Exercice 18
Soit fune fonction de classe C2sur [a, b]. Montrer que, pour tout c∈]a, b[, il existe d∈]a, b[ tel
que :
f(c) = f(a) + f(b)−f(a)
b−a(c−a) + 1
2(c−a)(c−b)f00(d).
Indication : Consid´erer g(x) = f(x)−f(a) + f(b)−f(a)
b−a(x−a) + 1
2K(x−a)(x−b).
Exercice 19
Soit f∈ Cn([a, b],R) qui s’annule en n+ 1 points de [a, b]. Montrer qu’il existe x0∈]a, b[ tel que
f(n)(x0) = 0.
Exercice 20
Soit f:] −1,1[7→ Rd´efinie par :
f(x) = 1
√1−x2.
Soit Pnle polynˆome d´efini par :
P0= 1, Pn+1 = (1 −X2)P0
n+ (2n+ 1)XPn.
Montrer que fest infiniment d´erivable sur ] −1,1[ et que, pour tout n∈N,
∀x∈]−1,1[, f(n)(x) = Pn(x)
(1 −x2)n+1
2
.
Exercice 21
Soit fl’application d´efinie sur Rpar f(x) = 1 si x∈Qet f(x) = xsi x /∈Q.
1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n,√2
nest irrationnel.
2. Etudier les suites f(1
n)n≥1et f(√2
n)n≥1
3. Que peut-on conclure sur la continuit´e de fen 0 ?
Exercice 22
Soient fet gles applications d´efinies sur R∗
+par f(x)=4−ln xet g(x)=4−ln x−x.
1. Etudier les variations fet g.
2. Montrer que l’intervalle [2, e2] est stable par f. On rappelle : 2 <e<9.
3. Montrer que l’´equation g(x) = 0 admet une unique solution que l’on notera l. Montrer :
2< l < e2.
4. (a) Montrer que :
∀x∈[2, e2],|f0(x)| ≤ 1
2
(b) En d´eduire que :
∀x∈[2, e2],∀y∈[2, e2],|f(x)−f(y)| ≤ 1
2|x−y|
5. On d´efinit la suite (un)n≥0par la donn´ee de u0∈[2, e2] et un+1 =f(un), pour tout entier
naturel n.
(a) Montrer que la suite est bien d´efinie et que un∈[2, e2] pour tout entier naturel n.
(b) Montrer que, pout tout entier naturel n,|un−l| ≤ 71
2n.
(c) En d´eduire la nature de la suite (un)n≥0.
(d) Expliquer comment obtenir une approximation de l`a 10−2pr`es.
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