Epreuve specifique - 2000 - Classe Prepa TPC
SESSION
2000
CONCOURS CONNUHS ?OLYTECHNIQUES
TPC005
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE TPC
MATHÉMATIQUES
DUR&
:
4
heures
L'utilisation
des
ca lculatrices
n'est
D~S
auto
ris&.
Soit
E
=
w
1x3
le
w-espace vectoriel des polynômes
B
une ind6termink
x
coefficients
r&ls.
Dans
ce
problème,
si
k
est
un
nombre entier naturel quelconque,
on
note
Ek
le
sous-espace vectoriel de
E
forné
des
polynômes
de degré inférieur
ou
@al
B
k
et
9,
la base canonique
(1,
x,
...,
xk)
de
Ek.
I
On
considère l'application
u
de
Ek
dans
E
qui
à
tout polynôme
P
E
Ek
associe le polynôme
Q
=
u(P)
défini
par
Q(x)
=
P"(x)
-
2xP'(x)
.
1
")
Montrer que
u(Ek)
c
Ek
et que
u
dbfinit
un
endomorphisme de
Ek
,
27
Calculer l'image par
u
du monôme
x"
,
pour
O
5
n
i
k
.
En
déduire que
la
mmœ
représentative de
u
dans
la base
3,
est triangulaire supérieure.
3O)
Déterminer les valeurs propres de
u
,
et
en
déduire
que
u
est
diagonalisable.
4")
On
consid5re
la
fonction
f
de la variable réelle
x
définie par
f(x)
=
eqX2
.
a)
Montrer
que la dérivée d'ordre
n
2
O
de
f
est le produit de
f
par
un
polynôme
à
coefficients entiers
Hn
de degré
n
.
Calculer
Ho,
H,
,
H2
et
H3
.
b)
Montrer que
Hn+l(x)
=
H,'(x)
-
2xZ-ZR(x)
pour
tout
n
2
O
.
c)
Montrer que
pour
tout
n
2
1
on
a
H,,+,(x)
=
-2xH,,(x)
-
2nN,-,(x)
(on
pourra
utiliser la relation
-[e-x2]
=
-[-2xe-'.]
d"
)
.
dx"
&n+1
En
déduire que pour
tout
n
2
1
on
a
H:(x)
=
-2nH,,-,(x)
.
d)
Montrer que pour
tout
n
,
O
I
n
I
k
,
Hn
est
un
vecteur propre de
u
.
Determiner la valeur propre correspondante.
5')
est intégrable sur l'intervalle
1-00,
+-[
.
a) Montrer que pour tout polynôme
à
coefficients réels
R
,
la fonction
e-"R(x)
Tournez
la
page
S.V.P.
J.
1005
-2-
b)
On
considère l'application de
E
x
E
dans
BI
qui
à
tout couple
(Pl,Pz)
d'éléments
de
E
associe le nombre réel
(4
IF!!)
=
J~e-zz~(x)F!!(x)~
-..
.
Montrer
que cette
application
de
E
x
E
dans
W
est
un
produit scalaire
sur
E
.
6")
Soient
p
et
4
deux nombres entiers naturels tels que
p
2
1
et
4
2
1
.
a> Monm que
(H,IN,)
=
~P(H,,-~
1Hq+)
=
2q(H,,
/Hq-l)
.
b)
En
déduire la valeur de
(HP
IHq)
pour
p
f
4
.
c) Sachant que
If-e-"dX
-_
=
&
,
calculer
l/HpIf
=
(H,
IR,,)
pour
tout
nombre
entier
+-
(on
pourra calculer
H,
(x)~,
(XI~
en
intégrant
par
parties)
naturel
p
.
79
Soit
P
un
polynôme de degré
k
.
Montrer
qu'il existe
k+l
nombres
réels
+
ccHc
,
et
exprimer
cp
,
pour
tout
nombre
entier
p
co
,
c1
,
.
.
.,
ck
tels que
P
=
coHo
+
c,
Hl
f
tel que
O
S
p
I
k
,
en fonction de
/+me-x2
-m
P'p'(x)dx
.
II
On
considère I't5quation différentielle linéaire du deuxième
ordre
:
où
A
est
un
paramètre réel,
et
P
une fonction polynôme de
desé
zXy'
+
ay
=
P(~)
,
k.
Soit
(&;)
:
y"-
2xy'
+
ky
=
O
,
l'équation linéaire homogène associée
à
(&A)
.
1")
On se
propose
de déterminer
les
solutions de
(&;)
sous
forme
de sommes de séries
entièresde
x.
+-
a)
On pose
y(~)
=
a,~"
.
Etablir
la
relation
qui
doit exister entre
un+2
et
un
pour
n=O
que
y
soit solution de
(€:)
.
b)
Soient
f,(x)
=
~un(A)xn
et
gl(x)=
~b,(I)x"
les solutions
de
(&;)
développables en série entière
au
voisinage
de
O
qui vérifient les conditions
initiales
f,(O)
=
1,
fi(0)
=O,
g,(O)
=O,
&(O)
=
1
.
Calculer les coefficients
un(a)
et
b,,(L)
pour tout
n
E
N
.
Quel est
le
n=O
n=O
+a.
+-
rayon de convergence
des
séries
entières
xan(A)xn
et
zb,,(A.)x"
?
n=O
n=O
c) Déterminer
la
solution
générale
de
(6;)
en fonction de
fA
et
82-
-3-
d)
Pour quelles valeurs de
A
l'équation
(&:)
admet-elle
des solutions
polynômiales non identiquement nulles
?
2')
On
suppose que
A
=
2p
,
où
p
est
un
nombre entier naturel.
Montrer que
Hp
est solution de
(&:)
.
Déterminer les valeurs de
Hp(0)
et
Hi(0)
.
On
pourra utiliser le développement en série
entib de
e-"
pour le calcul
de
H&O)
,
et
la
question
1.4'~
pour
le
calcul de
Hi(0)
.
On
distinguera les
cas
selon la parité de
p.
3")
Soit
4
un
nombre entier naturel. Exprimer
&(x)
en fonction de
&(x)
et
H2q+l(x)
en
fonction de
g4q+2(x)
.
4')
On suppose que
A
n'est pas
un
nombre entier naturel
pair.
a)
Déterminer une solution
particulière
de l'équation différentielle
:
y"
-
2xy'
+
Ay
=
H,(x)
,
où
p
1.7'
,
une solution particulière
de
l'équation
(&$
.
est
un
nombre
entier
tel
que
O
5
p
I
k
.
En
déduire,
à
l'aide
de
la
question
b)
En déduire la solution générale de
(&A)
.
Fin
de
I'énoncé
1
/
3
100%
