Epreuve specifique - 2000 - Classe Prepa TPC

TPC005
SESSION 2000
CONCOURS CONNUHS ?OLYTECHNIQUES
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE
TPC
MATHÉMATIQUES
DUR&: 4 heures
L'utilisation des calculatricesn'est D
~ auto
S
ris&.
w
Soit E = 1x3 le w-espace vectoriel des polynômes B une ind6termink x coefficients r&ls. Dans
ce problème, si k est un nombre entier naturel quelconque, on note Ek le sous-espace vectoriel de
E forné des polynômes de degré inférieur ou @al B k et 9, la base canonique (1, x ,
..., xk)
de E k .
I
On considère l'application u de Ek dans E qui à tout polynôme P
Q = u(P) défini par Q ( x ) = P"(x) - 2xP'(x) .
E
Ek associe le polynôme
1") Montrer que u(Ek)c Ek et que u dbfinit un endomorphisme de Ek ,
2 7 Calculer l'image par u du monôme
x" , pour O 5 n i k . En déduire que la mmœ
représentative de u dans la base 3, est triangulaire supérieure.
3O)
Déterminer les valeurs propres de u ,et en déduire que u est diagonalisable.
.
4") On consid5re la fonction f de la variable réelle x définie par f ( x ) = eqX2
a) Montrer que la dérivée d'ordre n 2 O de f est le produit de f par un polynôme à
coefficients entiers Hn de degré n . Calculer Ho,H,, H2 et H3 .
b) Montrer que Hn+l(x)= H,'(x) - 2xZ-ZR(x) pour tout n 2 O .
c) Montrer que pour tout n 2 1 on a H,,+,(x)= -2xH,,(x) - 2nN,-,(x)
utiliser la relation -&n+1
[e-x2]
= -[-2xe-'.]
d"
dx"
(on pourra
).
En déduire que pour tout n 2 1 on a H:(x) = -2nH,,-,(x) .
d) Montrer que pour tout n ,O In Ik , Hn est un vecteur propre de u .
Determiner la valeur propre correspondante.
5')
a) Montrer que pour tout polynôme à coefficientsréels R ,la fonction
est intégrable sur l'intervalle
1-00, +-[
.
e-"R(x)
Tournez la page S.V.P.
J. 1005
-2-
b) On considère l'application de E x E dans
de E associe le nombre réel
BI qui à tout couple (Pl,Pz)d'éléments
(4IF!!)= J-.~. e - z z ~ ( x ) F ! !.( x ) ~
Montrer que cette application de E x E dans W est un produit scalaire sur E
.
6") Soient p et 4 deux nombres entiers naturels tels que p 2 1 et 4 2 1 .
a> M o n m que (H,IN,) = ~ P ( H , , -1Hq+)
~
= 2q(H,, / H q - l ) .
+-
H,( x ) ~( , X I en
~ intégrant par parties)
b) En déduire la valeur de (HP
IHq)pour p f 4 .
(on pourra calculer
c) Sachant que If-e-"dX
-_
= & ,calculer l/HpIf = ( H , IR,,)
pour tout nombre entier
naturel p .
Soit P un polynôme de degré k . Montrer qu'il existe k+l nombres réels
co , c1 , ..., ck tels que P = coHo+ c,Hl f + ccHc ,et exprimer cp , pour tout nombre entier p
79
tel que O S p Ik ,en fonction de /+me-x2P'p'(x)dx
-m
.
II
On considère I't5quation différentiellelinéaire du deuxième ordre :
zXy'+ ay = P ( ~ ,)
où A est un paramètre réel, et P une fonction polynôme de desé k .
Soit (&;) :
y"- 2xy'
+ ky = O ,l'équation linéaire homogène associée à
sous forme de sommes de séries
1") On se propose de déterminer les solutions de (&;)
entièresde x .
(&A) .
+-
a) On pose y ( ~=)
a , ~ ".Etablir la relation qui doit exister entre un+2 et un pour
n=O
que y soit solution de (€:) .
b)
Soient
f , ( x ) = ~ u n ( A ) x n et
g l ( x ) = ~ b , ( I ) x " les solutions de
n=O
n=O
développables en série entière au voisinage de O qui vérifient les conditions
initiales f,(O) = 1, fi(0) = O , g,(O) = O , &(O) = 1 .
Calculer les coefficients un(a) et b,,(L) pour tout n E N . Quel est le
(&;)
+a.
+-
rayon de convergence des séries entières x a n ( A ) x n et zb,,(A.)x" ?
n=O
n=O
c) Déterminer la solution générale de (6;) en fonction de fA et 82-
- 3 -
d)
Pour quelles valeurs de
A
l'équation
(&:)
admet-elle des solutions
polynômiales non identiquement nulles ?
2') On suppose que A = 2p ,où p est un nombre entier naturel.
Montrer que H p est solution de (&:) .
Déterminer les valeurs de Hp(0) et H i ( 0 ) . On pourra utiliser le développement en série
e n t i b de e-"
pour le calcul de H&O) , et la question 1.4'~ pour le calcul de Hi(0) . On
distinguera les cas selon la parité de p .
3") Soit 4 un nombre entier naturel. Exprimer & ( x )
en fonction de g4q+2(x).
en fonction de & ( x )
et H2q+l(x)
4') On suppose que A n'est pas un nombre entier naturel pair.
a) Déterminer une solution particulière de l'équation différentielle :
y" - 2xy' + Ay = H,(x) ,
est un nombre entier tel que O 5 p I k
1.7' ,une solution particulière de l'équation (&$ .
b) En déduire la solution générale de (&A) .
où p
Fin de I'énoncé
. En
déduire, à l'aide de la question