L`ensemble des nombres réels 1 Entiers, rationnels et réels

Université Pierre et Marie Curie
1M001
L’ensemble des nombres réels
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Entiers, rationnels et réels
N = {0, 1, . . .} est l’ensemble des entiers naturels.
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} est l’ensemble des entiers relatifs.
Q = { pq , p ∈ Z, q ∈ N∗ } est l’ensemble des nombres rationnels.
R est l’ensemble des nombres réels.
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Exemple: 41 = 0, 25, −2
3 = −0, 666 . . ., 6 = 0, 8333 . . ., 22 = 0, 13636 . . . sont des nombres rationnels.
On remarque que leur développement décimal devient périodique à partir d’un certain rang. En
fait, cette propriété les caractérise.
Proposition. Un nombre est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique
à partir d’un certain rang.
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On comprend bien pourquoi sur un exemple: prenons la fraction 22
. Pour trouver son développement
décimal, on fait la division euclidienne de 3 par 22. On trouve 3 = 0 × 22 + 3. Le nombre avant
la virgule est donc 0. Pour trouver le chiffre suivant, on multiplie le reste par 10 et on répète la
division. On trouve 30 = 1 × 22 + 8. Le chiffre suivant est donc 1 et le reste est 8. On recommence:
80 = 3 × 22 + 14, le chiffre suivant est donc 3 et le reste 14. Ensuite 140 = 6 × 22 + 8, le chiffre
suivant est donc 6 et le reste 8. A partir de là, la procédure fait une boucle, on retombe toujours
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sur les mêmes divisions 80 = 3 × 22 + 14 puis 140 = 6 × 22 + 8. On aura donc 22
= 0, 13636 . . . On
voit que la procédure fait une boucle dès que l’on retombe sur un reste que l’on a déjà obtenu, ici
le reste 8. Dans le cas général d’un nombre rationnel pq , on a q valeurs possibles pour le reste, à
savoir 0, . . . , q − 1. On est donc sûr qu’après au plus q + 1 étapes, un même reste aura été obtenu 2
fois. Par conséquent, le développement décimal deviendra périodique à partir du rang au plus q + 1.
Remarque 1. Il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels, on les appelle les irrationnels. Il suffit de prendre un nombre dont le développement décimal n’est pas périodique pour
obtenir un nombre irrationnel. En résumé, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, les inclusions étant strictes.
Remarque 2. Par contre, tout nombre réel x peut être approché par des nombres rationnels.
Il suffit de tronquer le développement décimal de x à un rang arbitrairement grand (plus le rang
sera grand, meilleure sera la précision). On dit que Q est ”dense” dans R. En particulier, tout
intervalle [x, y] avec x < y contient une infinité de nombres rationnels.
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√
Exemple.
Le
nombre
2 est irrationnel. En effet, raisonnons par l’absurde et supposons que
√
2 = p/q avec p et q entiers tels que la fraction p/q est irréductible. Alors p2 = 2q 2 . Donc p2 est
pair, donc p est pair (cf cours 0). On peut donc écrire p = 2k avec k entier. D’où p2 = 4k 2 puis
q 2 = 2k 2 . Ainsi q 2 est pair, donc q l’est aussi. La fraction p/q n’est donc pas irréductible ce qui est
une contradiction.
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L’ordre sur R
R est muni d’une relation d’ordre qui est l’inégalité ≤. Elle permet de comparer 2 nombres réels.
Si x, y ∈ R2 , on a soit x ≤ y soit y ≤ x: 2 nombres réels sont donc toujours comparables. On dit
que R est totalement ordonné.
Remarque. Pour montrer que x = y, on a juste à montrer que x ≤ y puis que y ≤ x. On le
fera souvent en pratique.
Définition. (Majorant/minorant) Soit A une partie de R.
(i) On dit que A est majorée s’il existe un nombre M tel que x ≤ M pour tout x ∈ A. M est appelé
un majorant de A.
(ii) On dit que A est minorée s’il existe un nombre m tel que x ≥ m pour tout x ∈ A. m est appelé
un minorant de A.
(iii) On dit que A est bornée si elle est majorée et minorée.
Exemple: ] − ∞; 10] est majorée mais pas minorée. De même pour ] − ∞; 10[. Pour ces 2 parties,
l’ensemble des majorants est [10; +∞[. La partie ] − 4; −3]∪] − 2; 5[ est bornée. L’ensemble de ses
majorants est [5; +∞[ et l’ensemble de ses minorants est ] − ∞; −4].
Définition. (Maximum/minimum). Soit A une partie de R.
(i) On dit que A admet un plus grand élément s’il existe a ∈ A tel que x ≤ a pour tout x ∈ A. On
dit que a est le maximum de A.
(ii) On dit que A admet un plus petit élément s’il existe a ∈ A tel que x ≥ a pour tout x ∈ A. On
dit que a est le minimum de A.
Remarque 1. Si une partie A admet un maximum (resp. un minimum), il est unique. Preuve.
Supposons que a et b soient des maxima de A. En particulier a ∈ A. Comme b est plus grand que
n’importe quel élément de A, on a b ≥ a. Par symétrie, a ≥ b. Donc a = b. On raisonne de même
pour le minimum. Exemple: ] − ∞; 10] admet 10 comme maximum. Par contre, ] − ∞; 10[ n’admet pas de maximum.
On voit donc que toute partie de R n’admet pas forcément un maximum ou un minimum. Dans
la partie ] − ∞; 10[, on pourra toujours trouver des nombres arbitrairement proches de 10, mais on
ne peut pas dire que 10 est un maximum car il n’appartient pas à la partie. On introduira alors le
concept de borne supérieure (cf ci-dessous).
Exemple 2. La partie Q ∩ [0, 1[ n’admet pas de maximum.
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Remarque 2. Toute partie non vide et majorée de N admet un maximum. Toute partie non
vide de N admet un minimum.
√
√
Application. On redémontre l’irrationnalité de 2. Soit S := {n ∈ N∗ : n 2 est entier }. On veut
montrer que S est l’ensemble vide. Supposons par l’absurde que ce n’est pas le cas.
√
(a) Justifier le fait que l’on peut trouver un plus petit entier k ≥ 1 tel que k 2 est entier.
√
(b) Montrer que dans ce cas, k( 2 − 1) est aussi un élément de S.
(c) En déduire une contradiction, puis que S est l’ensemble vide.
√
(d) En déduire l’irrationnalité de 2.
Définition. (i) Soit A une partie non-vide et majorée de R. On appelle borne supérieure de A le
plus petit majorant de A. On le note sup(A).
(ii) Soit A une partie non-vide et minorée de R. On appelle borne inférieure de A le plus grand
minorant de A. On le note inf(A).
Remarque 1. Cette définition est en fait aussi un théorème: il nous dit que l’ensemble des
majorants (resp. des minorants) admet un minimum (resp. un maximum), ce qui n’est pas trivial..
Remarque 2. L’ensemble des majorants d’une partie majorée A peut donc s’écrire [sup(A), +∞[.
Remarque 3. Pour montrer que a = sup(A), il suffit donc de montrer que a est un majorant
de A et que tout majorant de A est plus grand que a. De même, pour montrer que a = inf(A), on
montre que a est un minorant de A et que tout minorant de A est plus petit que a.
Remarque 4. Pour montrer que a = sup(A), on peut aussi montrer que a est un majorant de
A et que pour tout réel x < a, il existe un élément y ∈ A tel que y > x (Exercice: le montrer).
Exemple 1: Soit A une partie de R qui admet un maximum. Alors sup(A) = max(A). Preuve.
D’abord max(A) est un majorant de A car max(A) ≥ x pour tout x ∈ A par définition du maximum.
Soit maintenant un majorant M de A. Comme max(A) ∈ A, on a en particulier M ≥ max(A). On
a donc bien montré que max(A) est un majorant et qu’il est le plus petit. Exemple 2: Soit A une partie majorée et b ∈ R. Notons A + b = {x + b : x ∈ A}. Alors
sup(A + b) = sup(A) + b. Preuve. Soit x ∈ A. On a sup(A) ≥ x car sup(A) est un majorant.
Donc sup(A) + b ≥ x + b pour tout x ∈ A. Ainsi sup(A) + b est un majorant. Montrons que c’est
le plus petit majorant. Soit M un majorant de A + b. Alors M ≥ x + b pour tout x ∈ A. Donc
M − b ≥ x pour tout x ∈ A. Ainsi M − b est un majorant de A, donc M − b ≥ sup(A). On a donc
bien M ≥ sup(A) + b. Exemple 3: Soient A et B 2 parties majorées. Notons A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}. Montrer
que sup(A + B) = sup(A) + sup(B).
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Exemple 4: Soit A une partie minorée. Notons −A = {−x : x ∈ A}. Alors sup(−A) = − inf(A).
Preuve. On montre d’abord que − inf(A) est un majorant de −A. Soit x ∈ A. On a inf(A) ≤ x,
donc − inf(A) ≥ −x pour tout x ∈ A. Ainsi − inf(A) est un majorant de −A. Soit maintenant M
un majorant de −A. On a M ≥ −x pour tout x ∈ A. Donc −M ≤ x pour tout x ∈ A. Ainsi, −M
est un minorant de A, d’où −M ≤ inf(A), ce qui équivaut à M ≥ − inf(A). On a bien montré que
− inf(A) est le plus petit majorant de −A. 3
Valeur absolue
Définition. Pour tout x ∈ R, la valeur absolue de x est définie par |x| := max(−x, x).
Proposition. (i) |x| ≥ 0
(ii) |x| = 0 ⇔ x = 0
(iii) |xy| = |x||y|
(iv) |x + y| ≤ |x| + |y| (inégalité triangulaire)
Preuve. (i) Si x ≥ 0, on a |x| = x ≥ 0. Si x ≤ 0, on a |x| = −x ≥ 0. Dans tous les cas, |x| ≥ 0.
(ii) Si x = 0, on a |x| = 0. Réciproquement, supposons que |x| = 0. Comme |x| a pour valeur x ou
−x, on doit avoir x = 0 ou −x = 0. Dans tous les cas, x = 0.
(iii) Si x ≥ 0 et y ≥ 0, on a |xy| = xy, |x| = x et |y| = y, donc on a bien l’égalité. On raisonne de
la même façon pour les autres cas.
(iv) On a |x + y|2 = (x + y)2 = x2 + y 2 + 2xy ≤ x2 + y 2 + 2|x||y| = (|x| + |y|)2 . Remarque 1. |x| ≤ M ⇔ −M ≤ x ≤ M .
Remarque 2.
√
x2 = |x| (mais
√
x2 6= x).
Corollaire. Pour tous x, y ∈ R2 ,
||x| − |y|| ≤ |x − y|.
Preuve. On utilise l’inégalité triangulaire: |x| = |(x−y)+y| ≤ |x−y|+|y| donc |x|−|y| ≤ |x−y|.
En inversant les rôles de x et y, on obtient |y| − |x| ≤ |y − x| = |x − y|. D’où ||x| − |y|| ≤ |x − y|. Remarque. Le nombre |x − y| peut être vu comme la distance séparant les réels x et y.
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Partie entière
Définition. On appelle partie entière de x l’unique entier relatif n ∈ Z tel que n ≤ x < n + 1. On
le notera E(x).
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Intervalles
Définition. Un intervalle I est une partie de R telle que si x et y appartiennent à I, alors [x, y] ⊂ I.
Proposition. Tout intervalle a l’une des écritures suivantes:
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• [a; b]: intervalle fermé,
• ]a; b[: intervalle ouvert
• ]a; b] ou [a; b[: intervalles semi-ouverts
• ] − ∞; a], ] − ∞; a[,[a; ∞[,]a; ∞[, R : intervalles non bornés
Remarque. Une réunion d’intervalles n’est pas nécessairement un intervalle. Par exemple [−2; 5]∪
[7; 15] n’est pas un intervalle.
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Exercices
1. Montrer que le nombre
ln(3)
ln(2)
est irrationnel.
2. Montrer que
max(x, y) =
x + y + |x − y|
2
et
min(x, y) =
x + y − |x − y|
.
2
3. Résoudre |x − 7| < 5. Résoudre |x − 2| > 10.
4. Résoudre |x − 2| + |x − 3| = 1.
5. Soit A := {xy, x2 +y 2 ≤ 2}. Montrer que A possède une borne inférieure et une borne supérieure.
Les déterminer.
6. Calculer E(2x) − 2E(x). (Séparer deux cas).
7. Soit x < y deux réels.
a) Montrer qu’on peut trouver un rationnel np tel que x < np < y. (On pourra prendre n tel que
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n < |x − y|). En déduire que tout intervalle non vide de R contient une infinité de rationnels.
b) Montrer de même que tout
R contient une infinité d’irrationnels. (On
√ intervalle non vide de √
pourra trouver np tel que x < np 2 < y et vérifier que np 2 n’est pas rationnel).
8. Montrer que toute application croissante de [0; 1] dans [0; 1] admet un point fixe.
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Questions de cours
Développement décimal d’un rationnel; Q est dense dans R; majoration/minoration; maximum/minimum;
borne supérieure/inférieure; inégalité triangulaire; partie entière; définition d’un intervalle;
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