Feuille d`exercices n˚4 Nombres complexes et trigonométrie (partie 1)

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI −2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚4
Nombres complexes et trigonom´etrie (partie 1)
Exercice 13 (´ Equations trigonom´etriques)
1. Soit (E) l’´equation
cos(3x) = −√2
2
d’inconnue x.
(a) R´esoudre l’´equation (E) sur R.
(b) R´esoudre (E) sur ] −π, π].
2. R´esoudre l’´equation
cos(x) = sin(5x)
d’inconnue x∈R.
3. R´esoudre l’´equation
2 sin2(x) + 5 cos(x) = 4
d’inconnue x∈R.
4. R´esoudre l’´equation
sin(2x) = cos2(x)
d’inconnue x∈]−π, π].
Exercice 14 (In´equations trigonom´etriques)
1. R´esoudre l’in´equation
cos(x)≤1
2
d’inconnue x∈]−π, π].
2. R´esoudre l’in´equation
sin(2x)≥√3
2
d’inconnue x∈i−π
2,π 2i.
3. R´esoudre l’in´equation
cos(x)≤√2
2
d’inconnue x∈R.
4. R´esoudre l’in´equation
cos2(x)≤sin2(x)
d’inconnue x∈[0, π].
5. R´esoudre l’in´equation
cos(x) + cos(3x)≥0
d’inconnue x∈i−π
2,π 2i.
6. R´esoudre l’´equation
sin(2x) + sin(4x) = sin(3x)
d’inconnue x∈R.
1

Exercice 15 (Primitives de produits de fonctions mettant en jeu cosinus et sinus)
1. Donner une primitive de la fonction f:R→R;x7→ cos(4x) sin(5x).
2. Donner une primitive de la fonction g:R→R;x7→ sin(3x) sin(7x).
Exercice 16 (Transformation d’une diff´erence de deux cosinus en un ≪produit ≫)
1. Soit (p, q)∈R2.´ Ecrire cos(p)−cos(q) comme un ≪produit ≫.
2. R´esoudre l’´equation
cos(7x)−cos(5x) = sin(6x)
d’inconnue x∈R.
Exercice 17 (Tangente de l’angle moiti´e)
1. Soit θ∈]−π, π[. Justifier que le nombre t= tan θ
2est bien d´efini et montrer que :
cos(θ) = 1−t2
1 + t2et sin(θ) = 2t 1 + t2.
2. Soit (E) l’´equation
x2+y2=z2
d’inconnue (x, y, z) un triplet de nombres entiers naturels non nuls. Donner dix solutions de (E).
Exercice 18 (R´esolution d’une ´equation mettant en jeu des modules et forme trigonom´etrique)
R´esoudre le syst`eme d’´equations
|z|=
1
z
=|1 + z|
d’inconnue z∈Cet repr´esenter graphiquement les solutions.
2