Nombres complexes : Forme trigonométrique

Nombres complexes : Forme trigonométrique
I. Forme trigonométrique
On considère le plan muni d’un repère orthonormal direct (O ; ). A tout point M du plan
on associe son affixe . On peut également caractériser ce point M par ses
coordonnées polaires ) avec : et ( , ainsi on
peut écrire
et et donc .
Définition :
Un argument de z, noté arg z, est une mesure exprimée en radians de
l’angle orienté ( , .
L’écriture est appelée forme trigonométrique de z avec
et = θ (2π).
Remarques :
 Un nombre complexe non nul admet une infinité d’arguments, la différence étant un
multiple de 2π.
 est un nombre complexe de module 1.
Théorème : Si deux nombres complexes z et z' sont écrits sous forme trigonométrique :
et , on a :
Exemple : Donner les formes trigonométriques de :
z1 = 1 + i z2 = 3 + i z3 = 1 - i 3 z4 = i
II. Propriétés des arguments
Propriétés : Soient z et z' deux nombres complexes non nuls d'arguments respectifs et ' , on a :
[2]
[2]
[2]
[2]
[2]
[2]
0
6
4
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
0
1
2
2
2
3
2
1

Nombres complexes : Forme trigonométrique
Remarque : Pour diviser deux nombres complexes non nuls, on divise les modules et on
retranche les arguments.
Démonstrations :
Exemple : Soit z1 = 2 + 2i et z2 = 1 + i3 . Écrire z1 et z2 sous la forme trigonométrique.
En déduire les formes trigonométriques de ; ; ; ; ;
III. Forme exponentielle
D'après les résultats précédemment démontrés, l'argument du produit de deux nombres
complexes est égal à la somme des arguments de ces deux nombres. C'est-à-dire que la
fonction  ( ) = cos + i sin est telle que ( + ') = ( ) x ( ').
Elle vérifie donc l'équation fonctionnelle caractéristique de la fonction exponentielle. D’où
l’idée de poser :
cos + i sin = e i
Théorème : Tout nombre complexe non nul admet une écriture de la forme , avec
et θ un argument de z , appelée forme exponentielle de z.
Propriétés : Les résultats déjà vus s'écrivent, avec la notation exponentielle :
e i x e i ' = e i ( + ') 1
e i = e i (-) = e -i e i e i ' = e i ( - ')
(e i )n = e i n n ZZ e i = e -i - e i = e i ( + )

Nombres complexes : Forme trigonométrique
Remarques :
 La propriété e i x e i ' = e i ( + ') facile à retenir permet de retrouver les formules d’addition de
cos(θ+θ’) = et sin(θ+θ’)=
 La propriété (e i )2 = e 2i permet de retrouver les formules de duplication
cos 2θ= et sin 2θ=
 Pour tout entier n, (e i )n = e i n . On en déduit donc la formule de Moivre:
 Des égalités et
on tire les formules d’Euler :
Exemple : Soit et –. Donner les formes exponentielles de puis
Equation paramétrique d’un cercle : Soit Ω un point d’affixe ω et le cercle de centre Ω et
de rayon r, on a l’équivalence : ⇔ avec θ ∈ [0 ;2π[
illustration :
IV. Argument et géométrie
Théorème : Soit A, B, C trois points distincts 2 à 2, d’affixes respectives et :
Démonstration :

Nombres complexes : Forme trigonométrique
Exemple : Soit A(1+i), B(1-i) et C((1+ )i).
Déterminer la mesure principale de l’angle orienté
Théorème : Ecriture complexe d’une rotation
 L’écriture complexe d’une rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle θ est :
 Soit θ distinct de 2kπ et b un nombre complexe. La transformation d’écriture
complexe est une rotation d’angle θ.
Démonstration : Pour tout point M distinct de Ω et son image M’ par la rotation r, on a par définition
et
Si on note l’affixe du centre de la rotation r :
- l’égalité se traduit par :
- l’égalité se traduit par :
Des deux égalités précédentes, on en déduit que ce qui se réécrit
ou encore
Application : La transformation du plan d’écriture complexe est une
rotation d’angle . Pour trouver son centre, on recherche le point fixe en résolvant l’équation
............