Chapitre IV : Complexes 1 Le Plan complexe

1
UNIVERSITÉ DE CERGY
Année 2012-2013
U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie et Mathématiques
MATH104 : Mathématiques
Chapitre IV : Complexes
1
1.1
Le Plan complexe
Introduction
Dans tout ce chapitre, on supposera que le plan est muni d’un repère orthonormé direct
−
−
(O; →
u ,→
v ). L’ensemble des nombres complexes est noté C : c’est l’ensemble des couples de réels
(a, b). Donc C = R × R.
On définit sur C les deux opérations internes suivantes : soient z = (a, b), et z 0 = (a0 , b0 ) ∈
C, on pose :
Addition :
z + z 0 = (a + a0 , b + b0 )
∈C
0
0
0
0
0
Multiplication : z · z
= (aa − bb , ab + a b) ∈ C
(C, +, ·) est muni d’une structure de corps commutatif : on liste ci-dessous les propriétés vérifiées
par ces deux opérations :
Pour tous (z, z 0 , z 00 ) ∈ C3 , en posant z = (a, b), z 0 = (a0 , b0 ) et z 00 = (a00 , b00 ).
• Structure de groupe additif :
– C 6= ∅ car (0, 0) ∈ C.
– L’addition est associative : (z + z 0 ) + z 00 = (a + a0 , b + b0 ) + (a00 + b00 ) = (a + a0 + a00 , b + b0 + b00 )
et z + (z 0 + z 00 ) = (a, b) + (a0 + a00 , b0 + b00 ) = · · · = z + (z 0 + z 00 ).
– L’addition est commutative : z + z 0 = (a + a0 , b + b0 ) = (a0 + a, b0 + b) = z 0 + z.
– 0 = (0, 0) est l’élément neutre pour l’addition : en effet, z + 0 = (a, b) + (0, 0) = (a, b) =
0 + z = z.
– Tout nombre complexe z possède un opposé pour l’addition : Posons −z = (−a, −b) alors
z + (−z) = (0, 0) = 0 = (−z) + z.
• Structure de groupe multiplicatif :
– C∗ = C r {(0, 0)} =
6 ∅ car (1, 0) ∈ C∗
– La multiplication est associative : (z · z 0 ) · z 00 = · · · = z · (z 0 · z 00 ).
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1.2
Vocabulaire
2
– La multiplication est commutative : z · z 0 = (a, b) · (a0 , b0 ) = (aa0 − bb0 , ab0 + a0 b) = (a0 a −
b0 b, a0 b + ab0 ) = z 0 · z.
– 1 = (1, 0) est l’élément neutre pour la multiplication : en effet, z · 1 = (a, b) · (1, 0) = (a, b) =
z = 1 · z.
– Tout nombre complexe z non nul possède un inverse
pour la multiplication : si z = (a, b) 6=
!
z
a
−b
(0, 0), posons z −1 = 2
=
,
∈ C,
a + b2
a2 + b2! a2 + b2
a
−b
, 2
= · · · = (1, 0) = 1
alors z · z −1 = (a, b) · 2
2
a + b a + b2
• Distributivité : (z + z 0 ) · z 00 = z · z 00 + z 0 · z 00 = z 00 · (z + z 0 ) (à vérifier en exercice ... )
Remarques :
1. Comme dans R, l’opposé (resp. l’inverse) d’un complexe z (resp. non nul) permet de définir
la soustraction (resp. la division) de deux nombres complexes non nuls.
2. Justifiez que l’on NE peut PAS munir C d’une structure de corps ordonné.
3. Le théorème du produit nul est vrai sur C : ∀(z,0 z 0 ) ∈ C2 , z.z 0 = 0 ⇐⇒ z = 0 ou z 0 = 0
1.2
Vocabulaire
On peut vérifier que les opérations définies sur C coïncident avec les opérations usuelles de R
(i.e. si (x1 , x2 ) ∈ R2 , posons x1 + x2 = x3 et x1 · x2 = x4 , on a : (x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0) =
(x3 , 0) et (x1 , 0) · (x2 , 0) = (x1 · x2 , 0) = (x4 , 0)) : on peut donc identifier R avec l’ensemble des
nombres de la forme (x, 0) et ainsi R ⊂ C.
Il est usuel de poser 1 = (1, 0) et i = (0, 1) alors le nombre z = (a, b) du plan complexe s’écrit
simplement :
z = a + ib
En effet, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1)
Le nombre i vérifie alors : i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 : l’équation z 2 + 1 = 0 admet ainsi
une solution non réelle (le nombre i).
Soit z un nombre complexe. L’écriture z = a + ib, (a, b) ∈ R2 est dite forme algébrique de
z.
a est la partie réelle de z, notée Re(z). Si a = 0, on dit que z est imaginaire pur : on note iR
le sous-ensemble des imaginaires purs.
b est la partie imaginaire de z, notée Im(z). Si b = 0, z est un réel !
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même
partie imaginaire.
Définition 1. Le conjugué de z = a + ib est le complexe z défini par z = a − ib. On utilise
fréquemment les propriétés z = z ⇔ z ∈ R, et z = −z ⇔ z ∈ iR.
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1.3
Représentation graphique
3
Proposition 1. On vérifie aisément (en utilisant les formes algébriques par exemple) que pour
tous complexes z et z 0 :
z+z
z−z
1. Re(z) =
et Im(z) =
2
2i
0
0
2. z + z = z + z
3. zz 0 = z · z 0
4. −z = −z
5. ∀n ∈ N, z n = z n (à démontrer par récurrence sur n ∈ N)
6. z = z
7. z 0 6= 0,
1.3
z
z0
=
z
z0
Représentation graphique
−
−
Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O; →
u ,→
v ), à tout nombre complexe (a, b) ∈ C on
associe de façon évidente le point M de coordonnées (a, b) et réciproquement, à tout point M (x, y)
on peut associer un unique nombre complexe z défini par z = x + iy, (x, y) ∈ R2 . Dans ce cas z
est appelé l’affixe du point M (x, y) ( 1 ) et M (a, b) est le point image de z = a + ib.
Figure 1 – Le plan complexe
On peut s’apercevoir que si M est le point image d’un nombre complexe z et M 0 le point image
−
de z alors M 0 est l’image de M par la symétrie d’axe (O→
u)
2
Module et argument
Il est conseillé de revoir les notions d’angles orientés de vecteurs et de mesures d’un angle
orienté.
−−→
1. On dit aussi que z est l’affixe du vecteur OM
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2.1
2.1
Définition
4
Définition
Définition 2. Soit z ∈ C, le module de z = a + ib, (a, b) ∈ R2 est le réel |z| =
√
a2 + b2
Remarque : Si M est le point image de z, |z| représente la distance OM .
Figure 2 – Module (et argument) d’un nombre complexe
Propriété : ∀z = a + ib ∈ C, |z|2 = a2 + b2 = (a + ib)(a − ib) = z · z
Proposition 2. Pour tous nombres complexes z et z 0 , on a :
1.
2.
3.
4.
5.
|z| = |z|
|(−z)| = |z|
|z · z 0 | = |z| · |z 0 |
∀n ∈ N, |z n | = |z|n
z
|z|
0
si z 6= 0, 0 = 0
z
|z |
Preuve : Ces propriétés se démontrent en utilisant les formes algébriques de z et z 0
Théorème 1. Pour tous complexes z et z 0 :
1. |z + z 0 ] ≤ |z| + |z 0 |
2. |z| − |z 0 | ≤ |z − z 0 |
Définition 3. Soit z un nombre complexe non nul de point image M . On appelle argument de
−−→
−
z, toute mesure en radians de l’angle orienté (→
u , OM ). L’argument est donc défini à 2kπ (k ∈ Z)
près.
Les angles orientés de vecteurs étant définis à (2π) près, si θ est un argument de z, on notera
arg z = θ (2π).
0 n’a pas d’argument.
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2.1
Définition
5
Proposition 3. Pour tous nombres complexes non nuls z et z 0 on a :
3.
4.
5.
arg(z
· z 0 ) = arg(z) + arg(z 0 ) (2π)
z
arg 0 = arg z − arg(z 0 ) (2π)
z
∀n ∈ N, arg(z n ) = n arg(z) (2π)
arg(−z) = π + arg z (2π)
arg(z) = − arg z (2π)
6.
z ∈ R∗ ⇔ arg(z) = 0 (π) et z ∈ iR∗ ⇔ arg(z) =
1.
2.
π
(π)
2
Ces propriétés se démontrent aisément en utilisant la forme exponentielle des nombres complexes,
voir paragraphe suivant.
−
−
Rappels : On munit le plan complexe d’un repère orthonormal direct (O; →
u ,→
v ). Soit z un nombre
0
complexe non nul de point image MO . Soit M le point image de z d’argument θ = arg(z) et de
module 1 (M est l’intersection de la demi-droite [OM0 ) et du cercle C(O, 1) dit cercle trigonométrique) alors θ est la longueur de l’arc de cercle reliant les points U (1) et M .
Figure 3 – Cercle trigonométrique
Pour un réel θ donné, on définit le cosinus de θ (noté cos θ) comme l’abscisse du point M et le
sinus de θ (noté sin θ) comme l’ordonnée du point M .
Le tabeau suivant comporte les valeurs trigonométriques de base.
π
6
√
3
cos θ 1
2
t
0
sin θ 0
1
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
1
2
√
3
2
π
2
0
1
Proposition 4. Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont le même
module et des arguments égaux à un multiple (entier) de 2π près.
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2.2
Forme trigonométrique
Exercice 1.
6
Déterminer le module et l’argument des nombres complexes suivants :
1. z1 = 2
2. z2 = 2i
3. z3 = 3 − 3i
√
4. z4 = 4 + 4i 3
2.2
Forme trigonométrique
Définition 4. Soit z un nombre complexe non nul, en posant r = |z| et θ = arg(z)(2π), on peut
écrire z = r(cos θ + i sin θ). C’est la forme trigonométrique de z.
Justification :
z
Soient M0 le point image de z, et M le point image de z 0 = = x0 + iy 0 , alors OM = |z 0 | = 1
r
−−→
−−→
−
−
et cos θ = cos(→
u , OM ) = cos(→
u , OM ) = x0 et sin θ = y 0 . D’où z 0 = cos θ + i sin θ et z = rz 0 =
r(cos θ + i sin θ).
2.3
Forme exponentielle
Définition 5. Pour tout réel θ, on pose eiθ = cos θ + i sin θ. Ainsi, si z ∈ C, z = |z|eiθ où
θ = arg z(2π) : c’est la forme exponentielle de z.
Exemples 1.√ ei0 =
z = 2 − 2i 3 =
,
eiπ =
,
π
ei 2 =
,
π
e−i 2 =
.
Proposition 5. Pour tous réels strictement positifs r et r0 et pour tous réels θ et θ0 :
0
reiθ r0 eiθ = r · r0 ei(θ+θ )
1
= e−iθ = eiθ
2.
eiθ iθ
re
r i(θ−θ0 )
3.
e
0 =
0
iθ
re
r0
Théorème 2 (Formules d’Euler). Pour tout réel θ :
1.
eiθ + e−iθ
eiθ − e−iθ
et sin θ =
cos θ =
2
2i
Preuve : Écrire eiθ = cos θ + i sin θ et e−iθ = cos(−θ) + i sin(−θ) = cos θ − i sin θ
3
Applications à la géométrie
Remarque : Soient A(zA ) et B(zB ) deux points du plan complexe. Soit M (zM ) le point tel que
−−→ −→
−→
→ = zB − zA : on parle de l’affixe du vecteur AB.
OM = AB. Alors zM = zB − zA . On note z−
AB
Justification : Revenir aux coordonnées cartésiennes :
A(xA , yA ) ⇔ zA = xA!+ iyA et B(xB , yB ) ⇔ zB = xB + yB .
−−→ −→ xB − xA
OM = AB
⇔ zM = (xB − xA ) + i(yB − yA ) = zB − zA .
yB − yA
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7
Proposition 6. Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan d’affixes respectives zA , zB , zC
zD .
−→
−
1. |zB − zA | = AB et arg(zB − zA ) = (→
u , AB) (2π)
2.
− zC CD
zD − zC
et arg
=
zB − zA
AB
zB − zA
zD
−→ −−→
= (AB, CD)
(2π)
−
−
Exercice 2. Dans le plan
d’un repère orthonormé direct (O, →
u ,→
v ) on considère
√ complexe muni √
les points A(zA = 5 − i 3), B(zB = 4 + 2i 3)
1. Déterminer les coordonnées de Q milieu de [OB].
2. Déterminer les coordonnées de K de telle sorte que ABQK soit un parallélogramme.
3. Quelle est la nature du triangle OKA ? Quelle est la nature du quadrilatère OQKA ?
2zA
4. Soit C d’affixe zC =
. Que peut-on dire des points B, C et K ?
3
4
4.1
« Racines » d’un nombre complexe - Équations polynomiales dans C
« Racines carrées » d’un nombre complexe
Proposition 7. Soit z un nombre complexe non nul, l’équation (E) : ω 2 = z admet exactement
deux racines z1 et z2 = −z1 appelées « racines carrées » de z.
Exercice 3. Déterminer les racines carrées de z = 2 + 2i.
Remarques :
1. Le choix d’utiliser la forme exponentielle de z se fera si celle-ci est simple à déterminer.
√
pour exprimer la racine carrée d’un nombre complexe,
2. Il est interdit d’utiliser la notation
car ce n’est pas une fonction sur C.
4.2
Équations polynomiales du second degré
La méthode pour résoudre une équation du second degré (E) : az 2 + bz + c = 0, a 6= 0, est
identique au cas réel : posons ∆ = b2 − 4ac : si ∆ 6= 0, ∆ possède deux racines carrées complexes
δ et −δ (voir paragraphe précédent) et les deux solutions complexes sont alors :
z1 =
Exercice 4.
Exercice 5.
−b + δ
et
2a
z2 =
−b − δ
2a
Résoudre l’équation z 3 + i = 0.
Résoudre l’équation z 2 − (5 + 3i)z + 7i + 4 = 0
Le théorème suivant est un résultat fondamental qui étend les précédents (et sera admis) :
Théorème 3 (de d’Alembert ou Théorème fondamental de l’Algèbre). Tout polynôme non constant
à coefficients complexes admet (au moins) une racine complexe.
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4.3
Racines énièmes d’un nombre complexe
8
Le théorème de factorisation se réécrit pour un polynôme à coefficients complexes.
Corollaire 1 (factorisation sur C). Si un polynôme à coefficients complexes s’écrit
P (z) = a0 + · · · + ad z d ,
avec d > 0,
ad 6= 0, a0 , . . . , ad ∈ C
(1)
il a alors d racines z1 , . . . , zd et
P (z) = ad (z − z1 ) · · · (z − zd )
(2)
La relation (2) est appelée factorisation d’un polynôme à coefficients complexes. Ici, certaines
racines peuvent être répétées.
Cas particulier des polynômes à coefficients réels :
P (z) = a0 + · · · + ad z d ,
avec d > 0, ad 6= 0,
a0 , . . . , ad ∈ R
(3)
Dans ce cas les racines sont réelles ou complexes. Soit u ∈ C tel que P (u) = 0 alors les propriétés
de la conjugaison impliquent P (u) = 0. On peut ainsi classer les racines de P selon qu’elles soient
réelles ou complexes. Si z1 , . . . , zk sont les racines de P de partie imaginaire strictement positive,
on en déduit k autres racines complexes z1 , . . . , zk et les d − 2k autres racines x1 , . . . , xd−2k sont
alors réelles. Par suite la factorisation complexe (2) peut être réécrite ici comme :
P (z) = ad (z − x1 ) · · · (z − xd−2k ) ((z − z1 )(z − z1 )) · · · ((z − zk )(z − zk ))
Lemme : Soit u ∈ C alors : (z − u)(z − u) = z 2 − (u + |u|)z + |u|2 = z 2 − 2Re(u)z + |u|2 où
Re(u) désigne la partie réelle de u.
Ce lemme implique alors :
Corollaire 2 (factorisation sur R). Soit P un polynôme à coefficients réels, il existe des
nombres réels α1 , . . . , αk , x1 , . . . , xd−2k ∈ R, β1 , . . . , βk > 0 vérifiant
P (x) = ad (x − x1 ) · · · (x − xd−2k )(x2 − 2α1 x + β1 ) · (x2 − 2αk x + βk ).
(4)
On note que αj = Re(zj ) et βj = |zj |2 si 1 ≤ j ≤ k.
Exercice 6.
4.3
Factoriser sur C puis R le polynôme P (x) = x5 − x4 + x − 1
Racines énièmes d’un nombre complexe
Le but de ce paragraphe est l’étude de l’équation ω n = z où n est un entier strictement positif
et z est un complexe non nul.
Remarque : Nous aurons besoin d’utiliser dans ce paragraphe la formule
de
De Moivre (qui sera
iθ n
démontrée au paragraphe suivant) : Pour tout entier n et tout réel θ : e
= einθ
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4.3
4.3.1
Racines énièmes d’un nombre complexe
9
Racines énièmes de l’unité
Théorème 4. Soit n ∈ N∗ . L’équation (E0 ) : ω n = 1 admet n solutions distinctes dans C,
2kπ
appelées racines énièmes de l’unité. Ce sont les nombres complexes ωk définis par : ωk = ei n
avec k ∈ {0, 1, · · · , n − 1}.
Exemples 2.
• Si n = 2, ω0 = 1 et ω1 = −1
2π
i 4π
3 et ω = e 3
• Si n = 3, ω0 = 1, ω1 = ei √
2
2π
4π
1
3
, alors j 2 = j = ei 3 : ce sont les racines cubiques de l’unité.
On note j = ei 3 = − + i
2
2 π
3π
• Si n = 4, ω0 = 1, ω1 = i = ei 2 ,ω2 = −1 = eiπ , ω = −i = ei 2
Théorème 5. Les images des racines énièmes de l’unité forment un polygone régulier à n côtés,
tracé sur le cercle unité, et dont l’un des sommets est le point d’affixe 1.
2π
Justification : Soit ω1 = ei n : les n racines énièmes de l’unité sont alors les n puissances de ω1 : si
k ∈ [[1; n]], ωk = ω1k (avec ω1n = 1). On note Mk le point image de ωk : pour tous k ∈ {1, · · · , n},
Mk Mk+1 = |ωk+1 − ωk | = |ω1k+1 − ω1k | = |ω1k ||ω1 − 1| = |ω1 − 1| car ω1 est de module 1. Donc
Mk Mk+1 est constant : le polygone M1 M2 · · · Mn est donc régulier Théorème 6. Si ω est une racine énième de l’unité, avec ω 6= 1, alors 1 + ω + ω 2 + · · · + ω n−1 = 0.
En particulier, la somme des n racines énièmes de l’unité est nulle.
Exemple 3.
4.3.2
A retenir : 1 + j + j 2 = 0.
Racines énièmes d’un complexe non nul
On veut généraliser l’étude précédente, et résoudre l’équation d’inconnue ω, (E) : ω n = z, où
z est un complexe non nul (on écarte le cas z = 0 car, de manière évidente, seul 0 est dans ce cas
solution). On procède comme au paragraphe ci-dessus, avec les formes exponentielles
ω = ρeiθ et
1
α 2π
z = reiα ; l’équation (E) devient : ρn einθ = reiα , d’où l’on tire ρ = r n , et θ =
.
n n
Théorème 7. Soit n un entier non nul. Tout complexe non nul z = reiα admet n racines énièmes.
1
wk = r n ei
α+2πk
n
où k ∈ {0, · · · , n − 1}
Remarque : On obtient toutes les racines énièmes d’un complexe non nul en multipliant l’une
quelconque d’entre elles par toutes les racines énièmes de l’unité.
Justification : Soient n ∈ N∗ et z = reiα ∈ C∗ , Ω une racine énième de z et {ω0 , ω2 , · · · , ωn−1 } les
n racines énièmes de l’unité. Alors pour tout k ∈ {0, · · · , n − 1}, (Ωωk )n = (Ω)n · (ωk )n = z · 1 = z.
De plus, si k 6= k 0 , alors Ωωk 6= Ωωk0 , on obtient donc les n racines énièmes de z √
Exercice 7. Calculer les racines quatrièmes de z = 3 + i.
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10
5
Trigonométrie
L’argument d’un nombre complexe θ = arg z étant défini à 2π près, s’il existe k ∈ Z tel que
0
θ0 = θ + 2kπ, alors z = eiθ = z 0 = eiθ . Une première conséquence est que les fonctions sinus et
cosinus sont périodiques de période 2π :
cos(θ + 2π) = cos θ
sin(θ + 2π) = sin θ
Une application importante du cercle trigonométrique est la résolution d’équations trigonométriques, la preuve de l’énoncé qui suit se lit simplement sur le cercle trigonométrique (voir figure
4.).
Théorème 8.
1. L’équation cos α = cos θ admet les solutions α = θ + 2kπ et α = −θ + 2kπ où k ∈ Z.
2. L’équation sin α = sin θ admet les solutions α = θ + 2kπ et α = π − θ + 2kπ où k ∈ Z.
Figure 4 – Équations trigonométriques
Théorème 9 (formule de De Moivre).
0
0
∀(θ, θ0 ) ∈ R2 , eiθ · eiθ = ei(θ+θ )
Ci-dessous, quelques utilisations fondamentales de ces formules :
– Restituée en termes des fonctions trigonométriques sin et cos, la formule de De Moivre
s’écrit :
(
cos(θ + θ0 ) = cos θ cos θ0 − sin θ sin θ0
sin(θ + θ0 ) = sin θ cos θ0 + sin θ0 cos θ
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– Quelques conséquences de cette relation : on utilise arg z = − arg z et (eiθ ) = cos θ − i sin θ
i.e. e−iθ = cos(−θ) + i sin(−θ) = cos θ − i sin θ donc cos(−θ) = cos θ et sin(−θ) = − sin θ
π
cos θ +
2
π
−θ
cos
2
cos(π + θ)
cos(π − θ)
π
sin θ +
2
π
sin
−θ
2
sin(π + θ)
sin(π − θ)
= − sin θ
et
=
sin θ
et
= − cos θ
= − cos θ
et
et
=
cos θ
=
cos θ
= − sin θ
=
sin θ
– On en déduit par récurrence la formule suivante, connue sous le nom de formule de De
Moivre :
n
∀n ∈ Z, ∀θ ∈ R, einθ = eiθ
Elle s’écrit en utilisant la formule du binôme :
n
cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos θ + i sin θ) =
n
X
k=0
!
n−k
i
n
cosk θ sinn−k θ
k
Exercice 8. Utiliser la formule de De Moivre afin de « linéariser » cos2 θ, sin2 θ, cos3 θ et sin3 θ.
Exercice 9. Résoudre l’équation (E) : cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0
Exercice 10. Soit (p, q) ∈ R2 : écrire sous forme de produits sin p + sin q et cos p + cos q
6
Transformations du plan
Définition 6. Une transformation T du plan est une application bijective du plan dans luimême.
Définition 7. écriture complexe d’une transformation Soit T une transformation du plan
complexe. À tout point M d’affixe z du plan, T associe un unique point M 0 d’affixe z 0 du plan.
L’application de C vers C, qui à z associe z 0 , est appelée fonction complexe (ou écriture complexe)
associée à T .
Exemples 4.
−
0
→
→
1. La translation de vecteur →
u d’affixe z−
u a pour écriture complexe : z = z + z−
u.
2. L’homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k ∈ R∗ a pour écriture complexe z 0 = k(z−ω)+ω.
3. La rotation de centre Ω(ω) et d’angle θ a pour écriture complexe : z 0 = eiθ (z − ω) + ω.
4.
Les projections sur une droite ne sont pas des transformations.
Donner l’écriture complexe des transformations suivantes :
π
1. La rotation de centre A(2 + i) et d’angle .
4
2. La symétrie centrale de centre A(1 − i).
−
3. La translation de vecteur →
u (−i).
Exercice 11.
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Définition 8. Une similitude plane S du plan est une transformation qui conserve les rapports
des distances : i.e. pour tous points M , N , et P (M 6= N ) d’images respectives M 0 , N 0 et P 0 par
S, on a
M 0P 0
MP
=
0
0
MN
MN
Proposition 8. Une transformation du plan est une similitude si et seulement si S multiplie les
distances par un réel k > 0 appelé rapport de la similitude.
Preuve : Si S est une similitude plane qui transforme les points M , N et P (distincts deux à
M 0P 0
M 0N 0
M 0P 0
MP
donc
=
. Ainsi, pour tous points M et N
deux) en M 0 , N 0 et P 0 on a 0 0 =
M
N
M
N
M
N
M
P
M 0N 0
distincts, le rapport
est constant, égal à un réel k > 0 MN
Définition 9. Une transformation f du plan est un isométrie si elle conserve les distances, i.e.
pour tous points M et N d’images respectives M 0 et N 0 par f , on a M 0 N 0 = M N .
En d’autres termes, les isométries sont les similitudes de rapport 1.
Exemples 5. Les translations, les rotations, les symétries axiales et centrales sont des isométries
du plan.
Proposition 9. La composée d’une similitude de rapport k > 0 et d’une similitude de rapport
k 0 > 0 est une similitude de rapport k · k 0 .
Proposition 10. La transformation réciproque d’une similitude S de rapport k > 0 est une
1
similitude S 0 de rapport .
k
Exercice 12.
Extrait de l’examen de janvier 2012
1. Pour tout nombre complexe z on pose : P (z) = z 4 − 1
(a) Factoriser P (Z).
(b) En déduire les solutions dans C de l’équation P (z) = 0.
2z + 1 4
(c) En déduire les solutions dans C de l’équation
=1
z−1
(on donnera les solutions sous forme algébrique)
2. Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct (O; ~u; ~v ) (d’unité 5cm)
−1 − 3i
−1 + 3i
(a) Placer Les points A, B, et C d’affixes : a = −2; b =
et c =
.
5
5
(b) Démontrez que les points O; A; B; C sont situés sur un cercle dont on donnera le centre
et le rayon.
−1 1
3. (a) Placez le point D d’affixe d =
+ i sur la figure.
2
2
a−c
(b) Exprimez sous forme trigonométrique le complexe z 0 défini par : z 0 =
d−c
(c) Quelles conclusions géométriques pouvez vous tirez de l’expression de z 0 ?
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Exercice 13.
Extrait de l’examen de juin 2012
Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct (O;~i, ~j), d’unité graphique
2 cm, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a = 2i, b = i, c = −1 + i et
d = 1 + i. Vous devez faire une figure que vous complèterez au fur et à mesure de l’exercice.
1. Soit f l’application de P privée du point B dans P qui à tout point M d’affixe z 6= zB
associe le point M 0 d’affixe z 0 tel que :
z0 = i
(z − 2i)
(z − i)
Déterminez l’ensemble des points M de P vérifiant f (M ) = M : donnez leurs affixes sous
forme algébrique puis trigonométrique.
AM
; et si de plus z 6= 2i,
2. (a) Montrez que, pour tout complexe z différent de i : |z 0 | =
BM
−
−
→
−
−
→
π
arg(z 0 ) = (M B; M A) +
(2π).
2
(b) Déterminez puis construisez l’ensemble (E) des points M d’affixe z tels que |z 0 | = 1.
(c) Déterminez puis construisez l’ensemble (F) des points M d’affixe z tels que arg(z 0 ) =
π
(2π)
2
1
.
3. (a) Démontrez que pour tout complexe z différent de i : z 0 − i =
z−i
1
(b) Soit M un point du cercle C de centre B et de rayon , démontrez que son image M 0
2
par f appartient à un cercle de centre B dont vous préciserez le rayon.
Définition 10. On dit qu’une similitude S du plan est directe si elle conserve les angles orientés
de vecteurs : ainsi, soient A, B, C et D quatre points où A 6= B et C 6= D d’images respectives
−−→ −−→
−→ −−→
A0 , B 0 , C 0 et D0 alors (AB, CD) = (A0 B 0 , C 0 D0 ) (2π)
Proposition 11. 1. La composée de deux similitudes directes est une similitude directe.
2. La réciproque d’une similitude directe est une similitude directe.
La démonstration est immédiate
Théorème 10. Toute similitude directe du plan a une écriture complexe de la forme z 0 = az + b
où a ∈ C∗ et b ∈ C.
Exercice 14.
Montrer que la réciproque du théorème précédent est vraie.
Proposition 12. Soit S une similitude directe d’écriture complexe z 0 = az + b.
1. Si S n’est pas une translation (i.e. a 6= 1), alors S possède un unique point fixe (i.e. invariant
par S) : appelé centre de la similitude .
2. Soient A et B deux points distincts d’images respectives A0 et B 0 alors l’angle orienté
−→ −−→
(AB, A0 B 0 ) ne dépend ni de A ni de B. Cet angle est appelé angle de la similitude directe.
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Propriété 1. Une similitude directe qui n’est pas une translation est entièrement déterminée par
la donnée de son centre, d’un point et de son image.
Définition 11. Une similitude directe de rapport k = 1 est appelée déplacement.
Proposition 13. Tout déplacement du plan est soit une translation, soit une rotation.
Preuve : D’après la définition, un déplacement f a une écriture complexe de la forme z 0 = eiθ z +b :
si θ = 0, f est une translation, et si θ 6= 0, f est une rotation d’angle θ Définition 12. Une similitude non directe (ou indirecte) est une similitude qui inverse les angles
orientés : i.e. soient A, B, C et D quatre points (avec A 6= B et C 6= D) d’images respectives A0 ,
−−→ −−→
−→ −−→
B 0 , C 0 et D0 : on a (AB, CD) = −(A0 B 0 , C 0 D0 ) (2π).
Exemple 6.
Toute réflexion d’axe ∆ est une similitude indirecte.
Théorème 11. Toute similitude indirecte peut se décomposer sous la forme f = σ ◦ S où S est
une similitude directe et σ une symétrie axiale (ou réflexion).
Théorème 12. Une transformation du plan est une similitude indirecte si et seulement si son
écriture complexe est de la forme z 0 = a · z + b où a et b sont deux nombres complexes, a 6= 0.
Exercice 15.
1. Soit S d’écriture complexe z 0 = 3iz − 1 + 2i. Donner le rapport de S et ses points invariants.
2. Soit S d’écriture complexe z 0 = z + 2 (Le rapport de S est égal à 1 on dit que S est un
antidéplacement). Vérifier que S ne possède pas de point invariant, puis que S est la composée
−
de la translation de vecteur 2→
u et de la réflexion d’axe (Ox)
Lemme 1. Une similitude plane S qui admet trois points fixes non alignés est l’identité.
Preuve : Soient A, B et C trois points non alignés tels que S(A) = A, S(B) = B et S(C) = C.
AB
S(A)S(B)
=
= 1 : S est une isométrie. Soit M un point
Le rapport de la similitude est
AB
AB
quelconque du plan. Supposons que S(M ) 6= M alors, comme s est une isométrie, on en déduit
que A, B et C sont sur la médiatrice de [M M 0 ] : contradiction avec le fait qu’ils ne sont pas
alignés. Lemme 2. Une similitude plane S qui admet deux points fixes distincts A et B est l’identité ou
la réflexion d’axe (AB).
Preuve : Soit C un point n’appartenant pas à la droite (AB). Soit C 0 = S(C).
1. Si C 0 = C : alors S admet trois points fixes non alignés et S = id.
S(A)S(B)
2. Sinon, on le rapport de S est
= 1, S est une isométrie : soit t la symétrie axiale
AB
0
0
AC
BC
d’axe (AB) : on a
=1=
donc A et B appartiennent à la médiatrice de [CC 0 ]
AC
BC
Soit t la symétrie d’axe (AB) on a t(C 0 ) = C et donc S ◦ t(C) = C. De plus S ◦ t(A) = A et
S ◦ t(B) = B. Donc S ◦ t admet trois points fixes non alignés : c’est l’identité et S = t−1 = t L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques
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