TS Nombres complexes Parie 2

TS Devoir Vendredi 20 février 2015
Exercice 1 : (6 points)
On considère les nombres complexes
3i1z1
et
i22z2
.
1) a) Donner une écriture sous forme trigonométrique de
1
z
et
2
z
.
b) Déterminer une écriture sous forme trigonométrique de
21zz
en
utilisant les propriétés du module et de l’argument.
2) En déduire les valeurs de cos
12
et sin
12
.
Exercice 2 : (5 points)
On considère le nombre complexe
2i2
3i1
z
.
1) Donner le module et l’argument de z.
En déduire une écriture sous forme trigonométrique.
2) On pose, pour tout entier naturel n,
n
nzz 
.
Donner le module et un argument de
n
z
.
3) Peut-on trouver un entier n > 0 tel que le point
n
M
d’affixe
n
z
appartienne à l’axe des abscisses ?
Exercice 3 :
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque
question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat
indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie et devra
justifier son choix.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct
)v,u,O(
Soit z un nombre complexe de la forme x + i y où x et y sont des réels.
1) Soit z le nombre complexe d’affixe
4
)i1( 
. L’écriture exponentielle
de z est :
a)
i
e2
b)
i
e4
c)
4
i
e2
d)
4
i
e4
2) L’ensemble des points M du plan d’affixe z = x + iy tels que
i3i1z 
a pour équation :
a)
2)²1y()²1x( 
b)
2)²1y()²1x( 
c)
4)²1y()²1x( 
d)
2
13
xy 
3) On considère la suite de nombres complexes (Zn) définie pour tout
entier naturel n par
i1Z0
et
n
1n Z
2
i1
Z
. On note Mn le point
du plan d’affixe Zn.
a) Pour tout entier naturel n, le point Mn appartient au cercle de
centre O et de rayon
2
.
b) Pour tout entier naturel n, le triangle OMnMn+1 est équilatéral.
c) La suite (Un) définie par
nn ZU 
est convergente.
d) Pour tout entier naturel n, un argument de
n
n
1n
Z
ZZ 
est
2
.
4) Soit A, B, C trois points du plan complexe d’affixes respectives
i1ZA
,
i22ZB
et
i51ZC
.
On pose
A
B
A
C
ZZ
ZZ
Z
.
a) Z est un nombre réel.
b) Le triangle ABC est isocèle en A.
c) Le triangle ABC est rectangle en A.
d) Le point M d’affixe Z appartient à la médiatrice du segment
[BC].