Chapitre III : Complexes 1 Le Plan complexe

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UNIVERSITÉ DE CERGY Année 201-2014
U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques
Chapitre III : Complexes
1 Le Plan complexe
1.1 Introduction
Dans tout ce chapitre, on supposera que le plan est muni d’un repère orthonormé direct
(O;−→ u , −→ v). L’ensemble des nombres complexes est noté C: c’est l’ensemble des couples de réels
(a, b). Donc C=R×R.
On définit sur Cles deux opérations internes suivantes : soient z= (a, b),et z0= (a0, b0)∈
C, on pose :
Addition : z+z0= (a+a0, b +b0)∈C
Multiplication : z·z0= (aa0−bb0, ab0+a0b)∈C
(C,+,·)est muni d’une structure de corps commutatif : on liste ci-dessous les propriétés vérifiées
par ces deux opérations :
Pour tous (z, z0, z00)∈C3, en posant z= (a, b), z0= (a0, b0)et z00 = (a00, b00).
•Structure de groupe additif :
–C6=∅car (0,0) ∈C.
– L’addition est associative : (z+z0) + z00 = (a+a0, b +b0) + (a00 +b00)=(a+a0+a00, b +b0+b00 )
et z+ (z0+z00) = (a, b)+(a0+a00, b0+b00) = ··· =z+ (z0+z00).
– L’addition est commutative : z+z0= (a+a0, b +b0) = (a0+a, b0+b) = z0+z.
–0 = (0,0) est l’élément neutre pour l’addition : en effet, z+ 0 = (a, b) + (0,0) = (a, b) =
0 + z=z.
– Tout nombre complexe zpossède un opposé pour l’addition : Posons −z= (−a, −b)alors
z+ (−z) = (0,0) = 0 = (−z) + z.
•Structure de groupe multiplicatif :
–C∗=C r {(0,0)} 6=∅car (1,0) ∈C∗
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1.2 Vocabulaire 2
– La multiplication est associative : (z·z0)·z00 =··· =z·(z0·z00).
– La multiplication est commutative : z·z0= (a, b)·(a0, b0) = (aa0−bb0, ab0+a0b) = (a0a−
b0b, a0b+ab0) = z0·z.
–1 = (1,0) est l’élément neutre pour la multiplication : en effet, z·1=(a, b)·(1,0) = (a, b) =
z= 1 ·z.
– Tout nombre complexe znon nul possède un inverse pour la multiplication : si z= (a, b)6=
(0,0), posons z−1=z
a2+b2= a a2+b2,−b a2+b2!∈C,
alors z·z−1= (a, b)· a
a2+b2,−b a2+b2!=··· = (1,0) = 1
•Distributivité : (z+z0)·z00 =z·z00 +z0·z00 =z00 ·(z+z0)(à vérifier en exercice ... )
Remarques :
1. Comme dans R, l’opposé (resp. l’inverse) d’un complexe z(resp. non nul) permet de définir
la soustraction (resp. la division) de deux nombres complexes non nuls.
2. Justifiez que l’on NE peut PAS munir Cd’une structure de corps ordonné.
3. Le théorème du produit nul est vrai sur C:∀(z,0z0)∈C2, z.z0= 0 ⇐⇒ z= 0 ou z0= 0
1.2 Vocabulaire
On peut vérifier que les opérations définies sur Ccoïncident avec les opérations usuelles de R
(i.e. si (x1, x2)∈R2,posons x1+x2=x3et x1·x2=x4,on a : (x1,0) + (x2,0) = (x1+x2,0) =
(x3,0) et (x1,0) ·(x2,0) = (x1·x2,0) = (x4,0)) : on peut donc identifier Ravec l’ensemble des
nombres de la forme (x, 0) et ainsi R⊂C.
Il est usuel de poser 1 = (1,0) et i= (0,1) alors le nombre z= (a, b)du plan complexe s’écrit
simplement :
z=a+ib
En effet, z= (a, b)=(a, 0) + (0, b)=(a, 0) + (b, 0) ·(0,1)
Le nombre ivérifie alors : i2= (0,1) ·(0,1) = (−1,0) = −1: l’équation z2+ 1 = 0 admet ainsi
une solution non réelle (le nombre i).
Soit zun nombre complexe. L’écriture z=a+ib, (a, b)∈R2est dite forme algébrique de
z.
aest la partie réelle de z, notée Re(z). Si a= 0, on dit que zest imaginaire pur : on note iR
le sous-ensemble des imaginaires purs.
best la partie imaginaire de z, notée Im(z). Si b= 0,zest un réel !
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même
partie imaginaire.
Définition 1. Le conjugué de z=a+ib est le complexe zdéfini par z=a−ib. On utilise
fréquemment les propriétés z=z⇔z∈R, et z=−z⇔z∈iR.
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1.3 Représentation graphique 3
Proposition 1. On vérifie aisément (en utilisant les formes algébriques par exemple) que pour
tous complexes zet z0:
1. Re(z) = z+z
2et Im(z) = z−z 2i
2. z+z0=z+z0
3. zz0=z·z0
4. −z=−z
5. ∀n∈N, zn=zn(à démontrer par récurrence sur n∈N)
6. z=z
7. z06= 0,z
z0=z
z0
1.3 Représentation graphique
Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O;−→ u , −→ v), à tout nombre complexe (a, b)∈Con
associe de façon évidente le point Mde coordonnées (a, b)et réciproquement, à tout point M(x, y)
on peut associer un unique nombre complexe zdéfini par z=x+iy, (x, y)∈R2. Dans ce cas z
est appelé l’affixe du point M(x, y)(1) et M(a, b)est le point image de z=a+ib.
Figure 1 – Le plan complexe
On peut s’apercevoir que si Mest le point image d’un nombre complexe zet M0le point image
de zalors M0est l’image de Mpar la symétrie d’axe (O−→ u)
2 Module et argument
Il est conseillé de revoir les notions d’angles orientés de vecteurs et de mesures d’un angle
orienté.
1. On dit aussi que zest l’affixe du vecteur −−→ OM
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2.1 Définition 4
2.1 Définition
Définition 2. Soit z∈C,le module de z=a+ib, (a, b)∈R2est le réel |z|=√a2+b2
Remarque : Si Mest le point image de z,|z|représente la distance OM .
Figure 2 – Module (et argument) d’un nombre complexe
Propriété : ∀z=a+ib ∈C,|z|2=a2+b2= (a+ib)(a−ib) = z·z
Proposition 2. Pour tous nombres complexes zet z0,ona:
1.|z|=|z|
2.|(−z)|=|z|
3.|z·z0|=|z|·|z0|
4.∀n∈N,|zn|=|z|n
5.si z06= 0,
z
z0=|z| |z0|
Preuve : Ces propriétés se démontrent en utilisant les formes algébriques de zet z0
Théorème 1. Pour tous complexes zet z0:
1.|z+z0]≤ |z|+|z0|
2.|z|−|z0|≤ |z−z0|
Définition 3. Soit zun nombre complexe non nul de point image M. On appelle argument de
z, toute mesure en radians de l’angle orienté (−→ u , −−→ OM). L’argument est donc défini à 2kπ (k∈Z)
près.
Les angles orientés de vecteurs étant définis à (2π)près, si θest un argument de z, on notera
arg z=θ(2π).
0n’a pas d’argument.
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2.1 Définition 5
Proposition 3. Pour tous nombres complexes non nuls zet z0on a :
1.arg(z·z0) = arg(z) + arg(z0) (2π)
2.arg z
z0= arg z−arg(z0) (2π)
3.∀n∈N,arg(zn) = narg(z) (2π)
4.arg(−z) = π+ arg z(2π)
5.arg(z) = −arg z(2π)
6. z ∈R∗⇔arg(z) = 0 (π)et z∈iR∗⇔arg(z) = π
2(π)
Ces propriétés se démontrent aisément en utilisant la forme exponentielle des nombres complexes,
voir paragraphe suivant.
Rappels : On munit le plan complexe d’un repère orthonormal direct (O;−→ u , −→ v). Soit zun nombre
complexe non nul de point image MO. Soit Mle point image de z0d’argument θ= arg(z)et de
module 1(Mest l’intersection de la demi-droite [OM0)et du cercle C(O, 1) dit cercle trigonomé-
trique) alors θest la longueur de l’arc de cercle reliant les points U(1) et M.
Figure 3 – Cercle trigonométrique
Pour un réel θdonné, on définit le cosinus de θ(noté cos θ) comme l’abscisse du point Met le
sinus de θ(noté sin θ) comme l’ordonnée du point M.
Le tabeau suivant comporte les valeurs trigonométriques de base.
t0π
6
π
4
π
3
π
2
cos θ1√3
2
√2
2
1
20
sin θ01
2
√2
2
√3
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Proposition 4. Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont le même
module et des arguments égaux à un multiple (entier) de 2πprès.
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