   

Mr :Khammour.Khalil
Année scolaire 2013/2014
Sujet de révision n°2
Mai 2014
4ème Info
Exercice n°1 :
A) Pour tout nombre complexe z, on note P  z   z3  4z2  8z  8 .
1) Calculer P(2). Vérifier que, pour tout nombre complexe z, P(z) peut s’écrire sous la forme
P  z    z  2   z2  2z  4  .




2) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation z 2  2 z  4  0 . En déduire les solutions, dans
l’ensemble des nombres complexes, de l’équation P(z) = 0.
B) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O ; u , v ) (unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B et C d’affixes respectives : a = 2, b  1  i 3 , c  1  i 3 .
1) a) Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
b) Démontrer que les points A, B et C sont sur un même cercle  de centre O.
c) Construire le cercle  .
Exercice n°2 :
Une usine fabrique des ordinateurs, des imprimantes et des flashs disque. Elle utilise dans la fabrication de ces
appareils trois types de composants électroniques notés A,B et C.
 La production d’un ordinateur nécessite 1 composant électronique de type A , 4 de type B et 2 de type C.
 La production d’une imprimante nécessite 2 composant électronique de type A , 5 de type B et 4de type C.
 La production d’un flash disque nécessite 2 composant électronique de type A , 2 de type B et 5 de type C.
La consommation journalière en composante électroniques est de 150 de type A, de 300 de type B et de 330 de type C.
On désigne par a,b et c respectivement le nombre d’ordinateurs, d’imprimantes et de flash disque que produit l’usine en
un jour.
1) Montrer que (a,b,c) vérifie le système (S) :
2) Ecrire la matrice M de (S).
6
 17 2

1
3) Soit la matrice N   16 1 6  . Calculer M  N . En déduire que M est inversible et donner sa matrice inverse.
3

 6
0 3 

4) Déterminer alors a,b et c.
Exercice n°3 :
5

U 0  4
Soit Un  une suite définie sur IN par : 
1
3
U
 U 
n

1
n
4
4

1) Montrer que pour tout n de n U  1 .
n
2) Etudier le sens de variation de Un  .
3) Soit Vn  une suite définie sur IN par : Vn  U n  1 . Montrer que Vn  est une suite géométrique, donner
alors son raison et son premier terme.
4) Déterminer Un en fonction de n et calculer lim U n .
n 
Exercice n°4 :
A) On désigne par f la fonction définie sur IR par f  x   ae x  be2x , a et b étant deux constantes réelles.
La courbe C donnée ci-dessus est la courbe représentative dans un repère orthonormé
de la fonction f .
Cette courbe passe par le point A(0 ; 1) et la tangente à C en A est parallèle à l’axe des abscisses.
On note f ′ la fonction dérivée de f .
1) Donner les valeurs exactes de f (0) et f ′(0).
2) En utilisant f (x), exprimer f (0) et f ′(0) en fonction de a et b.
3) En déduire les valeurs de a et b.
A) On considère la fonction f , étudiée dans la partie A, définie sur IR par : f  x   2e x  e2x
La courbe représentative C de la fonction f est donnée au début du problème.
1) Calculer la limite de la fonction f lorsque x tend vers +∞. Donner une interprétation graphique de cette limite.
2) Montrer que, pour tout réel x, f  x   e2x (2e x 1), puis déterminer la limite de la fonction f lorsque x tend vers −∞.
3) a) Montrer que f ′(x) = 2e2x (1 ex ) pour tout réel x.
b) Résoudre dans R l’inéquation 1 e x  0 . En déduire le signe de f ′(x) sur IR.
c) En déduire le tableau de variation de la fonction f sur IR, dans lequel on reportera les limites.
4) On désigne par B l’unique point d’intersection de la courbe C avec l’axe (Ox). Montrer que l’abscisse du point B est
xB = −ln(2). En déduire une équation de la tangente D à la courbe C au point B.
5) On considère la fonction g définie sur l’ensemble IR par : g (x) = (4x +4ln(2))− f (x). On admet que l’aire, en unité
d’aire, du domaine hachuré délimité par la courbe C , la droite D et les droites d’équations respectives x = −ln(2) et
est l’intégrale I=
.Calculer I.