Exercice1 (8pts): i désigne le complexe de module 1 et d`argument

Exercice1 (8pts):

.
2
Soient z1  2 2  2i 2 ; z2  2  2i 3 et z3  2 3  2i .
Soient M1 ,M2 et M3 les images respectives de z1 , z2 et z3 dans le plan muni d'un repère orthonormé
i désigne le complexe de module 1 et d'argument
(O; u, v).
1. Calculer les modules de z1 , z2 et z3 . En déduire une équation du cercle C qui passe par
M1 ,M2 et M3 .
2. Donner un argument de chacun des nombres z1 , z2 et z3 .
z13 .z23
. Montrer que Z 4  1 .
6
z3
4. Soit N l'image de Z . Représenter M1 ,M2 et M3 ; C et N dans le repère donné.
3. Calculer le nombre complexe Z 
5. Résoudre l’équation z 4  1.
Exercice2 (7pts) :
Soit le polynôme P( X )  X 7  5 X 6  8 X 5  4 X 4  4 X 3  8 X 2  5 X  1 [ X ]
1. Vérifier que 1 et -1 sont racines de P.
Préciser les multiplicités respectives  et  de 1 et – 1.( on montrera que   1 et   2 )
2. En déduire une première factorisation : P( X )  ( X  1)  ( X  1)   P1 ( X )
Où P1 ( X ) est un polynôme vérifiant P1 (1)  0 et P1 (1)  0 que vous déterminer.
1
3. Vérifier que z  * : P1 (z)=0 si et seulement si z  est une racine de l’équation de degré 2
z
2
Z  4Z  3  0 .
4. En déduire la factorisation de P en produits d’irréductibles dans [ X ] et puis dans [ X ] .
Exercice3 (5pts):
1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle F ( X ) 
n
1
.
k 1 k ( k  1)( k  2)
2. a) Simplifier l’expression Sn  
b) En déduire lim S n .
n 
1
dans
X ( X  1)( X  2)
(X ) .