Epreuve specifique - 2000 - Classe Prepa TPC

SESSION 2000
CONCOURS CONNUHS ?OLYTECHNIQUES
TPC005
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE TPC
MATHÉMATIQUES
DUR& : 4 heures
L'utilisation des ca lculatrices n'est D~S auto ris&.
Soit E = w 1x3 le w-espace vectoriel des polynômes B une ind6termink x coefficients r&ls. Dans
ce problème, si k est un nombre entier naturel quelconque, on note Ek le sous-espace vectoriel de
E forné des polynômes de degré inférieur ou @al B k et 9, la base canonique (1, x, ..., xk)
de Ek.
I
On considère l'application u de Ek dans E qui à tout polynôme P E Ek associe le polynôme
Q = u(P) défini par Q(x) = P"(x) - 2xP'(x) .
1 ") Montrer que u(Ek) c Ek et que u dbfinit un endomorphisme de Ek ,
27 Calculer l'image par u du monôme x" , pour O 5 n i k . En déduire que la mmœ
représentative de u dans la base 3, est triangulaire supérieure.
3O) Déterminer les valeurs propres de u , et en déduire que u est diagonalisable.
4") On consid5re la fonction f de la variable réelle x définie par f(x) = eqX2 .
a) Montrer que la dérivée d'ordre n 2 O de f est le produit de f par un polynôme à
coefficients entiers Hn de degré n . Calculer Ho, H, , H2 et H3 .
b) Montrer que Hn+l(x) = H,'(x) - 2xZ-ZR(x) pour tout n 2 O .
c) Montrer que pour tout n 2 1 on a H,,+,(x) = -2xH,,(x) - 2nN,-,(x)
(on pourra
utiliser la relation -[e-x2] = -[-2xe-'.] d" ) .
dx"
&n+1
En déduire que pour tout n 2 1 on a H:(x) = -2nH,,-,(x) .
d) Montrer que pour tout n , O I n I k , Hn est un vecteur propre de u .
Determiner la valeur propre correspondante.
5')
est intégrable sur l'intervalle 1-00, +-[ .
a) Montrer que pour tout polynôme à coefficients réels R , la fonction
e-"R(x)
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J. 1005

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b) On considère l'application de E x E dans BI qui à tout couple (Pl,Pz) d'éléments
de E associe le nombre réel (4 IF!!) = J~e-zz~(x)F!!(x)~ -.. .
Montrer que cette application de E x E dans W est un produit scalaire sur E .
6") Soient p et 4 deux nombres entiers naturels tels que p 2 1 et 4 2 1 .
a> Monm que (H,IN,) = ~P(H,,-~ 1Hq+) = 2q(H,, /Hq-l) .
b) En déduire la valeur de (HP IHq) pour p f 4 .
c) Sachant que If-e-"dX -_ = & , calculer l/HpIf = (H, IR,,) pour tout nombre entier
+-
(on pourra calculer
H, (x)~, (XI~ en intégrant par parties)
naturel p .
79 Soit P un polynôme de degré k . Montrer qu'il existe k+l nombres réels
+ ccHc , et exprimer cp , pour tout nombre entier p
co , c1 , . . ., ck tels que P = coHo + c, Hl f
tel que O S p I k , en fonction de /+me-x2 -m P'p'(x)dx .
II
On considère I't5quation différentielle linéaire du deuxième ordre :
où A est un paramètre réel, et P une fonction polynôme de desé
zXy' + ay = P(~) ,
k.
Soit (&;) :
y"- 2xy' + ky = O , l'équation linéaire homogène associée à (&A) .
1") On se propose de déterminer les solutions de
(&;) sous forme de sommes de séries
entièresde x.
+-
a) On pose y(~) =
a,~" . Etablir la relation qui doit exister entre un+2 et un pour
n=O
que y soit solution de (€:) .
b) Soient f,(x) = ~un(A)xn et gl(x)= ~b,(I)x" les solutions de
(&;) développables en série entière au voisinage de O qui vérifient les conditions
initiales
f,(O) = 1, fi(0) =O, g,(O) =O, &(O) = 1 .
Calculer les coefficients un(a) et b,,(L) pour tout n E N . Quel est le
n=O n=O
+a. +-
rayon de convergence des séries entières xan(A)xn et zb,,(A.)x" ?
n=O n=O
c) Déterminer la solution générale de (6;) en fonction de fA et 82-

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d) Pour quelles valeurs de A l'équation (&:) admet-elle des solutions
polynômiales non identiquement nulles ?
2') On suppose que A = 2p , où p est un nombre entier naturel.
Montrer que
Hp est solution de (&:) .
Déterminer les valeurs de Hp(0) et Hi(0) . On pourra utiliser le développement en série
entib de e-" pour le calcul de H&O) , et la question 1.4'~ pour le calcul de Hi(0) . On
distinguera les cas selon la parité de p.
3") Soit 4 un nombre entier naturel. Exprimer &(x) en fonction de &(x) et H2q+l(x)
en fonction de g4q+2(x) .
4') On suppose que A n'est pas un nombre entier naturel pair.
a) Déterminer une solution particulière de l'équation différentielle :
y" - 2xy' + Ay = H,(x) ,
où p
1.7' , une solution particulière de l'équation (&$ .
est un nombre entier tel que
O 5 p I k . En déduire, à l'aide de la question
b) En déduire la solution générale de (&A) .
Fin de I'énoncé