calculatrice autorisee

DS de Mathématiques
4h
EXERCICES DS + ACTIVITE
TS
CALCULATRICE
AUTORISEE
Acquis
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Nom :
Prénom :
Note et observation(s) :
Signature:
Calcul algébrique dans C
Conjugué d’un nombre C
Résolution d’équation dans C
Représentation géométrique des C
Dérivées sur IR
Variations de fonctions sur IR
DS : Exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6 la note sera ramenée sur 20
Exercice 1
8 points
Résoudre dans C les équations suivantes :
z2 – (1+ √3 ) z + √3 = 0
(z2 + 3z + 1 ) ( z2 - z + 6 ) =0
z 2  2z  5
c)
1  0
2z 2 1
z 2
d)
z
z 1
a)
b)

Exercice 2
3 points
Soit P le polynôme défini sur C par :
P(z) = z 4 + 3 z 3 + 6 z 2 + 6z + 8
a) Justifier la copie d’écran ci dessous avec le logiciel XCAS :
b) En déduire la résolution dans C de l’équation P(z) = 0
Exercice 3
8 points
On se propose d’étudier les solutions de l’équation (E) : z3 + 1 = 0
1. Vérifier que 1 est une solution de (E).
2. Déterminer les coefficients a, b, c réels tels que
3
Z + 1 = (z +1)(a z2 +bz +c).
3. En déduire les solutions de (E). Donner chaque résultat sous forme algébrique.
4. Placer les images A, B et C de ces solutions sur une figure en tenant compte des
renseignements suivants :
- l’affixe a de A est un réel.
- l’affixe b de B est un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive
5. Pour calculer la longueur d’un segment [AB], on utilise la formule :
AB = (xB  xA )2  (yB  yA )2
Montrer que ABC est un triangle équilatéral.
Exercice 4
6 points

Soient z = x + iy et z’ = x’ + i y’ deux nombres complexes quelconques avec x, x’, y, y’ des nombres
réels.
a) Démontrer que z z'  z z' .
b) Citer trois autres propriétés des conjuguées ( Il y en a 6 en tout dans notre cours)
c) Déterminer de deux manières différentes la forme algébrique du conjugué des compelxes
1  2i
suivants
Z2 = (1 – i ) 4
Z3 =
 : Z1 = (4 + i ) ( 2 – 3i)
5i

Exercice 5
8points
Soit f une fonction définie sur IR par f(x) = (x + 1) 3.
Soit g une fonction définie sur IR – { -1 ; 1 } par g(x) =
1
.
x 1
2
Calculer la dérivée f ’ de la fonction f et étudier son signe.
Calculer la dérivée g ’ de la fonction g et étudier son signe.

En déduire les variations de f .
En déduire les variations de g.
A l’aide de votre calculatrice déterminer les coordonnées des points d’intersection de leurs
courbes représentatives Cf et Cg.
F) Expliquer comment retrouver ce résultat algébriquement. Poser et faites vos calculs pour les
retrouver.
A)
B)
C)
D)
E)
Exercice 6
6 points
ACTIVITE sur 20 : LA METHODE DE CARDAN
Sur une autre copie double, à part