Langage de la continuité

Mathématiques – Enseignement obligatoire
Cours
Chapitre 6 : Langage de la continuité
Langage de la continuité
I/ Continuité d’une fonction en un « point » a
A) Signification
Considérons une fonction f définie sur un intervalle I contenant un réel a. On dit que a est un « point » de I. On dit
que f est continue en a si lim f (x) = f (a).
x→a
B) Remarque
Si une fonction f n’est pas définie en un point a, la question de la continuité de f en a ne se pose même pas.
C) Exemple
On appelle partie entière d’un réel x le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
Considérons la fonction E définie sur R par E(x) = partie entière de x.
Voici la représentation graphique de E :
4
3
2
E est continue en 2, 6.
E n’est pas continue en 2.
1
−4 −3 −2 −1 0
−1
1
2
3
4
En chaque point entier, E n’est pas continue.
En ces points, la courbe représentative de E présente des
« sauts ».
−2
−3
−4
D) Continuité et dérivabilité
Toute fonction dérivable en a est continue en a.
La réciproque est fausse.
II/ Continuité d’une fonction sur un intervalle
A) Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point a de I.
B) Fonctions continues de référence
Les résultats sur les limites justifient que les fonctions suivantes sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.
x 7→ c√(c ∈ R)
x 7→ x2
x 7→ x3
x 7→ xn (n ≥ 1)
x 7→ x
x 7→ |x|
x 7→ sin(x)
x→
7 cos(x)
Les sommes, produits, quotients et composées de ces fonctions sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.
III/ Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Soient a et b deux points de I avec a < b.
Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe un réel c compris entre a et b tel que f (c) = k.
IV/ Fonctions continues strictement monotones
A) Rappel
On dit qu’une fonction est strictement monotone sur un intervalle I si elle est soit strictement croissante soit strictement
décroissante sur I.
B) Convention
Les flèches obliques figurant dans les tableaux de variations indiquent la continuité et la stricte monotonie de la fonction
sur l’intervalle considéré.
1/2
Mathématiques – Enseignement obligatoire
Cours
Chapitre 6 : Langage de la continuité
C) Théorème de la bijection
Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b].
Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k a une solution unique dans [a ; b].
Démonstration
f est continue et strictement croissante sur [a ; b].
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel k de [f (a) ; f (b)], il existe un réel c de [a ; b] tel que
f (c) = k.
Soit x ∈ [a ; b] et x 6= c.
Si x < c, alors f (x) < f (c) donc f (x) 6= k.
Si x > c, alors f (x) > f (c) donc f (x) 6= k.
c est le seul réel de [a ; b] solution de l’équation f (x) = k.
Remarque
Ce théorème exprime que f réalise une bijection de [a ; b] sur [f (a) ; f (b)] ou [f (b) ; f (a)].
D) Cas où l’intervalle I n’est pas fermé
Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I.
Pour tout réel k de f (I), l’équation f (x) = k a une solution unique dans I.
E) Comment trouver f (I) ?
Soient a et b deux réels tels que a < b.
f est continue et strictement croissante sur I
I=
[a ; b[
[a ; +∞[ • ˜ ]−∞ ; a[ •
h
h •
f (I) =
f (a) ; lim f
f (a) ; lim f
lim f ; lim f
+∞
b
−∞
a
On obtiendrait f (I) de manière analogue lorsque I est [a ; b[ ; ]a ; b[ ; ]a ; +∞[ ou ]−∞ ; a].
f est continue et strictement décroissante sur I
I=
]a ; b]
]a ; +∞[ • • ]−∞ ; a] •
h
h ˜
lim f ; lim f
f (a) ; lim f
f (I) =
f (b) ; lim f
a
+∞
a
−∞
On obtiendrait f (I) de manière analogue lorsque I est [a ; b[ ; ]a ; b[ ; [a ; +∞[ ou ]−∞ ; a[.
V/ Application de la continuité aux suites
Théorème
Soit une suite définie par récurrence.
On donne u0 et un+1 = f (un ).
Si f est continue sur I et si (un ) converge vers ` avec ` ∈ I, alors ` vérifie ` = f (`).
C’est-à-dire ` est une solution de l’équation f (x) = x (ou encore, ` est un point fixe de f ).
Ce théorème est utilisable pour déterminer la limite lorsqu’on sait qu’une suite est convergente.
Démonstration
(un ) converge vers ` et lim f (x) = f (`) car f est continue en `.
x→`
lim un+1 = f (`)
un →`
Or, (un+1 ) = (un ) à un terme près.
Donc lim(un+1 ) = `.
Il y a unicité de la limite. Donc f (`) = `.
2/2