DEVOIR MAISON N° 2

C. Lainé
DEVOIR MAISON N° 2
Suites et démonstration par récurrence Pour le 9 octobre 2009
On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite
(
)
n
u
de nombres réels strictement
positifs par :
2
2
n
n
n
u=.
1) Pour tout entier naturel n non nul, on pose
1
n
n
n
u
v
u
+
=.
a) Montrer que
1
lim
2
n
n
v
→+∞
=
.
b) Montrer que pour tout entier naturel non nul,
1
2
n
v
>
.
c) Trouver le plus petit entier naturel N tel que, si
n N
≥
,
3
4
n
v
<
.
d) En déduire que si
n N
≥
alors
1
3
4
n n
u u
+
< .
2) On pose, pour tout entier naturel
5
n
≥
,
5 6
...
n n
S u u u
= + + +
. On se propose de montrer
que la suite
(
)
5
nn
S
≥
est convergente.
a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel
5
n
≥
:
5
5
3
4
n
n
u u
−
≤ 
  .
b) Montrer que pour tout entier naturel
5
n
≥
,
2 5
5
3 3 3
1 ...
4 4 4
n
n
S u
−
≤ + + + + .
c) En déduire que pour tout entier naturel
5
n
≥
,
5
4
n
S u
≤.
3) On admettra qu’une suite croissante et majorée est convergente.
Montrer que la suite
(
)
5
nn
S
≥
est croissante et en déduire qu’elle converge.