Suites « u f u » 1. Étudier la suite ( )n u définie par : 0 1 u ≥ et : 0, 1

Suites « u n +1 = f ( u n ) »
1.
Étudier la suite ( un ) définie par : u0 ≥ 1 et : ∀ n ≥ 0, un +1 = 1 + ln un :
- étudier les variations de la fonction f : x 6 f ( x ) = 1 + ln x sur [ 1, + ∞[ ;
- montrer que : pour tout n, u n ∈ [ 1, + ∞ [ ;
- en étudiant la fonction g : x 6 g ( x ) = x − 1 − ln x , déterminer quelles sont les valeurs possibles
pour la limite de ( u n ) si cette suite converge ;
- montrer (par récurrence sur n) que la suite ( u n ) est décroissante ;
- conclure.
2.
Étudier la suite ( un ) définie par : u0 > 0 et : ∀ n ≥ 0, un +1 =
- étudier les variations de la fonction f : x 6 f ( x ) =
1
:
2 + un
1
sur ] 0, + ∞ [ ;
2+ x
⎤ 1⎡
- montrer que : pour tout n ≥ 1 , u n ∈ ⎥ 0, ⎢ ;
⎦ 2⎣
- déterminer quelles sont les valeurs possibles pour la limite de ( u n ) si cette suite converge ;
- on pose A = −1 + 2 : montrer que pour tout n, u n +1 − A ≤
3.
1
u n − A ; conclure.
4
Étudier la suite ( un ) définie par : u0 = 1 et : ∀ n ≥ 0, un +1 =
étudier les variations de la fonction f : x 6 f ( x ) =
1 + 2 un
:
1 + un
1+ 2 x
sur [ 1, + ∞[ ; montrer que pour tout n,
1+ x
u n ∈ [ 1, + ∞ [ puis que ( u n ) est croissante ; ( u n ) est-elle convergente ?
Que peut-on dire de sa limite ? Conclure
4.
Étudier la suite ( un ) définie par : u0 = 1 et : ∀ n ≥ 0, un +1 = cos ( un ) :
- montrer que : pour tout n, u n ∈ ] 0, 1 ] ;
- on pose pour tout n : v n = u 2 n , w n = u 2 n +1 : montrer par récurrence, en utilisant la monotonie de la
fonction cos sur
] 0, 1 ] ,
que la suite ( v n ) est décroissante ; en déduire que la suite ( w n ) est
croissante ; ces deux suites sont-elles convergentes ? Quelles sont les valeurs possibles pour leurs
limites respectives ?
- montrer à l’aide d’un tableau de variations que l’équation cos ( cos x ) = x admet une solution
unique dans ] 0, 1 [ : on note a cette solution ; conclure pour la suite ( un ) .