Suites « u f u » 1. Étudier la suite ( )n u définie par : 0 1 u ≥ et : 0, 1

Suites «
(
)
1nn
ufu
+= »
1. Étudier la suite
()
n
u définie par : 01u≥ et : 1 0, 1 ln
nn
nu u
+
∀
≥=+ :
- étudier les variations de la fonction
(
)
:1ln
f
xfx x=+6 sur
[
[
1,
+
∞ ;
- montrer que : pour tout n,
[
[
1,
n
u∈+∞ ;
- en étudiant la fonction
()
:1lngx gx x x=−−6, déterminer quelles sont les valeurs possibles
pour la limite de
()
n
u si cette suite converge ;
- montrer (par récurrence sur n) que la suite
(
)
n
u est décroissante ;
- conclure.
2. Étudier la suite
()
n
u définie par : 00u> et : 1
1
0, 2
nn
nu u
+
∀≥ =
+
:
- étudier les variations de la fonction
()
1
:2 fx fx
x
=
+
6 sur
]
[
0,
+
∞ ;
- montrer que : pour tout 1n≥, 1
0, 2
n
u⎤⎡ ∈⎥⎢
⎦⎣
;
- déterminer quelles sont les valeurs possibles pour la limite de
(
)
n
u si cette suite converge ;
- on pose 12=− +A : montrer que pour tout n, 1
1
4
nn
uu
+
−
≤−AA ; conclure.
3. Étudier la suite
()
n
u définie par : 01u
=
et : 1
12
0, 1
n
nn
u
nu u
+
+
∀≥ =+ :
étudier les variations de la fonction
()
12
:1
x
fx fx
x
+
=
+
6 sur
[
[
1,
+
∞ ; montrer que pour tout n,
[[
1,
n
u∈+∞ puis que
(
)
n
u est croissante ;
(
)
n
u est-elle convergente ?
Que peut-on dire de sa limite ? Conclure
4. Étudier la suite
()
n
u définie par : 01u
=
et :
(
)
1
0, cos
nn
nu u
+
∀≥ = :
- montrer que : pour tout n,
]
]
0,1
n
u∈ ;

- on pose pour tout n : 221
,
nnnn
vu wu
+
=
= : montrer par récurrence, en utilisant la monotonie de la
fonction cos sur
]
]
0,1 , que la suite
(
)
n
v est décroissante ; en déduire que la suite
(
)
n
w est
croissante ; ces deux suites sont-elles convergentes ? Quelles sont les valeurs possibles pour leurs
limites respectives ?
- montrer à l’aide d’un tableau de variations que l’équation
(
)
cos cos
x
x
=
admet une solution
unique dans
]
[
0,1 : on note a cette solution ; conclure pour la suite
(
)
n
u.