Fonctions logarithmes

Chapitre 5
Fonctions logarithmes
I. DEFINITION
Définition
On appelle fonction logarithme népérien, l'unique fonction f définie et dérivable sur
]0;+∞ [,
ayant pour fonction dérivée la fonction
f ' (x)=1
x,
et vérifiant, pour tous réels a et b strictement
positifs, la relation fonctionnelle suivante :
f(ab)= f(a)+ f(b)
La fonction logarithme est notée ln(x).
Remarques
•
ln(1)=0
•La fonction ln est donc la primitive sur
]0;+∞ [,
qui s'annule en 1, de la fonction
x→1
x.
II.PROPRIETES ALGEBRIQUES
Propriétés
Pour tous nombres réels a et b, on a :
•
ln(ab)=ln(a)+ln (b)
•
ln
(
1
a
)
= −ln(a)
•
ln
(
a
b
)
=ln(a)−ln(b)
•
ln(an)=nln(a)
(avec n entier relatif)
•
ln(
√
a)=1
2ln(a)
Exercice 1
1) Écrire les réels suivants en fonction de
ln(3) et ln (5):
a)
ln(75)
b)
ln
(
27
25
)
c)
ln(
√
125)
2) Écrire les réels suivants en fonction de
ln(2) et ln(7):
a)
ln(28)
b)
ln
(
49
8
)
c)
ln(
√
32)
3) Écrire les expressions suivantes sous la forme
ln(f(x))
où
f(x)
désigne une expression
qui dépend de x :
a) Pour tout x de
] 2;+∞[,
A(x)=ln (x+5)−ln (x−2).
b) Pour tout x de
]1;+∞[,
B(x)=ln(x2+1)+1
2ln(x−1)
Chapitre 5 : Logarithme 1

III. ETUDE DE LA FONCTION ln
1) Ensemble de définition
Propriété
L'ensemble de définition de la fonction ln est
]0;+∞ [.
2) Fonction dérivée et sens de variation
Propriétés
La fonction ln est dérivable sur
]0;+∞ [
et sa fonction dérivée est
(ln(x))'=1
x.
Conséquence
La fonction ln est strictement croissante sur
]0;+∞ [
car sa dérivée est strictement positive sur
]0;+∞ [.
Exercice 2
Calculer la dérivée des fonctions suivantes définies sur
]0;+∞ [:
1)
f(x)=4ln x+x2
2)
f(x)=(ln x)5
3)
f(x)=ln x
x
3) Limites
Propriétés
lim
x→0
x>0
ln(x)=−∞
et
lim
x→+∞
ln(x)=+∞
Une autre limite à connaître :
Pour tout entier naturel n,
lim
x→+∞
ln(x)
xn=0.
Exercice 3
Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition I des fonctions suivantes :
1)
f(x)=1
x−2 ln x
;
I=]0;+∞[
2)
f(x)=−1+3x+1
ln x
;
I=]0;1[
4) Tableau de variations et courbe
Tableau de variation de la fonction ln
x
0
+∞
(ln(x))'
+
ln(x)
+∞
−∞
Courbe représentative de la fonction ln
Chapitre 5 : Logarithme 2

Exercice 4
Soit la fonction f définie sur
]0;+∞[
par
f(x)=−3ln x+1.
On appelle C sa courbe
représentative dans un repère orthonormal
(O;I,J) d'unité graphique 2 cm.
1) Déterminer les limites de f aux bornes de
son ensemble de définition. En déduire que C
admet une asymptote dont on précisera
l'équation.
2) a) Calculer la fonction dérivée de f.
b) Étudier le signe de
f ' (x)
puis établir
le tableau de variation de f.
c) Combien l'équation
f(x)=0
admet-elle
de solutions dans l'intervalle
]0 ;+∞[ ?
En
donner une valeur approchée à 0,1 près.
3) a) Préciser
f(1) et f ' (1)
et déterminer
l'équation de la tangente à la courbe C au point
d'abscisse 1.
b) Tracer cette tangente.
4) Construire la courbe C.
Exercice 5
Soit la fonction f définie sur
]0;+∞[
par
f(x)=2x−4+ln x.
On appelle C sa courbe représentative dans
un repère orthonormé (O;I,J) d'unité
graphique 1 cm.
1) Déterminer les limites de f aux bornes de
son ensemble de définition. En déduire que la
courbe de f admet une asymptote dont on
précisera l'équation.
2) a) Calculer la fonction dérivée de f.
b) Étudier le signe de
f ' (x)
puis établir
le tableau de variation de f.
c) Combien l'équation
f(x)=0
admet-
elle de solutions dans l'intervalle
]0 ;+∞[ ?
En donner une valeur
approchée à 0,1 près.
3)a) Préciser
f(1) et f ' (1)
et déterminer
l'équation de la tangente à la courbe C au
point d'abscisse 1.
b) Tracer cette tangente.
4) Construire la courbe C.
Chapitre 5 : Logarithme 3

IV. NOMBRE e, EQUATIONS ET INEQUATIONS
1) Le nombre e
D'après le tableau de variation de la fonction ln, l'équation
ln x=1
admet une unique solution
dans l'intervalle
]0;+∞ [.
Tableau de variation de la fonction ln
x
0
e
+∞
ln(x)
+∞
1
−∞
Courbe représentative de la fonction ln
Propriété
Il existe un unique réel, noté e tel que :
ln e=1.
(Remarque :
e≃2,718.
)
Exercice 6
Calculer la valeur des nombres suivants :
A=ln e7=
…...............................................................................................................................................
B=4ln e5=
….............................................................................................................................................
C=ln e3+ln1
e6=
…....................................................................................................................................
2) Équations et inéquations
Propriétés
Soient a et b deux réels strictement positifs.
•
a=b
si et seulement si
ln a=ln b.
•
a<b
si et seulement si
ln a<ln b.
Remarque : la seconde propriété est vraie car la fonction ln est strictement croissante.
Application 1 : Résolution d'équations et d'inéquations faisant apparaître du ln
Exemple : Résoudre l'équation
ln(x+2)=ln 5.
Cette équation est définie lorsque
x+2>0
c'est-à-dire
x>−2.
ln x+2=ln 5 ⇔x+2=5
⇔x=3
On a bien
3>−2
donc :
S={3}.
Exercice 7
1) Résoudre l'équation
ln(3x)+ln (x+2)=ln 9.
2) Résoudre l'inéquation
ln(3x−6)>5.
Chapitre 5 : Logarithme 4

Application 2 : Résolution d'inéquations avec des puissances, recherche de rang
Exemple : Soit
(un)
la suite définie par
un=2,1n.
À partir de quel rang a-t-on
un≥3200 ?
On résout l'inéquation
2,1n≥3200:
2,1n≥3200 ⇔ln (2,1n)≥ln 3200
⇔nln 2,1≥ln 3200
⇔n≥ln 3200
ln 2,1 (on ne change pas le sens du signe ≥ car 2,1>1 donc ln 2,1 est positif)
⇔n≥10,87
Conclusion : On a
un≥3200
à partir du rang
n=11.
Exercice 8
1) Soit
(vn)
la suite définie par
vn=0,4n.
Déterminer le rang à partir duquel
vn≤0,001.
2) Résoudre dans
ℕ
l'inéquation
1,3n≥1000.
V. FONCTIONS DE TYPE ln( u )
1) Dérivée
Propriété
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de
ℝ
tel que pour tout x de I,
u(x)>0.
Soit f la fonction définie sur I par
f(x)=ln(u(x)).
Alors f est dérivable sur I et
f ' (x)=u ' (x)
u(x).
Exemple : calculer la dérivée de la fonction f définie par
f(x)=ln (3x−6).
•ensemble de définition : f est définie pour
3x−6>0⇔x>6
3⇔x>2.
•f est de la forme
ln(u)
avec
u(x)=3x−6
d'où
u ' (x)=3.
•f est donc dérivable sur
] 2;+∞ [
et
f ' (x)=u' (x)
u(x)=3 3x−6=1 x−2.
Exercice 9
1) Calculer la dérivée de la fonction f définie par
f(x)=ln(2x).
2) Calculer la dérivée de la fonction g définie par
g(x)=ln(x2+3x+4).
2) Limites
Propriété
Soit u une fonction définie sur un intervalle I de
ℝ
telle que pour tout x de I,
u(x)>0.
On considère les limites en un nombre réel, ou en
+∞ ou −∞.
•Si
lim u(x)=0
alors
lim ln(u(x))=−∞.
•Si
lim u(x)=+∞
alors
lim ln(u(x))=+∞.
•Si
lim u(x)=b
avec b réel strictement positif alors
lim ln(u(x))=lnb.
Chapitre 5 : Logarithme 5