Langage de la continuité

Math´ematiques – Enseignement obligatoire Cours Chapitre 6 : Langage de la continuit´e
Langage de la continuit´e
I/ Continuit´e d’une fonction en un «point »a
A) Signification
Consid´erons une fonction f d´efinie sur un intervalle I contenant un r´eel a . On dit que a est un « point » de I . On dit
que fest continue en asi lim
x→af(x) = f(a).
B) Remarque
Si une fonction fn’est pas d´efinie en un point a, la question de la continuit´e de fen ane se pose mˆeme pas.
C) Exemple
On appelle partie enti`ere d’un r´eel xle plus grand entier relatif inf´erieur ou ´egal `a x.
Consid´erons la fonction Ed´efinie sur Rpar E(x) = partie enti`ere de x.
Voici la repr´esentation graphique de E:
−4−3−2−1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
0
Eest continue en 2,6.
En’est pas continue en 2.
En chaque point entier, En’est pas continue.
En ces points, la courbe repr´esentative de E pr´esente des
«sauts ».
D) Continuit´e et d´erivabilit´e
Toute fonction d´erivable en aest continue en a.
La r´eciproque est fausse.
II/ Continuit´e d’une fonction sur un intervalle
A) D´efinition
Soit fune fonction d´efinie sur un intervalle I.
On dit que fest continue sur Isi fest continue en tout point ade I.
B) Fonctions continues de r´ef´erence
Les r´esultats sur les limites justifient que les fonctions suivantes sont continues sur tout intervalle o`u elles sont d´efinies.
x7→ c(c∈R)x7→ x2x7→ x3x7→ xn(n≥1)
x7→ √x x 7→ |x|x7→ sin(x)x7→ cos(x)
Les sommes, produits, quotients et compos´ees de ces fonctions sont continues sur tout intervalle o`u elles sont d´efinies.
III/ Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires
Soit fune fonction d´efinie et continue sur un intervalle I.
Soient aet bdeux points de Iavec a<b.
Pour tout r´eel kcompris entre f(a) et f(b), il existe un r´eel ccompris entre aet btel que f(c) = k.
IV/ Fonctions continues strictement monotones
A) Rappel
On dit qu’une fonction est strictement monotone sur un intervalle I si elle est soit strictement croissante soit strictement
d´ecroissante sur I.
B) Convention
Les fl`eches obliques figurant dans les tableaux de variations indiquent la continuit´e et la stricte monotonie de la fonction
sur l’intervalle consid´er´e.
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Math´ematiques – Enseignement obligatoire Cours Chapitre 6 : Langage de la continuit´e
C) Th´eor`eme de la bijection
Soit fune fonction d´efinie, continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b].
Pour tout r´eel kcompris entre f(a) et f(b), l’´equation f(x) = ka une solution unique dans [a;b].
D´emonstration
fest continue et strictement croissante sur [a;b].
D’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, pour tout r´eel kde [f(a) ; f(b)] , il existe un r´eel cde [a;b] tel que
f(c) = k.
Soit x∈[a;b] et x6=c.
Si x<c, alors f(x)< f(c) donc f(x)6=k.
Si x>c, alors f(x)> f(c) donc f(x)6=k.
cest le seul r´eel de [a;b] solution de l’´equation f(x) = k.
Remarque
Ce th´eor`eme exprime que fr´ealise une bijection de [a;b] sur [f(a) ; f(b)] ou [f(b) ; f(a)].
D) Cas o`u l’intervalle I n’est pas ferm´e
Soit fune fonction d´efinie, continue et strictement monotone sur un intervalle I.
Pour tout r´eel kde f(I), l’´equation f(x) = ka une solution unique dans I.
E) Comment trouver f(I)?
Soient aet bdeux r´eels tels que a<b.
f est continue et strictement croissante sur I
I= [a;b[ [a; +∞[ ]−∞ ;a[
f(I) = f(a) ; lim
bf f(a) ; lim
+∞
flim
−∞
f; lim
af
On obtiendrait f(I) de mani`ere analogue lorsque Iest [a;b[ ; ]a;b[ ; ]a; +∞[ ou ]−∞ ;a].
f est continue et strictement d´ecroissante sur I
I= ]a;b] ]a; +∞[ ]−∞ ;a]
f(I) = f(b) ; lim
aflim +∞
f; lim
af f(a) ; lim −∞
f
On obtiendrait f(I) de mani`ere analogue lorsque Iest [a;b[ ; ]a;b[ ; [a; +∞[ ou ]−∞ ;a[.
V/ Application de la continuit´e aux suites
Th´eor`eme
Soit une suite d´efinie par r´ecurrence.
On donne u0et un+1 =f(un).
Si fest continue sur Iet si (un) converge vers `avec `∈I, alors `v´erifie `=f(`).
C’est-`a-dire `est une solution de l’´equation f(x) = x(ou encore, `est un point fixe de f).
Ce th´eor`eme est utilisable pour d´eterminer la limite lorsqu’on sait qu’une suite est convergente.
D´emonstration
(un) converge vers `et lim
x→`f(x) = f(`) car fest continue en `.
lim
un→`un+1 =f(`)
Or, (un+1)=(un) `a un terme pr`es.
Donc lim(un+1) = `.
Il y a unicit´e de la limite. Donc f(`) = `.
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