Formulaire sur les nombres complexes

Formulaire sur les nombres complexes
Rappel : quelques formules utiles
1. formule du binˆome de Newton
(a+b)n=
n
X
p=0
Cp
napbn−p
2. somme des termes d’une suite g´eom´etrique :
1 + a+···+an=an+1 −1
a−1si a6= 1
3. trigonom´etrie
sin2x+ cos2x= 1
sin(a+b) = sin acos b+ sin bcos a
cos(a+b) = cos acos b−sin asin b
Nombres complexes
Si z=x+iy et z′=x′+iy′, o`u x,y,x′,y′sont r´eels on a :
1. somme : z+z′= (x+x′) + i(y+y′)
2. produit : z·z′= (xx′−yy′) + i(xy′+yx′)
3. conjugu´e : z=x−iy
4. partie r´eelle : Re z=x
5. partie imaginaire : Im z=y
6. module : |z|=pz·z=px2+y2
7. inverse : 1
z=x−iy x2+y2=z |z|2
8. argument : arg zest un nombre θd´efini `a 2kπ pr`es tel que
cos θ=x
px2+y2=Re z
|z|et sin θ=y
px2+y2=Im z
|z|
Expression sous forme d’exponentielles complexes
eiθ = cos θ+isin θ;e−iθ = cos θ−isin θ
1

z=x+iy =|z|eiθ ;z=x−iy =|z|e−iθ
Formules d’Euler
cos θ=eiθ +e−iθ
2; sin θ=eiθ −e−iθ 2i
Formule de Moivre
(cos θ+isin θ)n= cos nθ +isin nθ ou bien (eiθ)n=einθ
Utilisation du complexe conjugu´e
z+z′=z+z′;z·z′=z·z′;1
z=1
z;z=z
zr´eel ⇐⇒ z=z;zimaginaire pur ⇐⇒ z=−z
Re z= Re z=z+z
2; Im z=−Im z=z−z 2i
Formules avec le module
|z·z′|=|z|·|z′|;|z+z′| ≤ |z|+|z′|
|Re z| ≤ |z|;|Im z| ≤ |z|
|z|=|z|;
1
z=1 |z|
Formules avec l’argument (`a 2kπ pr`es)
arg(z·z′) = arg z+ arg z′; arg(zn) = narg z(n∈Z)
arg z= arg 1
z=−arg z
Racines cubiques de l’unit´e Les nombres
j=e2iπ/3=−1
2+i√3 2et j=j2=e−2iπ/3=−1 2−i√3 2
v´erifient les ´equations X2+X+ 1 = 0 et X3= 1
Applications `a la g´eom´etrie
Soit a,b, et ctrois nombres complexes d’images respectives A,B,C, alors
a+b=c⇐⇒ −→ OA +−−→ OB =−−→ OC
Le nombre complexe b−a
c−aa pour module AB AC et pour argument une mesure en radians de l’angle
d
(−→ AC, −−→ AB)
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