Quadripôles, fonctions de transfert, filtres

Quadripôles, fonctions de transfert, filtres
I Quadripôle électrocinétique
A) Définition
Elément de circuit à quatre bornes :
ve
ie
Quadripôle
is
vs
générateur
ie
Charge
(récepteur)
is
Bornes
d’entrée
Bornes de
sortie
Quadripôle passif : pas de source auxiliaire de puissance électrique.
Quadripôle actif : présence d’une source auxiliaire de puissance.
Le fonctionnement électrique du quadripôle est caractérisé par :
ve , vs : tension d’entrée, de sortie du quadripôle
ie , is : courant d’entrée, de sortie du quadripôle
Un quadripôle est dit linéaire lorsqu’il est constitué uniquement de dipôles et
éléments de circuit linéaires.
B) Exemples de quadripôles
Transformateur :
(passif)
R
ie
e(t)
ve
is
vs
C
R’
(passif)
Montage à amplificateur opérationnel (A.O)
R
ie
ve
+
vs
is
(actif)
II Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire en
RSF ( ) .
ve  Ve e j .t
ie  I e e j .t
v s  Vs e j .t
is  I s e j .t
A) Fonction de transfert (Transmittance)
Définition :
H ( j ) (fonction de transfert ) 
ou
ou
ou
vs
ve
is
ie
Vs
Ie
Is
Ve


Vs
Ve
Is
Ie
(amplifica tion en tension )
(amplifica tion en courant)
(Transimpé dance)
(Transadmi ttance)
 fonction d' entrée 


 fonction de sortie 
Attention : H dépend du quadripôle et du reste du circuit.
H ( j)  H ( j) e j arg( H ( j ))  G()e j ( )
G ( ) : gain du quadripôle.
 ( ) : avance de phase de la sortie sur l’entrée.
On définit le gain en décibel : GdB ( )  20 log 10 (G( ))
III Diagramme de Bode
A) Définition
Consiste à tracer les graphes GdB et  en fonction de log 10 ( /  0 ) , où 0 est soit
une pulsation caractéristique du circuit, soit  0  1rad.s 1 . On peut aussi tracer en
fonction de  sur un papier millimétré en échelle logarithmique. (unité : décade).
B) Exemple : circuit R,C et C,R
Circuit R,C :
R
ve
vs
C
Source : ve  Ve cos(.t   )
Charge : circuit ouvert ( is  0 )
H ( j ) 
Vs
Ve

ZC
ZC  Z R
(diviseur de tension)
1
1
. On pose  0 
RC
1  jRC
1
Donc H ( j ) 

1 j
H ( j ) 
0
 
;  ( )   arctan  
 0 
1
Ainsi, G( ) 
 
1   
 0 
2
Diagramme de Bode :
En basse fréquence (   0 ) :
lim G( )  1 donc
 0
lim  ( )  0 donc
 0
lim
GdB  0 . On a donc une asymptote horizontale en   .
lim
 ( )  0 . On a aussi une asymptote horizontale.

log
 0

log
 0

 



 


En haute fréquence (   0 ) :

G ( ) ~
 
0

  
Donc lim  log( G )  log  0    0
  
  




0 
)  0
Soit lim  GdB ( )  (20log
   
 
 Y

X


On a une asymptote d’équation Y  20 X (soit GdB ( )  20 log
lim  ( )  
  

2
. On a donc une asymptote horizontale en  
0,0010 0,01 0
-3
0,1 0
-2
0
0
-1
GdB
10 0
100 0
1
2
1000 0
3
-20
de
ca
dé
B/
0d
-2
1
2
 
log10  0 
 
asymptotique
réel
-40
G(0 ) 
0
) en   .

 GdB (0 )  3dB
 ( )
-3
-2
0
-1
1
2
3
 
log10  0 
 
asymptotique
réel

 ( 0 )   arctan 1  

4

2
Circuit C,R :
C
ve
vs
R
Source : ve  Ve cos(.t   )
Charge : R .

ZR
0
R
jRC
1
, avec  0 
H ( j ) 



1

RC
Z R  ZC
1  jRC
R
1 j
jC
0

 
0

G ( ) 
;  ( )   arctan  
2
2
 0 
 
1   
 0 
j
En basse fréquence (   0 ) :

G ( ) ~
0 
0
 

Donc lim  GdB ( )  20 log 0   0
 0


On a une asymptote d’équation GdB ( )  20 log
lim  ( ) 
 0

0
en   .

2
En haute fréquence (   0 ) :
 / 0
~ 1 . Donc lim G ( )  1 ;
  
  /  
0
G( ) ~
lim GdB ( )  0
  
lim  ( )  0
  
GdB
-3
-2
0
-1
20
dB
/d
éc
ad
e
-20
1
2
3
 
log10  0 
 
asymptotique
réel
-40
Pour  ( ) , c’est le même que le précédent décalé de  / 2 vers le haut :
 ( )

2
-3
-2
 
log10  0 
 
0
-1
asymptotique
réel
1
2
3
C) Diagramme de Bode asymptotique
IV
Définition du diagramme de Bode asymptotique : c’est la réunion des asymptotes
haute fréquence et basse fréquence. (Le diagramme de Bode asymptotique est très
proche du réel.) Remarque : on peut avoir plusieurs domaines de fréquences (haute
fréquence, basse fréquence et intermédiaire).
Filtres du 1er ordre
A) Décomposition en série de Fourier
Soit F de période T (pulsation  
2
). Alors, d’après le théorème de Fourier :
T


n 0
n 0
(a n ) nN , (bn ) nN * , t  R , F (t )   a n cos(.n.t )   bn sin( .n.t )
On a :
a 0  F (t )
t
t
an 
2
F (t ' ) cos(.n.t ' )dt '
T 0
bn 
2
F (t ' ) sin( .n.t ' )dt '
T 0
t
Notation compacte :

F (t )   C n cos(.n.t   n ) ( a0  C0 cos  0 )
n 0
Terme 0 : valeur moyenne
Terme n : harmonique de rang n de la décomposition de Fourier.
Exemple : le son d’un instrument de musique

F (t )  C1 cos(.t  1 )   C n cos(.n.t   n )
 n 1

fondamenta l
 hauteur de la note
harmoniques, donnent
le "timbre" de la note
Si F n’est pas périodique, on a toujours une décomposition, appelée « transformée
de Fourier » (mais éventuellement avec une intégrale au lieu de la somme)
Exemple : décomposition spectrale de la lumière :

  C n cos(.n.t   n )
n 0
onde lumineuse


en un point
F
(t )

composantes monochroma tiques
de F ( t )
B) Théorème de superposition
Un circuit linéaire correspond à la donnée d’équations (différentielles) linéaires.
uR
i(t)
R
uL
e(t)
e(t )  u R  u L  Ri (t )  L
di
dt
e1 (t )  i1 (t )
e2 (t )  i2 (t )
e1 (t )  e2 (t )  Ri (t )  L
di
 i (t )  i1 (t )  i2 (t )
dt
Théorème de superposition : pour calculer la réponse à e(t )  e1 (t )  e2 (t ) , il suffit
de sommer les réponses à chacune des excitations prises individuellement (valable non
seulement pour des sommes, mais aussi pour des combinaisons linéaires).
Conséquence : pour e(t ) , excitation périodique ou non, la série/transformée de

Fourier donne e(t )   E n cos(.n.t   n )
n 0
On trouve alors la réponse in (t ) , pour chaque n, à En cos(.n.t  n ) . Dans ce cas,
En
In 
, soit in (t )  I n cos(.n.t  arg( I n ))
R  jnL

Donc in (t )   I n cos(.n.t  arg( I n ))
n 0
C) Définition et classification d’un filtre
Un filtre est un quadripôle linéaire.
Bande passante du filtre :
G 

max
BP   , G ( )  max    , GdB ( )  GdB
 3dB
2 

Un filtre est dit :
Passe-bas si la bande passante est de la forme 0; 1  .
Passe-haut si la bande passante est de la forme 1 ; .
Passe-bande si la bande passante est de la forme 1 ; 2 
Coupe-bande si la bande passante est de la forme 0;1   2 ;

Pour un quadripôle linéaire, H ( j ) 

P( j )
, où P et Q sont des polynômes de
Q( j )
degré  n ; n désigne alors l’ordre du filtre.
Exemple : passe-bas


n 0
n 0
ve (t )   C n cos(.n.t   n ) ; v s (t )   C ' n cos(.n.t   ' n )
C'n
Cn
Pour   1 , C’n et Cn sont comparables (les basses fréquences sont transmises)
G(n ) 
Pour   1 , C ' n  C n (les hautes fréquences sont atténuées)
D) Filtres passe-haut : R,L et C,R
1) Fonction de transfert
C
ve
vs
R
Charge : sortie ouverte.
j / 0
jRC
1
H ( j ) 

, avec  0 
.
RC
1  jRC 1  j / 0
R
vs
ve
Charge : sortie ouverte.
j / 0
jL / R
R
H ( j ) 

, avec  0 
L
1  jL / R 1  j / 0
On a donc un filtre du premier ordre.
0
GdB
-3dB
Bande passante
2) Application
Touche AC de l’oscilloscope :
E
La touche AC est un filtre passe-haut

ve (t )  E   C n cos(.n.t   n )
n 1


 ve

v s (t )  0   C n cos(.n.t   n )  ve (t )  E
n 1
3) Comportement pseudo dérivateur
Si   0 :
H ( j ) 
ou Vs  j
j /  0

~ j
1  j /  0
0
Ve
0
soit v s (t ) 
1 dve
(en RSF( ))
 0 dt
Pour une fonction périodique quelconque :

2
)
ve (t )   Cn cos(.n.t   n ) (  
T
n 0

Donc v s (t ) 
n tq
n 0
1 d (C n cos(.n.t   n ))
1 d (C n cos(.n.t   n ))

0
dt
dt
autres 0
Si la plupart des composantes de Fourier de ve sont dans le domaine atténué
1 dve (t )
( n   0 ), alors v s (t ) 
0 dt
E) Filtres passe-bas
1) Fonction de transfert
En sortie ouverte :
R
ve
H ( j ) 
ve
H ( j ) 
vs
C
1
1
1
, avec  0 
.

RC
1  jRC 1  j /  0
vs
R
R
R
1
, avec  0  .

L
R  jL 1  j /  0
Pulsation de coupure :
1
1
. H ( j) max  1 . H ( j ) 
H ( j ) 
   0
2
2
 
1   
 0 
On a donc un filtre passe-bas, de bande passante 0;  0 
2) Application : redressement
ve(t)
T
2

t
On utilise un filtre passe-bas  0  

ve (t )  C 0   C n cos(.n.t   n )
n 1

v s (t )  C 0
( H (0)  1)


0
3) Comportement pseudo-intégrateur
En RSF ( ) , pour   0 :

1
~ 0
j / 0
j
t
 0 Ve
Donc Vs 
. Donc v s (t )   0  ve (t ' )dt '
j
t0
H ( j ) ~
Pour un signal périodique ( T 
2

) de moyenne nulle :

ve (t )   C n cos(.n.t   n ) ( C0  0 )
n 1

t
t
n 1
t0
t0
avec   0 , v s (t )    0  C n cos(.n.t ' n )dt '   0  ve (t ' )dt '
F) Exemple de filtre du 2nd ordre
Filtre LC,R :
C
L
ve
H ( j ) 
vs
R
R
R  jL 
1
jC

R
1 

R  j L 

C 

Etude du diagramme de Bode :
En basse fréquence, Z C  R et Z C  Z L
C'est-à-dire RC   1   
1
1
 1 et
 L     0 
RC
C
R

H ( j ) ~
~ j
1
1
jC
Donc GdB ( ) ~ 20 log

.
1
Donc GdB ( ) a une asymptote d’équation GdB  20 log
En haute fréquence, Z L  R et Z L  Z C

1
1
LC
De même, avec  2 
R
et  0 
L
1
LC
, H ( j ) ~
R
1
~
j L j  /  2
Donc GdB ( ) a une asymptote d’équation GdB  20 log

2
Comparaison des pulsations :
1
R
1 2 
   02
RC L
log 10 1  log 10 2
Donc log 10 0 
2
2
L2 02
1
L
L
1 /  2 
  2

 Q2
RC R R LC
R2
Si Q  1,  2  0  1
Si Q  1, 1  0   2
Cas Q  1 :
2
GdB
0
1

(échelle logarithmique)
20
dB
/dé
ca
de
de
ca
dé
B/
0d
-2
  2 et   0
  1 et   0
Le gain est maximum quand   0 , G(0 )  1 . On a un filtre passe bande (très
sélectif : la bande est très petite)
Cas Q  1 :
1
GdB
0
2

(échelle logarithmique)
de
ca
dé
B/
0d
-2
20
dB
/dé
ca
de
-3dB
pour les fréquences intermédiaires : GdB  0
Bande passante  [1 ; 2 ]