Quadripôles, fonctions de transfert, filtres

I Quadripôle électrocinétique
A) Définition
Elément de circuit à quatre bornes :
Quadripôle is
is ie
ievs
ve
Bornes
d’entrée
Bornes de
sortie
Charge
(récepteur)
générateur
Quadripôle passif : pas de source auxiliaire de puissance électrique.
Quadripôle actif : présence d’une source auxiliaire de puissance.
Le fonctionnement électrique du quadripôle est caractérisé par :
se vv ,
: tension d’entrée, de sortie du quadripôle
se ii ,
: courant d’entrée, de sortie du quadripôle
Un quadripôle est dit linéaire lorsqu’il est constitué uniquement de dipôles et
éléments de circuit linéaires.
B) Exemples de quadripôles
Transformateur :
(passif)
R
ie
vevs
is
e(t)CR’
(passif)
Montage à amplificateur opérationnel (A.O)
-
+
vevs
ieis
R
(actif)
II Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire en
)(RSF
.
Quadripôles, fonctions de transfert, filtres

tj
ss
tj
ss
tj
ee
tj
ee
eIieVv
eIieVv
..
..
A) Fonction de transfert (Transmittance)
Définition :
ttance)(Transadmi ou
dance)(Transimpé ou
courant)en tion (amplifica ou
)en tensiontion (amplifica ) transfertde(fonction )(
e
s
e
s
e
s
e
s
e
s
e
s
V
I
I
V
I
I
i
i
V
V
v
v
jH
sortie defonction entréed'fonction
Attention : H dépend du quadripôle et du reste du circuit.
)())(arg( )()()( jjHj eGejHjH 
)( G
: gain du quadripôle.
)(
: avance de phase de la sortie sur l’entrée.
On définit le gain en décibel :
))((log20)( 10dB GG 
III Diagramme de Bode
A) Définition
Consiste à tracer les graphes
dB
G
et en fonction de
)/(log 010
, où
0
est soit
une pulsation caractéristique du circuit, soit
1
0rad.s1 
. On peut aussi tracer en
fonction de sur un papier millimétré en échelle logarithmique. (unité : décade).
B) Exemple : circuit R,C et C,R
Circuit R,C :
R
vevs
C
Source :
).cos(  tVv ee
Charge : circuit ouvert (
0
s
i
)
RC
C
e
s
ZZ
Z
V
V
jH  )(
(diviseur de tension)
jRC
jH  11 )(
. On pose
RC
1
0
Donc
0
1
1
)(
j
jH

Ainsi,
0
2
0
arctan)(;
1
1
)( G
Diagramme de Bode :
En basse fréquence (
0
) :
0lim donc1)(lim dB
log
0
0
GG
. On a donc une asymptote horizontale en .
0)(lim donc0)(lim
0
log
0
. On a aussi une asymptote horizontale.
En haute fréquence (
0
) :
0
~)( G
Donc
0log)log(lim 0 G
Soit
0)log20()(lim 0
dB 
X
Y
G
On a une asymptote d’équation
XY 20
(soit
0
dB log20)( G
) en .
2
)(lim
. On a donc une asymptote horizontale en
GdB
-20dB/décade
0
10
log
0123
-1
-2
-3
-20
-40
asymptotique
réel
0
001,0
0
01,0
0
1,0
0
0
10
0
100
0
1000
dB3)(
2
1
)( 0dB0 GG
0
10
log
0123
-1
-2
-3
asymptotique
réel
2
)(
4
1arctan)( 0

Circuit C,R :
R
vevs
C
Source :
).cos(  tVv ee
Charge :
R
.
0
0
1
1
1
)(
j
j
jRC
jRC
jC
R
R
ZZ
Z
jH
CR
R
, avec
RC
1
0
0
2
0
0arctan
2
)(;
1
)( G
En basse fréquence (
0
) :
0
0
~)( G
Donc
0log20)(lim 0
dB
0
G
On a une asymptote d’équation
0
dB log20)( G
en .
2
)(lim0
En haute fréquence (
0
) :
1~
/
/
~)(
0
0
G
. Donc
0)(lim;1)(lim dB   GG
0)(lim 
GdB
0
10
log
0123
-1
-2
-3
-20
-40
asymptotique
réel
20dB/décade
Pour
)(
, c’est le même que le précédent décalé de
2/
vers le haut :

0
10
log
0123
-1
-2
-3
asymptotique
réel
2
)(
C) Diagramme de Bode asymptotique
Définition du diagramme de Bode asymptotique : c’est la réunion des asymptotes
haute fréquence et basse fréquence. (Le diagramme de Bode asymptotique est très
proche du réel.) Remarque : on peut avoir plusieurs domaines de fréquences (haute
fréquence, basse fréquence et intermédiaire).
IV Filtres du 1er ordre
A) Décomposition en série de Fourier
Soit F de période T (pulsation
T
2
). Alors, d’après le théorème de Fourier :
00
*)..sin()..cos()(,,)(,)( nn
nnnnnn tnbtnatFtba
R
NN
On a :
t
n
t
n
t
dttntF
T
b
dttntF
T
a
tFa
0
0
0
')'..sin()'(
2
')'..cos()'(
2
)(
Notation compacte :
0)..cos()( nnn tnCtF
(
000 cos
Ca 
)
Terme 0 : valeur moyenne
Terme n : harmonique de rang n de la décomposition de Fourier.
Exemple : le son d’un instrument de musique
note la de timbre"" le donnent s,harmonique
1
note la dehauteur lfondamenta
11 )..cos().cos()( 
nnn tnCtCtF
Si F n’est pas périodique, on a toujours une décomposition, appelée « transformée
de Fourier » (mais éventuellement avec une intégrale au lieu de la somme)
Exemple : décomposition spectrale de la lumière :
)( de tiquesmonochroma scomposante
0
pointun en lumineuse onde
)..cos()(
tF
nnn tnCtF 