TD 7 : Suites PCSI 2012 - 2013 I. Convergence. On dit qu'une suite (un ) converge vers un réel ` lorsque : ∀ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ N ⇒ |un − `| ≤ 1) Exprimer verbalement la proposition précédente et l'expliciter à l'aide d'un dessin. 2) A l'aide de la dénition précédente montrer que : 1 converge vers 0. n 1 b) La suite de terme général n converge vers 0. 2 3) Soit (un ) une suite de nombres réels. Montrer que si les suites (u2n ) et (u2n+1 ) convergent et ont la même limite ` alors (un ) converge aussi vers `. a) La suite de terme général II. Suites adjacentes. Soient (un ) et (vn ) deux suites. On dit qu'elles sont adjacentes lorsque : • (un ) est croissante • (vn ) est décroissante. • lim un − vn = 0 n→+∞ 1) Soient (un ) et (vn ) deux suites adjacentes. a) Montrer que pour tout n ∈ N, un ≤ vn . b) Montrer que (un ) converge vers une limite `. c) Montrer que (vn ) converge vers une limite `0 d) Montrer que ` = `0 e) Conclure. 2) Soient les suites de terme général un = n X k=1 2n X1 1 et vn = . n+k k k=n a) Montrer que les suites sont adjacentes. 1 n+1 1 b) Montrer que pour tout n ∈ N : ≤ ln ≤ . n+1 n n ∗ c) Montrer que pour tout n ∈ N : un ≤ ln(2) ≤ vn ∗ d) Conclure Lycée de l'Essouriau - Les Ulis