x - loi de composition interne induite par une relation d`ordre

X - LOI DE COMPOSITION INTERNE
INDUITE PAR UNE RELATION D’ORDRE
Proposition 1 Soit Eun ensemble muni d’une relation d’ordre large notée ≺, vérifiant la propriété
(I) pour tout couple (x, y)de E×E, l’ensemble {x, y}possède une borne supérieure. Cet élément
nécessairement unique est noté x⊤y.
On définit ainsi sur Eune loi de composition interne ⊤, associative, commutative, vérifiant la
propriété
(i) pour tout élément xde E,
x⊤x=x .
De plus, on a l’équivalence
(x≺y)⇐⇒ (x⊤y=y).
•La commutativité est évidente.
•Par définition de ⊤, et en utilisant la transitivité de la relation d’ordre, on obtient
z≺(x⊤y)⊤z
x≺x⊤y≺(x⊤y)⊤z
y≺x⊤y≺(x⊤y)⊤z
donc (x⊤y)⊤zest un majorant de l’ensemble {x, y, z}. Le même raisonnement, montre que x⊤(y⊤z)
est aussi un majorant de cet ensemble.
Soit uun majorant de {x, y, z}. Cet élément majore {x, y}et {y, z}, donc majore x⊤yet y⊤z. Alors
il majore les ensembles {x⊤y, z}et {x, y⊤z}. Il s’en suit que umajore à la fois (x⊤y)⊤zet x⊤(y⊤z).
En prenant successivement pour uun de ces éléments, on obtient
(x⊤y)⊤z≺x⊤(y⊤z) et x⊤(y⊤z)≺(x⊤y)⊤z
d’où l’égalité
(x⊤y)⊤z=x⊤(y⊤z).
La loi ⊤est bien associative.
•Comme xest la borne supérieure de l’ensemble {x}, on a bien
x⊤x=x .
•Enfin la relation x≺y, se traduit par le fait que yest la borne supérieure de l’ensemble {x, y}, donc
par l’égalité
x⊤y=y .

X 2
Proposition 2 Soit Eun ensemble muni d’une loi de composition interne notée ⊤, commutative,
associative et vérifiant (i). On définit sur Eune relation binaire notée ≺par
(x≺y)⇐⇒ (x⊤y=y).
Alors, la relation ⊤est une relation d’ordre sur Eet x⊤yest la borne supérieure de l’ensemble
{x, y}.
•La réflexivité provient de (i).
•Si l’on a à la fois
x≺yet y≺x
on obtient
x⊤y=yet y⊤x=x ,
mais, en raison de la commutativité de ⊤,
x=y⊤x=x⊤y=y .
La relation ≺est donc antisymétrique.
•Si l’on a
x≺yet y≺z
alors
x⊤y=yet y⊤z=z ,
donc
x⊤z=x⊤(y⊤z) = (x⊤y)⊤z=y⊤z=z
c’est-à-dire
x≺z
et la relation ≺est transitive. C’est donc une relation d’ordre.
•D’autre part
x⊤(x⊤y) = (x⊤x)⊤y=x⊤y
ce qui montre que
x≺x⊤y ,
et
y⊤(x⊤y) = y⊤(y⊤x) = (y⊤y)⊤x=y⊤x=x⊤y
ce qui montre que
y≺x⊤y .

X 3
Donc x⊤yest un majorant de l’ensemble {x, y}.
Soit maintenant uun majorant de cet ensemble. Donc
x≺uet y≺u ,
donc
x⊤u=uet y⊤u=u .
Alors
(x⊤y)⊤u=x⊤(y⊤u) = x⊤u=u
et donc
x⊤y≺u
ce qui montre que x⊤yest le plus petit majorant de {x, y}.
Une relation d’ordre vérifiant les propriétés de la proposition 1 et une loi interne vérifiant celles de la
proposition 2 sont donc liées canoniquement par l’équivalence
(x≺y)⇐⇒ (x⊤y=y).
Proposition 3 La relation d’ordre ≺est compatible avec la loi ⊤, et, si pour tout zde E, on a
x⊤z≺y⊤z
alors xet ysont égaux.
•Si l’on a
x≺y
c’est-à-dire
x⊤y=y
alors, pour tout zde E,
(x⊤z)⊤(y⊤z) = (x⊤y)⊤(z⊤z) = y⊤z
donc
x⊤z≺y⊤z ,
ce qui montre la compatibilité de la loi ⊤par rapport à la relation ≺.
•Si pour tout zde Eon a
x⊤z≺y⊤z
en prenant z=y, on obtient
x≺x⊤y≺y⊤y=y
donc
x≺y .

X 4
Proposition 4 La relation d’ordre ≺est totale, si et seulement si, pour tout couple (x, y)de
E×E, l’élément x⊤yappartient à {x, y}.
Dire que la relation d’ordre ≺est totale équivaut à dire que pour tout couple (x, y)de E×E, on a,
soit x≺y, soit y≺x, c’est-à-dire , soit x⊤y=y, soit y⊤x=x. Cela revient bien à dire que x⊤y
appartient à {x, y}.
Proposition 5 L’ensemble Epossède un plus petit élément pour la relation d’ordre ≺, si et
seulement si Epossède un élément neutre epour la loi ⊤. Le plus petit élément de Eest alors e.
Dire que pour tout xde Eon a e≺xrevient à dire que, pour tout xde E, on a e⊤x=x, c’est-à-
dire que eest l’élément neutre de Epour la loi ⊤.
Exemples
1) Soit Aun ensemble quelconque et E=P(A).
– A la relation d’ordre définie par
(a≺b)⇐⇒ (a⊂b)
est associée la loi ⊤définie par
a⊤b=a∪b .
– A la relation d’ordre définie par
(a≺b)⇐⇒ (a⊃b)
est associée la loi ⊤définie par
a⊤b=a∩b .
2) Soit E=N∗.
– A la relation d’ordre définie par
(a≺b)⇐⇒ (a|b)
est associée la loi ⊤définie par
a⊤b=PPCM(a, b).
– A la relation d’ordre définie par
(a≺b)⇐⇒ (b|a)
est associée la loi ⊤définie par
a⊤b=PGCD(a, b).
3) Soit Eun intervalle non vide de R.
– A la relation d’ordre totale définie par
(a≺b)⇐⇒ (a≤b)
est associée la loi ⊤définie par
a⊤b= max(a, b).

X 5
– A la relation d’ordre définie par
(a≺b)⇐⇒ (a≥b)
est associée la loi ⊤définie par
a⊤b= min(a, b).
Proposition 6 Soit Eun anneau commutatif pour les lois notées “+” et “·”, tel que, pour tout
xde Eon ait
x2=x .
Il existe une relation d’ordre ≺unique sur Etelle que
inf(x, y) = x·yet sup(x, y) = x+y−x·y .
Cette relation est compatible avec la multiplication. De plus
inf E= 0
et, si Eest unitaire
sup E= 1 .
Comme
x·x=x
la relation ≺1définie par
x·y=y
est la seule relation d’ordre définie sur Etelle que
sup
1
(x, y) = x·y .
cette relation est de plus compatible avec la loi “·”, et puisque 1est le neutre pour cette loi, on a
inf
1E= 1 .
Posons
x ⋆ y =x+y−x·y .
La loi ⋆est une loi de composition interne commutative sur E. On a
x ⋆ (y ⋆ z) = x+y+z−x·y−x·z−y·z+x·y·z= (x ⋆ y)⋆ z ,
et la loi est associative. De plus, pour tout xde E,
x ⋆ x =x .