DEVOIR MAISON N° 2

DEVOIR MAISON N° 2
Suites et démonstration par récurrence
Pour le 9 octobre 2009
On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite ( un ) de nombres réels strictement
positifs par : un =
n2
.
2n
1) Pour tout entier naturel n non nul, on pose v n =
a) Montrer que lim v n =
n →+∞
un +1
.
un
1
.
2
b) Montrer que pour tout entier naturel non nul, v n >
1
.
2
c) Trouver le plus petit entier naturel N tel que, si n ≥ N , v n <
3
.
4
3
un .
4
2) On pose, pour tout entier naturel n ≥ 5 , Sn = u5 + u6 + ... + un . On se propose de montrer
d) En déduire que si n ≥ N alors un +1 <
que la suite ( Sn )n ≥5 est convergente.
n −5
3
a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 5 : un ≤   u5 .
4
n −5
 3  3 2
3 
b) Montrer que pour tout entier naturel n ≥ 5 , Sn ≤ 1 + +   + ... +    u5 .
 4  
 4  4 
c) En déduire que pour tout entier naturel n ≥ 5 , Sn ≤ 4u5 .
3) On admettra qu’une suite croissante et majorée est convergente.
Montrer que la suite ( Sn )n ≥5 est croissante et en déduire qu’elle converge.
C. Lainé