Formulaire sur les nombres complexes

Formulaire sur les nombres complexes
Rappel : quelques formules utiles
1. formule du binôme de Newton
(a + b)n =
n
X
Cpn ap bn−p
p=0
2. somme des termes d’une suite géométrique :
1 + a + · · · + an =
an+1 − 1
a−1
si a 6= 1
3. trigonométrie
sin2 x + cos2 x = 1
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
Nombres complexes
Si z = x + iy et z ′ = x′ + iy ′ , où x, y, x′ , y ′ sont réels on a :
1. somme :
z + z ′ = (x + x′ ) + i(y + y ′ )
2. produit :
z · z ′ = (xx′ − yy ′ ) + i(xy ′ + yx′ )
3. conjugué :
z = x − iy
4. partie réelle :
Re z = x
5. partie imaginaire :
Im z = y
p
p
z · z = x2 + y 2
6. module :
|z| =
7. inverse :
1
x − iy
z
= 2
= 2
z
x + y2
|z|
8. argument : arg z est un nombre θ défini à 2kπ près tel que
Re z
Im z
y
x
=
=
et sin θ = p
cos θ = p
2
2
2
2
|z|
|z|
x +y
x +y
Expression sous forme d’exponentielles complexes
eiθ = cos θ + i sin θ
e−iθ = cos θ − i sin θ
;
1
z = x + iy = |z|eiθ
z = x − iy = |z|e−iθ
;
Formules d’Euler
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
;
sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
Formule de Moivre
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
ou bien
(eiθ )n = einθ
Utilisation du complexe conjugué
z + z′ = z + z′
;
z · z′ = z · z′
z réel ⇐⇒ z = z
;
Re z = Re z =
z+z
2
;
1
1
=
z
z
;
z=z
z imaginaire pur ⇐⇒ z = −z
Im z = −Im z =
;
z−z
2i
Formules avec le module
|z · z ′ | = |z| · |z ′ | ;
|z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |
|Re z| ≤ |z| ;
|Im z| ≤ |z|
1
= 1
z |z|
|z| = |z| ;
Formules avec l’argument (à 2kπ près)
arg(z · z ′ ) = arg z + arg z ′
;
arg z = arg
Racines cubiques de l’unité Les nombres
√
1
3
2iπ/3
j=e
=− +i
2
2
arg(z n ) = n arg z (n ∈ Z)
1
= − arg z
z
2
et j = j = e
−2iπ/3
√
1
3
=− −i
2
2
vérifient les équations X 2 + X + 1 = 0 et X 3 = 1
Applications à la géométrie
Soit a, b, et c trois nombres complexes d’images respectives A, B, C, alors
−→ −−→ −−→
a + b = c ⇐⇒ OA + OB = OC
Le nombre complexe
−→d
−
−
→
(AC, AB)
b−a
AB
a pour module
et pour argument une mesure en radians de l’angle
c−a
AC
2