Preuve du théorème des valeurs intermédiaires par la borne sup

Lycée du Parc PCSI 843
2012-2013
Preuve du théorème des valeurs
intermédiaires par la borne sup
Le but est donner une seconde démonstration du théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème :
Soient une fonction fcontinue sur un intervalle I,a < b ∈Iet yun réel compris entre f(a)
et f(b), alors il existe c∈[a, b]tel que f(c) = y.
Exercice
1. Soit Aune partie majorée de R, démontrer l’équivalence entre les trois assertions sui-
vantes :
(i) Mest la borne sup de A.
(ii) Mest un majorant de Aet pour tout ǫ > 0, il existe x∈A, tel que M−ǫ≤x≤M.
(iii) Mest un majorant de Aet il existe une suite und’éléments de Aqui converge vers
M.
2. Montrer que l’on peut supposer pour la démonstration du théorème des valeurs intermé-
diaires que f(a)< y < f (b). (penser éventuellement à poser g=−f)
3. On suppose f(a)< y < f(b). Soit
B={x;x∈[a, b]et f(x)< y}.
(a) Montrer que Best non vide majoré, on pose c= sup B.
(b) Montrer c6=b.
(c) Comparer f(x)et ypour x∈]c, b].
(d) Montrer que f(c) = y. (Penser à la caractérisation séquentielle de la continuité.)
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Corrigé :
1. Montrons que (ii) implique (i) :
Mest majorant de Aet sup Aest le plus petit des majorant donc sup A≤M. De plus,
pour tout ǫ > 0, il existe x∈A, tel que A−ǫ≤x≤A, on en déduit que pour tout ǫ > 0,
M−ǫ < sup A. Il en résulte que M≤sup A. On conclut donc sup A=M.
Montrons que (iii) implique (ii) :
Mest un majorant de Aet il existe une suite und’éléments de Aqui converge vers M.
On a donc pour tout ǫ > 0, il existe n0tel que si n≥n0alors |un−M| ≤ ǫ. On a donc
M−ǫ≤un0≤M+ǫ. Comme un0∈A, on a un0≤M. On conclut que M−ǫ≤un0≤M.
Montrons que (ii) implique (iii) :
Comme Mest un majorant de Aet que pour tout ǫ > 0, il existe x∈A, tel que
M−ǫ≤x≤M. On peut prendre ǫ=1
net lui associé un élément unde A, on a alors
|un−M| ≤ 1
n. On a donc bien lim
n
un=M.
Montrons que (i) implique (ii) :
Pour cela, montrons que non (ii) implique non (i) :
La négation de (ii) donne
Mn’est pas un majorant de Aou il existe ǫ > 0, tel que pour tout x∈A,
x6∈ [M−ǫ, M].
Si Mn’est pas un majorant, il n’est pas la borne sup.
On peut donc supposer que Mest un majorant de Aet il existe ǫ > 0, tel que pour tout
x∈A,x6∈ [M−ǫ, M].
On a donc pour tout x∈A,x≤Aet x6∈ [M−ǫ, A]. donc x < A −ǫ. On en déduit que
M−ǫest un majorant de A, donc Mn’est pas le plus petit des majorants.
2. Si f(a) = f(b), la seule valeur possible pour yest f(a)et le théorème des valeurs inter-
médiaires est vérifié en prenant c=a. Pour le cas f(a) = y, on prend c=a. Pour le
cas f(b) = y, on prend c=b. On peut donc supposer f(a), f (b)et ydistincts. Puis si
f(a)> f(b), on pose g=−fet alors g(a)< g(b)et −ycompris entre g(a)et g(b). On
démontre alors le théorème des valeurs intermédiaires pour g.
3. Soit
B={x;x∈[a, b]et f(x)< y}.
(a) Bcontient aet est majoré par b.
(b) Supposons que c=b, grâce à la caractérisation de la borne sup de la question 1,
il existe une suite unde Bqui converge vers bet pour tout entier n,f(un)< y.
Par passage à la limite comme fest continue en bon obtient f(b)≤y, ce qui est
contradictoire avec l’hypothèse y < f(b).
(c) Si x∈]c, b], alors x6∈ Bdonc y≤f(x). .
(d) Comme cest la borne sup de B, il existe une suite d’éléments unde Bqui converge
vers c. On a, pour tout entier n,f(un)< y et par passage à la limite comme f
continue en c f(c)≤y. Par passage à la limite à droite grâce à la question précédente,
on a par continuité de fen c,y≤f(c). On conclut donc bien que f(c) = y.
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