Série N°6 : complément de la série N°5 Exercice1 : Un point

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Série N°6 : complément de la série N°5
Exercice1 :
Un point matériel de masse « m » est soumis à une force centrale « F » de module ࡲ =
trajectoire exprimée en coordonnées polaires est donnée par la relation :
࢑.࢓
࢘
sa
૚ ࢑
=
+ ࡭ ‫ ࣂ(ܛܗ܋‬− ࢻ)
࢘ ࡯૛
1- Trouver les dimensions de k et C.
2- Déterminer l’unité SI de A
Solution :
[‫= ]ܨ‬
[݇]. [݉ ]
[‫]ܨ‬. [‫ ܯ ]ݎ‬. ‫ܮ‬. ܶିଶ. ‫ܮ‬
⇒ [݇] =
=
= ‫ܮ‬ଶ. ܶିଶ
[‫]ݎ‬
[݉ ]
‫ܯ‬
[࢑] = ࡸ૛. ࢀି૛
1
݇
1
݇
1
൤ ൨= ൤ ଶ൨+ [‫ ܣ‬cos(ߠ − ߙ)] ⇒ ൤ ൨= ൤ ଶ൨݁‫ݐ‬൤ ൨= [‫ ܣ‬cos(ߠ − ߙ)] = ‫ିܮ‬ଵ
‫ݎ‬
‫ܥ‬
‫ݎ‬
‫ܥ‬
‫ݎ‬
On pose :
Ce qui donne :
⇒ [‫ܥ‬ଶ] = [݇]. [‫ܮ = ]ݎ‬ଷ. ܶିଶ
[‫ܮ = ]ܥ‬ఈ . ܶఉ
[‫ܥ‬ଶ] = ‫ܮ‬ଶఈ . ܶଶఉ = ‫ܮ‬ଷ. ܶିଶ
⇒ 2ߙ = ‫ܮ‬ଷ݁‫ݐ‬2ߚ = −2
Alors :
3
֜ ߙ = ݁‫ = ߚݐ‬−1
2
૜
[࡯] = ࡸ૛. ࢀି૚
Donc l’unité de A est : m-1
[‫ ܣ‬cos(ߠ − ߙ)] = ‫ିܮ‬ଵ ⇒ [‫ିܮ = ]ܣ‬ଵ
Exercice 2 :
La hauteur, « h » d’une masse « m » lancée en plein air depuis le sol avec une vitesse initiale V 0 et
sous un angle d’inclinaisonߙ , est donnée par l’expression suivante :
ℎ=
ܸ଴ଶ‫݊݅ݏ‬ଶ(ߙ)
2݃
1- Vérifier l’homogénéité de cette expression.
Solution :
[ℎ] =
֜ ‫=ܮ‬
[ܸ଴ଶ]. [‫݊݅ݏ‬ଶ(ߙ)]
[2݃]
(‫ܮ‬. ܶିଵ)ଶ. 1 ‫ܮ‬ଶ. ܶିଶ
=
=‫ܮ‬
‫ܮ‬. ܶିଶ
‫ܮ‬. ܶିଶ
ࢊ࢕࢔ࢉ࢒ᇱé࢛ࢗࢇ࢚࢏࢕࢔ࢋ࢙࢚ࢎ࢕࢓ ࢕ࢍè࢔ࢋ.
Exercice 3 :
A une hauteur h=2.2 m de la surface de la terre un ballon (assimilable à un point matériel) a une
vitesse V1= 10 m/s
-
Quelle sera sa vitesse au niveau du sol ? on négligera la résistance de l’air et on prendra
g= 10 m/S2.
Solution :
h1= 2.2 m
1
m
v1= 10 m/s
h2= 0 m
2
v2= ??
Puisque la résistance de l’air est négligée, le système sera considéré comme étant isolé, donc
il y a une conservation de l’énergie mécanique du ballon en tout point du système,
On considère les positions indiquées par les points 1 et 2 représentés sur la figure.
1
‫ܧ‬ெ ଵ = ‫ܧ‬௉ଵ + ‫ܧ‬஼ଵ = ݉ ݃ℎଵ + ݉ ‫ݒ‬ଵଶ
2
1
‫ܧ‬ெ ଶ = ‫ܧ‬௉ଶ + ‫ܧ‬஼ଶ = ݉ ݃ℎଶ + ݉ ‫ݒ‬ଶଶܽ‫݃ ݉ܿ݁ݒ‬ℎଶ = 0
2
1
1
∆‫ܧ‬ெ = ‫ܧ‬ெ ଶ − ‫ܧ‬ெ ଵ = ݉ ‫ݒ‬ଶଶ − ݉ ݃ℎଵ − ݉ ‫ݒ‬ଵଶ = 0
2
2
A.N :
Exercice 4 :
‫ݒ‬ଶ = 12݉ /‫ݏ‬
֜ ‫ݒ‬ଶ = ට2݃ℎଵ + ‫ݒ‬ଵଶ
Un petit bloc de masse « m » glisse sans frottement sur une piste formant une boucle.
-
De quelle hauteur doit-on laisser glisser (sans vitesse initiale) le bloc pour qu’il passe par le
sommet de la boucle sans tomber ?
Y
1
2
h
ሱ
ሮ
ோ೙
ሱሮ
௠௚
Y’
Solution :
On applique la 2ème loi de Newton au point 2 :
෍ ‫ߛ ݉ = ⃗ܨ‬
Ԧ
Projection de l’équation selon YY’ :
mg + Rn = m ߛ௡ ou ݉ ݃ + ܴ௡ = ݉
le bloc quitte la surface si ܴ௡ = 0
ሬሬሬሬ
⃗
݉ ݃Ԧ+ ܴ
ߛሬሬ
௡ = ݉ሬ
௡⃗
௩మ
ோ
‫ݒ‬௠ଶ ௜௡
֜ ݉݃ = ݉
֜ ‫ݒ‬௠ଶ ௜௡ = ݃. ܴ
ܴ
Les forces de frottements sont négligées donc l’énergie totale se conserve :
∆‫ܧ‬௉ + ∆‫ܧ‬஼ = 0
∆‫ܧ‬௉ = ‫ܧ‬௉ଶ − ‫ܧ‬௉ଵ = ݉ . ݃(2. ܴ) − ݉ . ݃. ℎ … … … … … … (1)
(1)+(2) nous donne :
1
∆‫ܧ‬஼ = ‫ܧ‬஼ଶ − ‫ܧ‬஼ଵ = ݉ ‫ݒ‬ଶଶ … … … … … … … … … … . (2)
2
1
2݉ ܴ݃ − ݉ ݃ℎ + ݉ ‫ݒ‬ଶଶ = 0
2
Or ‫ݒ‬௠ଶ ௜௡ = ݃. ܴ
֜ ‫ݒ‬ଶଶ = 2݃ℎ − 4ܴ݃
ହ
ଶ
֜ ݃. ܴ = 2. ݃. ℎ − 4݃. ܴ ֜ 5. ܴ = 2. ℎ ⇒ ℎ௠ ௜௡ = . ܴ
Exercice 6 :
ࢎ࢓ ࢏࢔ =
૞
.ࡾ
૛
Sur la piste de la figure ci-contre, un point matériel de masse « m » est abandonné sans vitesse
initiale du point A et parvient au point B avec une vitesse VB = 6 m/s , la différence d’altitude entre A
et B est h =2 m. on prendra g =10 m/s2 .
1- Montrer que le point est soumis à des forces de frottements.
2- Calculer le travail de ces forces entre A et B si la masse m= 3kg.
A
h
B
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