nombres complexes - MPSI-1

NOMBRES COMPLEXES
MPSI 1–Lycée Thiers
Année 2008-2009
Table des matières
A Travail préparatoire 2
A.1 Sommes et produits ; les symboles Pet Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A.1.1 Notations et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A.1.2 Quelques propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
A.1.3 Un peu plus compliqué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
B Le corps des nombres complexes 4
B.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
B.2 Comportement de ces ensembles vis à vis de l’addition et la multiplication . . . . . . . . . . . . . . 5
B.3 Les propriétés fondamentales de (C,+,×). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
B.4 Forme algébrique d’un nombre complexe, parties réelle et imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
B.5 Interprétation géométrique des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
C Conjugaison et module 8
C.1 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
C.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
C.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
C.2 Module..................................................... 8
C.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
C.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
C.2.3 Nombres complexes de module 1................................. 9
D Arguments d’un complexe non nul, forme trigonométrique d’un complexe 9
D.1 Représentation des complexes de module 1................................ 9
D.2 Arguments d’un complexe non nul,forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . 10
D.3 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
E Applications à la trigonométrie 11
E.1 Formules d’Euler, linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
E.2 Formule de Moivre, ”délinéarisation” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
F Racines n-ièmes dans C12
F.1 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
F.2 Racines n-ièmes d’un complexe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
F.3 Cas particulier des racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
F.4 Équations du second degré à coefficients dans C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
G Interprétation géométrique de quelques transformations de C15
H Les exos en vrac 15

Mathématiques chapitre : Nombres complexes page 2
A Travail préparatoire
A.1 Sommes et produits ; les symboles Pet Q
A.1.1 Notations et exemples
– Les notations Pet Q:
– Soit Eun ensemble muni d’une opération notée additivement (le plus souvent Esera l’un de nos
ensembles de nombres). Soit (p,n)∈Z2tel que p≤n, et soient xp,xp+1, ..., xndes éléments de E.
On note
n
P
k=p
xkla somme xp+xp+1 +...+xn.
– Soit Eun ensemble muni d’une opération notée multiplicativement. Soit (p,n)∈Z2tel que p≤n, et
soient xp,xp+1, ..., xndes éléments de E.
On note
n
Q
k=p
xkle produit xp.xp+1. . . . . xn.
– Que pensez-vous de n
P
k=p
xk,n
P
i=p
xi,n
P
j=p
xj? ............................................................... ...................................................
........................ ...................................
Exemple 1
À COMPLÉTER ET À CONNAITRE PAR COEUR Soit (p,n)∈Z2tel que p≤n, et soient xp,xp+1, ..., xndes éléments
de E.
1. p
P
k=p
xk=
2. p
Q
k=p
xk=
3. n
P
k=0
k=
4. n
Q
k=0
k=
5. Soit a∈C.n
P
k=0
a=
6. Soit a∈C.n
Q
k=0
a=
7. Soient a∈C\{1}.n
P
k=0
ak=
8. Soit a∈C.n
Q
k=0
ak=
9. Soit a∈C.n
P
k=p
a=
10. Soit a∈C.n
Q
k=p
a=
11. Soient a,b ∈C.(a+b)n=
12. Soient a,b ∈C.an−bn=
Remarque 1
n
P
k=p
xkse note aussi P
p≤k≤n
xk.

Mathématiques chapitre : Nombres complexes page 3
A.1.2 Quelques propriétés générales
Dans toute la suite, sauf précision, on se donne, si besoin est, (p,n,p0,n0)∈Z4, tels que p≤net p0≤n0.
Propriétés (à compléter)
Soient xp,xp+1, ..., xn,yp,yp+1, ..., ynet αdes nombres complexes.
1. n
P
k=p
αxk=
2. n
P
k=p
(xk+yk) =
3. n
Q
k=p
αxk=
4. n
Q
k=p
xkyk=
Propriété (Relation de Chasles) On suppose que p,qet nsont des entiers tels
que p < q < n. Soient xp,xp+1, ..., xndes nombres complexes. On a :
n
X
k=p
xk=
q
X
k=p
xk+
n
X
k=q+1
xk
n
Y
k=p
xk=
q
Y
k=p
xk.
n
Y
k=q+1
xk
Tout ce qui va suivre concerne aussi la notation Q.
–Changement d’indices (changements de ”compteur”) :
–n+1
P
j=p+1
xj−1=
– Pour n∈N∗,n
P
i=1
xn−i=
– Pour j0,n ∈Navec n≥j0,n
P
j=j0
xj−j0=
Exemple 2 1. utilisable directement Soient n∈N∗,a1,a2, ..., an+1 des nombres complexes. Simplifier n
P
k=1
(ak+1 −ak).
2. Exprimer plus simplement n
P
i=0
1
2n−i(pour n≥1).
3. A connaitre Montrer que l’on a, pour tout nde N∗:
(a) n
P
k=1
k2=n(n+ 1) (2n+ 1)
6.
(b) n
P
k=1
k3= (n(n+ 1)
2)2.
4. Soit n∈N∗. Exprimer
n
Q
k=1
(2k−1)
n
Q
k=1
(2k)
à l’aide de factorielles.
5. A connaitre Soit n∈N. Calculer n
P
k=0 µn
k¶et n
P
k=0
(−1)kµn
k¶.
6. Soit n∈N,n ≥2. Calculer n
P
k=2
ln µ1−1
k2¶.

Mathématiques chapitre : Nombres complexes page 4
7. Montrer que pour tout p∈N,arctan (p+ 1) −arctan p= arctan 1
p2+p+ 1.
En déduire n
P
k=0
arctan 1
k2+k+ 1, où n∈N.
8. A connaitre Pour n∈N, calculer S=
E(n
2)
P
k=0 µn
2k¶et S0=
E(n−1
2)
P
k=0 µn
2k+ 1 ¶. On pourra commencer par
calculer S+S0et S−S0.
9. Pour n∈N, calculer n
P
k=0
kµn
k¶.
A.1.3 Un peu plus compliqué
–Les sommes doubles. Soit (xi,j )(i,j)∈{p,...,n}×{p0,...,n0}une famille de nombres complexes (note1).
–n
P
i=p
n0
P
j=p0
xi,j est une somme double ; elle représente n
P
i=p
αioù l’on a posé αi=
n0
P
j=p0
xi,j pour i=p,...,n.
– On a n
P
i=p
n0
P
j=p0
xi,j =
n0
P
j=p0
n
P
i=p
xi,j . On peut intervertir les signes de sommation car iet jsont des indices
indépendants. On peut alors noter P
p≤i≤n
p0≤j≤n0
xi,j la somme double.
–ajouter des conditions supplémentaires
– On peut aussi écrire ce genre de choses :
2n
X
k=2p
kpair
xk=
Ainsi, si l’on rajoute une condition sous le signe P, cela signifie que l’on se limite aux indices qui
vérifient la condition.
Exemple 3 1. Comment intervertir les indices dans : n
P
i=0
n
P
j=i
xi,j et dans n
P
i=0
i
P
j=0
xi,j ?
2. Transformer :
–n
P
k=p
n
P
k0=p
xkyk0=
–n
Q
k=p
n
Q
k0=p
xkyk0=
3. Calculer P
1≤i≤n
1≤j≤n
i<j
xi,j (que l’on note aussi P
1≤i<j≤n
xi,j ) lorsque xi,j = 1
( resp i+j, c’est plus difficile )
4. Calculer, pour n∈N:n
P
p=0
n
P
k=pµk
p¶.
B Le corps des nombres complexes
B.1 Présentation
Nos ensembles usuels de nombres sont les ensembles :
–N={0,1,2,...}, ensemble des entiers naturels ;
1. Pour un contexte plus général : (xi,j )(i,j)∈{p,...,n}×{p0,...,n0}est une famille d’éléments d’un ensemble Emuni d’une opération +qui
est associative et commutative.

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–Z={..., −2,−1,0,1,2,...}, ensemble des entiers relatifs ;
–Q=½p
q,(p,q)∈Z×N∗¾, ensemble des nombres rationnels ;
–R, ensemble des nombres réels ;
–C, ensemble des nombres complexes .
On a les inclusions successives N⊂Z⊂Q⊂R⊂Cet ces inclusions sont strictes.
Nous nous plaçons cette année dans les conditions suivantes : nous admettons l’existence de l’ensemble Rdes
réels ; c’est dans Rque nous allons faire vivre les sous-ensembles N,Z,Q; pour l’instant nous admettons l’exis-
tence de Cmais dans un futur plus ou moins proche, nous donnerons une construction de Cà partir de R.
(Note2)
Chacun de ces ensembles de nombres a des particularités qui ne sont pas seulement liées à la présence d’éléments
nouveaux :
– d’une part, les propriétés des opérations que l’on effectue en leur sein les différencient ; nous allons voir
ça tout de suite.
– d’autre part, sauf pour Cqui n’est pas concerné, les propriétés liées à l’exitence de la relation d’ordre
usuelle ≤les distinguent les uns des autres ; nous verrons cela au cours de prochains chapitres.
B.2 Comportement de ces ensembles vis à vis de l’addition et la multiplication
On va consigner dans le tableau qui suit les propriétés de N,Z,Qet Rrelatives aux opérations usuelles +et ×,
sachant que +et ×sont bien des opérations (des lois de composition internes) de N(respectivement de Z, de
Q, de R) car la somme et le produit de deux éléments de N(respectivement de Z, de Q, de R) reste encore un
élément de N(respectivement de Z, de Q, de R).
Lois Propri´et´e
+P1. Associativit´e
P2. Commutativit´e
P3. Existence d0un ´el´ement neutre
P4. T out ´el´ement admet un oppos´e
Nom de la structure
×P10. Associativit´e
P20. Commutativit´e
P30. Existence d0un ´el´ement neutre
×,+P40. Distributivit´e de ×sur +
P50. T out ´el´ement non nul admet un inverse
Nom de la structure
B.3 Les propriétés fondamentales de (C,+,×)
1. L’addition usuelle (que vous connaissez) dans Cest ce qu’on appelle opération ou loi de composition
interne sur C: additionner dans Cc’est associer à tout couple (z,z0)de complexes un complexe que l’on
2. Cmis à part, nous ne nous interessons pas à une construction de ces ensembles. On peut en effet bâtir (a posteriori, ce n’est naturel-
lement pas ce qui s’est passé historiquement) les ensembles dans un ordre ascendant : d’abord construire N(cela se fait à partir d’axiomes),
en déduire Z(en gros, en ”adjoignant” les opposés des entiers naturels), puis Q(en définissant les fractions d’un entier par un entier non
nul) ; on construit ensuite Rà partir de Q(c’est un passage difficile, techniquement et conceptuellement, par rapport aux constructions pré-
cédentes -nous ne l’étudierons pas mais nous nous en ferons une idée lors du chapitre consacré aux propriétés de Rqui préparera à l’étude
des fonctions-).