln (b) 1 • ln = −ln(a) a a • ln =ln (a)−ln(b) b • ln (a n )=n ln (a) (avec n entier relatif) 1 ln ( √ a )= ln(a) • 2 () () Exercice 1 1) Écrire les réels suivants en fonction de ln (3) et ln (5): a) 2) ln (75) b) ln ( ) 27 25 c) ln (√ 125) Écrire les réels suivants en fonction de ln (2) et ln(7): a) ln (28) b) ln ( ) 49 8 3) Écrire les expressions suivantes sous la forme ln ( f ( x )) où qui dépend de x : a) Pour tout x de ] 2 ;+∞[ , A (x )=ln (x +5)−ln ( x−2). 1 B (x)=ln (x 2+1)+ ln( x−1) b) Pour tout x de ]1;+∞[ , 2 Chapitre 5 : Logarithme c) ln (√ 32) f ( x ) désigne une expression 1 III. ETUDE DE LA FONCTION ln 1) Ensemble de définition Propriété L'ensemble de définition de la fonction ln est ] 0;+∞ [ . 2) Fonction dérivée et sens de variation Propriétés 1 La fonction ln est dérivable sur ] 0;+∞ [ et sa fonction dérivée est (ln( x))' = . x Conséquence La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ;+∞ [ car sa dérivée est strictement positive sur ] 0;+∞ [ . Exercice 2 Calculer la dérivée des fonctions suivantes définies sur f ( x )=4 ln x+ x 2 1) 3) 2) ] 0 ;+∞ [ : f ( x )=(ln x )5 3) f ( x)= ln x x Limites Propriétés lim ln ( x )= −∞ et lim ln( x)=+∞ Une autre limite à connaître : ln( x) =0. n x →+∞ x Pour tout entier naturel n, lim x →+∞ x →0 x>0 Exercice 3 Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition I des fonctions suivantes : 1 3 x+1 1) f ( x)= −2 ln x ; I =]0 ;+∞[ 2) f ( x)= −1+ ; I =] 0 ;1 [ x ln x 4) Tableau de variations et courbe Tableau de variation de la fonction ln x Courbe représentative de la fonction ln +∞ 0 + (ln( x))' +∞ ln ( x ) −∞ Chapitre 5 : Logarithme 2 Exercice 4 Soit la fonction f définie sur ]0 ;+∞[ par f ( x )= −3 ln x+1 . On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O;I,J) d'unité graphique 2 cm. 1) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. En déduire que C admet une asymptote dont on précisera l'équation. 2) a) Calculer la fonction dérivée de f. b) Étudier le signe de f ' ( x) puis établir le tableau de variation de f. c) Combien l'équation f ( x )=0 admet-elle de solutions dans l'intervalle ]0 ;+∞[ ? En donner une valeur approchée à 0,1 près. 3) a) Préciser f (1) et f ' (1) et déterminer l'équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1. b) Tracer cette tangente. 4) Construire la courbe C. Exercice 5 Soit la fonction f définie sur ]0 ;+∞[ par f ( x )=2 x−4+ln x. On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;I,J) d'unité graphique 1 cm. 1) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. En déduire que la courbe de f admet une asymptote dont on précisera l'équation. 2) a) Calculer la fonction dérivée de f. b) Étudier le signe de f ' ( x) puis établir le tableau de variation de f. c) Combien l'équation f ( x )=0 admetelle de solutions dans l'intervalle donner une valeur ]0 ;+∞[ ? En approchée à 0,1 près. 3)a) Préciser f (1) et f ' (1) et déterminer l'équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1. b) Tracer cette tangente. 4) Construire la courbe C. Chapitre 5 : Logarithme 3 IV. NOMBRE e, EQUATIONS ET INEQUATIONS 1) Le nombre e D'après le tableau de variation de la fonction ln, l'équation ln x=1 admet une unique solution dans l'intervalle ] 0;+∞ [ . Tableau de variation de la fonction ln Courbe représentative de la fonction ln x e 0 1 ln ( x ) +∞ +∞ −∞ Propriété Il existe un unique réel, noté e tel que : ln e=1. (Remarque : e≃2,718. ) Exercice 6 Calculer la valeur des nombres suivants : A=ln e 7= …............................................................................................................................................... B=4 ln e 5= …............................................................................................................................................. C =ln e 3+ln 2) 1 = ….................................................................................................................................... e6 Équations et inéquations Propriétés Soient a et b deux réels strictement positifs. • a=b si et seulement si ln a=ln b . • a<b si et seulement si ln a<ln b. Remarque : la seconde propriété est vraie car la fonction ln est strictement croissante. Application 1 : Résolution d'équations et d'inéquations faisant apparaître du ln Exemple : Résoudre l'équation ln ( x+2)=ln 5. Cette équation est définie lorsque x+2>0 c'est-à-dire x>−2 . ln x+2=ln 5 ⇔ x +2=5 ⇔ x=3 On a bien 3>−2 donc : S ={3}. Exercice 7 1) Résoudre l'équation ln (3 x)+ln ( x+2)=ln 9 . 2) Résoudre l'inéquation ln (3 x−6)>5 . Chapitre 5 : Logarithme 4 Application 2 : Résolution d'inéquations avec des puissances, recherche de rang Exemple : Soit (u n ) la suite définie par u n =2,1n . À partir de quel rang a-t-on u n≥3200 ? On résout l'inéquation 2,1n≥3200 : 2,1n≥3200 ⇔ ln (2,1n )≥ln 3200 ⇔ n ln 2,1≥ln 3200 ln 3200 ⇔ n≥ (on ne change pas le sens du signe ≥ car 2,1>1 donc ln 2,1 est positif) ln 2,1 ⇔ n≥10,87 Conclusion : On a u n≥3200 à partir du rang n=11. Exercice 8 1) Soit (v n ) la suite définie par v n=0,4n . Déterminer le rang à partir duquel v n≤0,001. 2) Résoudre dans ℕ l'inéquation 1,3n≥1000 . V. FONCTIONS DE TYPE ln(u) 1) Dérivée Propriété Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de ℝ tel que pour tout x de I, u ( x )>0. Soit f la fonction définie sur I par f ( x )=ln (u ( x)) . Alors f est dérivable sur I et f ' ( x )= u ' ( x) . u(x) Exemple : calculer la dérivée de la fonction f définie par f ( x )=ln (3x−6). • • • 6 ⇔ x>2. 3 f est de la forme ln (u) avec u ( x)=3 x−6 d'où u ' (x)=3. u' (x) 3 1 f est donc dérivable sur ] 2;+∞ [ et f ' ( x)= = = . u(x) 3x−6 x−2 ensemble de définition : f est définie pour 3 x−6>0 ⇔ x> Exercice 9 1) Calculer la dérivée de la fonction f définie par f ( x )=ln(2 x). 2) Calculer la dérivée de la fonction g définie par g (x)=ln ( x 2 +3 x+4). 2) Limites Propriété Soit u une fonction définie sur un intervalle I de ℝ telle que pour tout x de I, u ( x )>0 . On considère les limites en un nombre réel, ou en +∞ ou −∞ . • Si lim u( x )=0 alors lim ln (u( x ))= −∞. • Si lim u( x )=+∞ alors lim ln (u( x ))=+∞. • Si lim u( x )=b avec b réel strictement positif alors lim ln (u( x ))=ln b . Chapitre 5 : Logarithme 5 Exemple : Soit f la fonction définie sur ] 2 ;+∞[ par f ( x )=ln (2 x−4). Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. La fonction f est de la forme ln(u) avec u ( x)=2 x−4. • lim u( x)= lim 2 x−4=2×2−4=0 donc lim f ( x)= −∞ . • x→2 x→2 x→2 lim u( x)= lim 2 x−4=+∞ donc x →+∞ lim x →+∞ x →+∞ f ( x)=+∞. Exercice 10 f ( x )=ln Soit f la fonction définie sur ]−∞ ;0[ par de son ensemble de définition. 3) ( ) 3 +5 . Déterminer les limites de f aux bornes x2 Primitives Propriété : Primitives de la fonction inverse 1 x Les primitives sur ] 0 ;+∞ [ de la fonction x → constante réelle. 1 sont de la forme x → ln ( x)+c , où c est une x Propriété : Primitives des fonctions de la forme u' u Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de ℝ telle que, pour tout x de I, u( x )>0. u' ( x ) Les primitives de la fonction f définie sur I par f ( x )= sont les fonctions F de la forme u( x ) F ( x )=ln( u( x))+c , où c est une constante réelle. Exemple : Déterminer les primitives de la fonction f définie sur ]−∞ ; 1[ par f ( x )= u' avec u( x)= x 2−5 x+4 et u ( x)=2 x−5 . u • On vérifie que u ( x) est strictement positif pour tout x de I : u( x) est une fonction du second degré : a=1 ; b=−5 ; c=4 donc Δ=b 2−4 ac=(−5)2−4×1×4=25−16=9 Δ>0 donc l'équation x 2−5 x+ 4=0 admet deux solutions : −b−√ Δ −(−5)−√ 9 5−3 x1 = = = =1 2a 2×1 2 −b+ √ Δ −(−5)+√ 9 5+3 x 2= = = =4 2a 2×1 2 donc u ( x) est strictement positif sur ]−∞ ;1[ et sur ] 4;+∞ [. • On calcule les primitives de f : Les primitives de la fonction f sur l'intervalle ]−∞ ;1 [ sont les fonctions F de la forme : F ( x)=ln( x 2−5 x+ 4)+c , où c est une constante réelle. 2 x−5 x −5 x+4 2 • On reconnaît que f est de la forme Exercice 11 Déterminer les primitives sur I des fonctions f suivantes : 2 x−1 1 1) f ( x)= 2 ; I =]3;+∞[ 2) f ( x)= 3 x−2 x −x−6 Chapitre 5 : Logarithme ; I= ] [ 2 ;+∞ 3 6