Lycée Benjamin Franklin D. Blottière PTSI − 2013-2014 Mathématiques Feuille d’exercices n˚4 Nombres complexes et trigonométrie (partie 1) Exercice 13 (Équations trigonométriques) 1. Soit (E) l’équation √ 2 cos(3x) = − 2 d’inconnue x. (a) Résoudre l’équation (E) sur R. (b) Résoudre (E) sur ] − π, π]. 2. Résoudre l’équation cos(x) = sin(5x) d’inconnue x ∈ R. 3. Résoudre l’équation 2 sin2 (x) + 5 cos(x) = 4 d’inconnue x ∈ R. 4. Résoudre l’équation sin(2x) = cos2 (x) d’inconnue x ∈ ] − π, π]. Exercice 14 (Inéquations trigonométriques) 1. Résoudre l’inéquation cos(x) ≤ 1 2 d’inconnue x ∈] − π, π]. 2. Résoudre l’inéquation sin(2x) ≥ i π πi d’inconnue x ∈ − , . 2 2 3. Résoudre l’inéquation √ 3 2 √ 2 cos(x) ≤ 2 d’inconnue x ∈ R. 4. Résoudre l’inéquation cos2 (x) ≤ sin2 (x) d’inconnue x ∈ [0, π]. 5. Résoudre l’inéquation i π πi d’inconnue x ∈ − , . 2 2 6. Résoudre l’équation cos(x) + cos(3x) ≥ 0 sin(2x) + sin(4x) = sin(3x) d’inconnue x ∈ R. 1 Exercice 15 (Primitives de produits de fonctions mettant en jeu cosinus et sinus) 1. Donner une primitive de la fonction f : R → R ; x 7→ cos(4x) sin(5x). 2. Donner une primitive de la fonction g : R → R ; x 7→ sin(3x) sin(7x). Exercice 16 (Transformation d’une différence de deux cosinus en un 2 1. Soit (p, q) ∈ R . Écrire cos(p) − cos(q) comme un ≪ ≪ produit ≫) produit ≫. 2. Résoudre l’équation cos(7x) − cos(5x) = sin(6x) d’inconnue x ∈ R. Exercice 17 (Tangente de l’angle moitié) θ est bien défini et montrer que : 1. Soit θ ∈ ] − π, π[. Justifier que le nombre t = tan 2 cos(θ) = 1 − t2 1 + t2 et sin(θ) = 2t . 1 + t2 2. Soit (E) l’équation x2 + y 2 = z 2 d’inconnue (x, y, z) un triplet de nombres entiers naturels non nuls. Donner dix solutions de (E). Exercice 18 (Résolution d’une équation mettant en jeu des modules et forme trigonométrique) Résoudre le système d’équations 1 |z| = = |1 + z| z d’inconnue z ∈ C et représenter graphiquement les solutions. 2