Nombres complexes

Nombres complexes
Préambule
L’équation x +5=2 a ses coefficients dans N mais pourtant sa solution x = − 3 n’est pas un entier naturel. Il faut ici
considérer l’ensemble plus grand Zdes entiers relatifs.
Nx+5=2 ,−−−−−→ Z2x=−3 ,−−−−−→ Qx2=1
2
,−−−−−→ Rx2=−p2 ,−−−−−→ C
De même l’équation 2 x = − 3 a ses coefficients dans Z mais sa solution x = −3
2
est dans l’ensemble plus grand des
rationnels Q . Continuons ainsi, l’équation x2 =
1
2
à coefficients dans Q , a ses solutions x1 = +1 /p2 et x2 = − 1 /p2
dans l’ensemble des réels R . Ensuite l’équation x2 = −p2 à ses coefficients dans R et ses solutions x1 = + ipp2 et
x2 = −ipp2 dans l’ensemble des nombres complexes C . Ce processus est-il sans fin ? Non ! Les nombres complexes
sont en quelque sorte le bout de la chaîne car nous avons le théorème de d’Alembert-Gauss suivant : « Pour n’importe
quelle équation polynomiale anxn + an−1xn−1 + ··· + a2x2 + a1x + a0 =0où les coefficients ai sont des complexes (ou
bien des réels), alors les solutions x1,..., xnsont dans l’ensemble des nombres complexes ».
Outre la résolution d’équations, les nombres complexes s’appliquent à la trigonométrie, à la géométrie (comme nous
le verrons dans ce chapitre) mais aussi à l’électronique, à la mécanique quantique, etc.
1. Les nombres complexes
1.1. Définition
Définition 1.
Un nombre complexe est un couple (a,b)∈R2que l’on notera a+ib

NOMBRES COMPLEXES 1. LES NOMBRES COMPLEXES 2
0 1
i
a
ba+ib
R
iR
Cela revient à identifier 1 avec le vecteur (1 , 0)de R2 , et i avec le vecteur (0 , 1). On note C l’ensemble des nombres
complexes. Si b =0, alors z = a est situé sur l’axe des abscisses, que l’on identifie à R . Dans ce cas on dira que z est
réel , et R apparaît comme un sous-ensemble de C , appelé axe réel . Si b6 =0, z est dit imaginaire et si b6 =0 et a =0,
zest dit imaginaire pur.
1.2. Opérations
Si z=a+ibet z0=a0+ib0sont deux nombres complexes, alors on définit les opérations suivantes :
•addition :(a+ib)+(a0+ib0) = (a+a0) + i(b+b0)
0 1
iz
z0
z+z0
R
iR
•multiplication
:( a + ib ) × ( a0 + ib0 )=( aa0−b b0 ) + i ( ab0 + ba0 ). On développe en suivant les règles de la
multiplication usuelle avec la convention suivante :
i2=−1
1.3. Partie réelle et imaginaire
Soit z = a + ib un nombre complexe, sa partie réelle est le réel a et on la note Re ( z ); sa partie imaginaire est le
réel bet on la note Im(z).
0 1
i
Re(z)
iIm(z)z
R
iR
Re(z)
Im(z)
Par identification de CàR2, l’écriture z=Re(z) + i Im(z)est unique :
z=z0⇐⇒ 
Re(z) = Re(z0)
et
Im(z) = Im(z0)

NOMBRES COMPLEXES 1. LES NOMBRES COMPLEXES 3
En particulier un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Un nombre complexe est
nul si et et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nuls.
1.4. Calculs
Quelques définitions et calculs sur les nombres complexes.
0
1
iz
−z
λz
•L’ opposé de z=a+ibest −z= (−a) + i(−b) = −a−ib.
•La multiplication par un scalaire λ∈R:λ·z= (λa) + i(λb).
•L’ inverse : si z6=0, il existe un unique z0∈Ctel que zz0=1 (où 1 =1+i×0).
Pour la preuve et le calcul on écrit z = a + ib puis on cherche z0 = a0 + ib0 tel que zz0 =1. Autrement dit
(a+ib)(a0+ib0) = 1. En développant et identifiant les parties réelles et imaginaires on obtient les équations
aa0−b b0=1(L1)
ab0+ba0=0(L2)
En écrivant aL1 + bL2 (on multiplie la ligne ( L1 ) par a , la ligne ( L2 ) par b et on additionne) et −bL1 + aL2 on en
déduit a0a2+b2=a
b0a2+b2=−bdonc a0=a
a2+b2
b0=−b
a2+b2
L’inverse de z, noté 1
z, est donc
z0=1
z=a a2+b2+i−b a2+b2=a−ib a2+b2.
•La division :z
z0est le nombre complexe z×1 z0.
•Propriété d’intégrité : si zz0=0 alors z=0 ou z0=0.
•Puissances : z2=z×z,zn=z×···×z(nfois, n∈N). Par convention z0=1 et z−n=1
zn=1 zn.
Proposition 1.
Pour tout z ∈Cdifférent de 1
1+z+z2+···+zn=1−zn+1
1−z.
La preuve est simple : notons S =1+ z + z2 + ··· + zn , alors en développant S· (1 −z )presque tous les termes se
télescopent et l’on trouve S·(1−z) = 1−zn+1.
Remarque.
Il n’y pas d’ordre naturel sur C, il ne faut donc jamais écrire z¾0 ou z¶z0.
1.5. Conjugué, module
Le conjugué de z = a + ib est
¯
z = a−ib , autrement dit Re (
¯
z ) = Re ( z )et Im (
¯
z ) = −Im ( z ). Le point
¯
z est le symétrique
du point zpar rapport à l’axe réel.
Le module de z = a + ib est le réel positif |z| =
pa2+b2
. Comme zׯ z = ( a + ib )( a−ib ) = a2 + b2 alors le module
vaut aussi |z|=pz¯ z.

NOMBRES COMPLEXES 1. LES NOMBRES COMPLEXES 4
0
1
i
z
¯
z
|z|
0
z=a+ib
a
b
Quelques formules :
•z+z0=¯
z+z0,¯ z=z,zz0=¯ zz0
•z=¯
z⇐⇒ z∈R
•|z|2=zׯ
z,|¯ z|=|z|,|zz0|=|z||z0|
•|z|=0⇐⇒ z=0
Proposition 2 (L’inégalité triangulaire).
|z+z0|¶|z|+|z0|
|z+z0|
|z|
|z0|
0
z
z0
z+z0
Avant de faire la preuve voici deux remarques utiles. Soit z=a+ib∈Cavec a,b∈R:
•|Re
( z ) |6|z| (et aussi |Im ( z ) |6|z| ). Cela vient du fait que |a|6pa2+b2 . Noter que pour un réel |a| est à la fois
le module et la valeur absolue.
•z+¯
z=2Re(z)et z−¯ z=2i Im(z). Preuve : z+¯ z= (a+ib) + (a−ib) = 2a=2 Re(z).
Démonstration. Pour la preuve on calcule |z+z0|2:
|z+z0|2=z+z0(z+z0)
=z¯ z+z0z0+zz0+z0¯ z
=|z|2+|z0|2+2Re(z0¯ z)
6|z|2+|z0|2+2|z0¯ z|
6|z|2+|z0|2+2|zz0|
6(|z|+|z0|)2
Exemple 1.
Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des côtés.
Si les longueurs des côtés sont notées L et ` et les longueurs des diagonales sont D et d alors il s’agit de montrer
l’égalité
D2+d2=2`2+2L2.

NOMBRES COMPLEXES 2. RACINES CARRÉES,ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 5
d
D
L
L
`
`
0
z
z0
z+z0
|z|
|z|
|z0|
|z0|
|z−z0|
|z+z0|
Démonstration. Cela devient simple si l’on considère que notre parallélogramme a pour sommets 0, z , z0 et le dernier
sommet est donc z + z0 . La longueur du grand côté est ici |z| , celle du petit côté est |z0| . La longueur de la grande
diagonale est |z+z0|. Enfin il faut se convaincre que la longueur de la petite diagonale est |z−z0|.
D2+d2=z+z0
2+z−z0 2=z+z0(z+z0) + z−z0(z−z0)
=z¯ z+zz0+z0¯ z+z0z0+z¯ z−zz0−z0¯ z+z0z0
=2z¯ z+2z0z0=2|z|2+2z0
2
=2`2+2L2
Mini-exercices.
1. Calculer 1 −2i +i
1−2i .
2. Écrire sous la forme a+ibles nombres complexes (1+i)2,(1+i)3,(1+i)4,(1+i)8.
3. En déduire 1 + (1+i) + (1+i)2+···+ (1+i)7.
4. Soit z∈Ctel que |1+iz|=|1−iz|, montrer que z∈R.
5. Montrer que si |Re z|6|Rez0|et |Imz|6|Imz0|alors |z|6|z0|, mais que la réciproque est fausse.
6. Montrer que 1/¯ z=z/|z|2(pour z6=0).
2. Racines carrées, équation du second degré
2.1. Racines carrées d’un nombre complexe
Pour z∈C, une racine carrée est un nombre complexe ωtel que ω2=z.
Par exemple si x∈R+ , on connaît deux racines carrées :
px,−px
. Autre exemple : les racines carrées de − 1 sont i et
−i.
Proposition 3.
Soit z un nombre complexe, alors z admet deux racines carrées, ωet −ω.
Attention ! Contrairement au cas réel, il n’y a pas de façon privilégiée de choisir une racine plutôt que l’autre, donc
pas de fonction racine. On ne dira donc jamais « soit ωla racine de z».
Si z6=0 ces deux racines carrées sont distinctes. Si z=0 alors ω=0 est une racine double.
Pour z=a+ibnous allons calculer ωet −ωen fonction de aet b.
Démonstration. Nous écrivons ω=x+iy, nous cherchons x,ytels que ω2=z.
ω2=z⇐⇒ (x+iy)2=a+ib
⇐⇒ x2−y2=aen identifiant parties
2x y =bet parties imaginaires.