TD 7 : Suites

TD 7 : Suites
PCSI
2012 - 2013
I. Convergence.
On dit qu'une suite (un ) converge vers un réel ` lorsque :
∀ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ N ⇒ |un − `| ≤ 1) Exprimer verbalement la proposition précédente et l'expliciter à l'aide d'un dessin.
2) A l'aide de la dénition précédente montrer que :
1
converge vers 0.
n
1
b) La suite de terme général n converge vers 0.
2
3) Soit (un ) une suite de nombres réels. Montrer que si les suites (u2n ) et (u2n+1 ) convergent
et ont la même limite ` alors (un ) converge aussi vers `.
a) La suite de terme général
II. Suites adjacentes.
Soient (un ) et (vn ) deux suites. On dit qu'elles sont adjacentes lorsque :
• (un ) est croissante
• (vn ) est décroissante.
•
lim un − vn = 0
n→+∞
1) Soient (un ) et (vn ) deux suites adjacentes.
a) Montrer que pour tout n ∈ N, un ≤ vn .
b) Montrer que (un ) converge vers une limite `.
c) Montrer que (vn ) converge vers une limite `0
d) Montrer que ` = `0
e) Conclure.
2) Soient les suites de terme général un =
n
X
k=1
2n
X1
1
et vn =
.
n+k
k
k=n
a) Montrer que les suites sont adjacentes.
1
n+1
1
b) Montrer que pour tout n ∈ N :
≤ ln
≤ .
n+1
n
n
∗
c) Montrer que pour tout n ∈ N : un ≤ ln(2) ≤ vn
∗
d) Conclure
Lycée de l'Essouriau - Les Ulis