L`ensemble des nombres réels 1 Entiers, rationnels et réels

Universit´e Pierre et Marie Curie 1M001
L’ensemble des nombres r´eels
1 Entiers, rationnels et r´eels
N={0,1, . . .}est l’ensemble des entiers naturels.
Z={. . . , −2,−1,0,1,2, . . .}est l’ensemble des entiers relatifs.
Q={p
q, p ∈Z, q ∈N∗}est l’ensemble des nombres rationnels.
Rest l’ensemble des nombres r´eels.
Exemple:1
4= 0,25, −2 3=−0,666 . . .,5 6= 0,8333 . . .,3 22 = 0,13636 . . . sont des nombres rationnels.
On remarque que leur d´eveloppement d´ecimal devient p´eriodique `a partir d’un certain rang. En
fait, cette propri´et´e les caract´erise.
Proposition. Un nombre est rationnel si et seulement si son d´eveloppement d´ecimal est p´eriodique
`a partir d’un certain rang.
On comprend bien pourquoi sur un exemple: prenons la fraction 3
22 . Pour trouver son d´eveloppement
d´ecimal, on fait la division euclidienne de 3 par 22. On trouve 3 = 0 ×22 + 3. Le nombre avant
la virgule est donc 0. Pour trouver le chiffre suivant, on multiplie le reste par 10 et on r´ep`ete la
division. On trouve 30 = 1 ×22 + 8. Le chiffre suivant est donc 1 et le reste est 8. On recommence:
80 = 3 ×22 + 14, le chiffre suivant est donc 3 et le reste 14. Ensuite 140 = 6 ×22 + 8, le chiffre
suivant est donc 6 et le reste 8. A partir de l`a, la proc´edure fait une boucle, on retombe toujours
sur les mˆemes divisions 80 = 3 ×22 + 14 puis 140 = 6 ×22 + 8. On aura donc 3
22 = 0,13636 . . . On
voit que la proc´edure fait une boucle d`es que l’on retombe sur un reste que l’on a d´ej`a obtenu, ici
le reste 8. Dans le cas g´en´eral d’un nombre rationnel p
q, on a qvaleurs possibles pour le reste, `a
savoir 0, . . . , q −1. On est donc sˆur qu’apr`es au plus q+ 1 ´etapes, un mˆeme reste aura ´et´e obtenu 2
fois. Par cons´equent, le d´eveloppement d´ecimal deviendra p´eriodique `a partir du rang au plus q+1.
Remarque 1. Il existe des nombres r´eels qui ne sont pas rationnels, on les appelle les irra-
tionnels. Il suffit de prendre un nombre dont le d´eveloppement d´ecimal n’est pas p´eriodique pour
obtenir un nombre irrationnel. En r´esum´e, N⊂Z⊂Q⊂R, les inclusions ´etant strictes.
Remarque 2. Par contre, tout nombre r´eel xpeut ˆetre approch´e par des nombres rationnels.
Il suffit de tronquer le d´eveloppement d´ecimal de x`a un rang arbitrairement grand (plus le rang
sera grand, meilleure sera la pr´ecision). On dit que Qest ”dense” dans R. En particulier, tout
intervalle [x, y] avec x<ycontient une infinit´e de nombres rationnels.
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Exemple. Le nombre √2 est irrationnel. En effet, raisonnons par l’absurde et supposons que
√2 = p/q avec pet qentiers tels que la fraction p/q est irr´eductible. Alors p2= 2q2. Donc p2est
pair, donc pest pair (cf cours 0). On peut donc ´ecrire p= 2kavec kentier. D’o`u p2= 4k2puis
q2= 2k2. Ainsi q2est pair, donc ql’est aussi. La fraction p/q n’est donc pas irr´eductible ce qui est
une contradiction.
2 L’ordre sur R
Rest muni d’une relation d’ordre qui est l’in´egalit´e ≤. Elle permet de comparer 2 nombres r´eels.
Si x, y ∈R2, on a soit x≤ysoit y≤x: 2 nombres r´eels sont donc toujours comparables. On dit
que Rest totalement ordonn´e.
Remarque. Pour montrer que x=y, on a juste `a montrer que x≤ypuis que y≤x. On le
fera souvent en pratique.
D´efinition. (Majorant/minorant) Soit Aune partie de R.
(i) On dit que Aest major´ee s’il existe un nombre Mtel que x≤Mpour tout x∈A.Mest appel´e
un majorant de A.
(ii) On dit que Aest minor´ee s’il existe un nombre mtel que x≥mpour tout x∈A.mest appel´e
un minorant de A.
(iii) On dit que Aest born´ee si elle est major´ee et minor´ee.
Exemple: ] − ∞; 10] est major´ee mais pas minor´ee. De mˆeme pour ] − ∞; 10[. Pour ces 2 parties,
l’ensemble des majorants est [10; +∞[. La partie ] −4; −3]∪]−2; 5[ est born´ee. L’ensemble de ses
majorants est [5; +∞[ et l’ensemble de ses minorants est ] − ∞;−4].
D´efinition. (Maximum/minimum). Soit Aune partie de R.
(i) On dit que Aadmet un plus grand ´el´ement s’il existe a∈Atel que x≤apour tout x∈A. On
dit que aest le maximum de A.
(ii) On dit que Aadmet un plus petit ´el´ement s’il existe a∈Atel que x≥apour tout x∈A. On
dit que aest le minimum de A.
Remarque 1. Si une partie Aadmet un maximum (resp. un minimum), il est unique. Preuve.
Supposons que aet bsoient des maxima de A. En particulier a∈A. Comme best plus grand que
n’importe quel ´el´ement de A, on a b≥a. Par sym´etrie, a≥b. Donc a=b. On raisonne de mˆeme
pour le minimum. 
Exemple: ] −∞; 10] admet 10 comme maximum. Par contre, ] −∞; 10[ n’admet pas de maximum.
On voit donc que toute partie de Rn’admet pas forc´ement un maximum ou un minimum. Dans
la partie ] −∞; 10[, on pourra toujours trouver des nombres arbitrairement proches de 10, mais on
ne peut pas dire que 10 est un maximum car il n’appartient pas `a la partie. On introduira alors le
concept de borne sup´erieure (cf ci-dessous).
Exemple 2. La partie Q∩[0,1[ n’admet pas de maximum.
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Remarque 2. Toute partie non vide et major´ee de Nadmet un maximum. Toute partie non
vide de Nadmet un minimum.
Application. On red´emontre l’irrationnalit´e de √2. Soit S:= {n∈N∗:n√2 est entier }. On veut
montrer que Sest l’ensemble vide. Supposons par l’absurde que ce n’est pas le cas.
(a) Justifier le fait que l’on peut trouver un plus petit entier k≥1 tel que k√2 est entier.
(b) Montrer que dans ce cas, k(√2−1) est aussi un ´el´ement de S.
(c) En d´eduire une contradiction, puis que Sest l’ensemble vide.
(d) En d´eduire l’irrationnalit´e de √2.
D´efinition. (i) Soit Aune partie non-vide et major´ee de R. On appelle borne sup´erieure de Ale
plus petit majorant de A. On le note sup(A).
(ii) Soit Aune partie non-vide et minor´ee de R. On appelle borne inf´erieure de Ale plus grand
minorant de A. On le note inf(A).
Remarque 1. Cette d´efinition est en fait aussi un th´eor`eme: il nous dit que l’ensemble des
majorants (resp. des minorants) admet un minimum (resp. un maximum), ce qui n’est pas trivial..
Remarque 2. L’ensemble des majorants d’une partie major´ee Apeut donc s’´ecrire [sup(A),+∞[.
Remarque 3. Pour montrer que a= sup(A), il suffit donc de montrer que aest un majorant
de Aet que tout majorant de Aest plus grand que a. De mˆeme, pour montrer que a= inf(A), on
montre que aest un minorant de Aet que tout minorant de Aest plus petit que a.
Remarque 4. Pour montrer que a= sup(A), on peut aussi montrer que aest un majorant de
Aet que pour tout r´eel x<a, il existe un ´el´ement y∈Atel que y > x (Exercice: le montrer).
Exemple 1: Soit Aune partie de Rqui admet un maximum. Alors sup(A) = max(A). Preuve.
D’abord max(A) est un majorant de A car max(A)≥xpour tout x∈Apar d´efinition du maximum.
Soit maintenant un majorant Mde A. Comme max(A)∈A, on a en particulier M≥max(A). On
a donc bien montr´e que max(A) est un majorant et qu’il est le plus petit. 
Exemple 2: Soit Aune partie major´ee et b∈R. Notons A+b={x+b:x∈A}. Alors
sup(A+b) = sup(A) + b.Preuve. Soit x∈A. On a sup(A)≥xcar sup(A) est un majorant.
Donc sup(A) + b≥x+bpour tout x∈A. Ainsi sup(A) + best un majorant. Montrons que c’est
le plus petit majorant. Soit Mun majorant de A+b. Alors M≥x+bpour tout x∈A. Donc
M−b≥xpour tout x∈A. Ainsi M−best un majorant de A, donc M−b≥sup(A). On a donc
bien M≥sup(A) + b.
Exemple 3: Soient Aet B2 parties major´ees. Notons A+B={a+b:a∈A, b ∈B}. Montrer
que sup(A+B) = sup(A) + sup(B).
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Exemple 4: Soit Aune partie minor´ee. Notons −A={−x:x∈A}. Alors sup(−A) = −inf(A).
Preuve. On montre d’abord que −inf(A) est un majorant de −A. Soit x∈A. On a inf(A)≤x,
donc −inf(A)≥ −xpour tout x∈A. Ainsi −inf(A) est un majorant de −A. Soit maintenant M
un majorant de −A. On a M≥ −xpour tout x∈A. Donc −M≤xpour tout x∈A. Ainsi, −M
est un minorant de A, d’o`u −M≤inf(A), ce qui ´equivaut `a M≥ −inf(A). On a bien montr´e que
−inf(A) est le plus petit majorant de −A.
3 Valeur absolue
D´efinition. Pour tout x∈R, la valeur absolue de xest d´efinie par |x|:= max(−x, x).
Proposition. (i) |x| ≥ 0
(ii) |x|= 0 ⇔x= 0
(iii) |xy|=|x||y|
(iv) |x+y|≤|x|+|y|(in´egalit´e triangulaire)
Preuve. (i) Si x≥0, on a |x|=x≥0. Si x≤0, on a |x|=−x≥0. Dans tous les cas, |x| ≥ 0.
(ii) Si x= 0, on a |x|= 0. R´eciproquement, supposons que |x|= 0. Comme |x|a pour valeur xou
−x, on doit avoir x= 0 ou −x= 0. Dans tous les cas, x= 0.
(iii) Si x≥0 et y≥0, on a |xy|=xy,|x|=xet |y|=y, donc on a bien l’´egalit´e. On raisonne de
la mˆeme fa¸con pour les autres cas.
(iv) On a |x+y|2= (x+y)2=x2+y2+ 2xy ≤x2+y2+ 2|x||y|= (|x|+|y|)2.
Remarque 1.|x| ≤ M⇔ −M≤x≤M.
Remarque 2.√x2=|x|(mais √x26=x).
Corollaire. Pour tous x, y ∈R2,
||x|−|y|| ≤ |x−y|.
Preuve. On utilise l’in´egalit´e triangulaire: |x|=|(x−y)+y|≤|x−y|+|y|donc |x|−|y| ≤ |x−y|.
En inversant les rˆoles de xet y, on obtient |y|−|x| ≤ |y−x|=|x−y|. D’o`u ||x|−|y|| ≤ |x−y|.
Remarque. Le nombre |x−y|peut ˆetre vu comme la distance s´eparant les r´eels xet y.
4 Partie enti`ere
D´efinition. On appelle partie enti`ere de xl’unique entier relatif n∈Ztel que n≤x<n+ 1. On
le notera E(x).
5 Intervalles
D´efinition. Un intervalle Iest une partie de Rtelle que si xet yappartiennent `a I, alors [x, y]⊂I.
Proposition. Tout intervalle a l’une des ´ecritures suivantes:
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•[a;b]: intervalle ferm´e,
•]a;b[: intervalle ouvert
•]a;b]ou [a;b[: intervalles semi-ouverts
•]− ∞;a],]− ∞;a[,[a;∞[,]a;∞[,R: intervalles non born´es
Remarque. Une r´eunion d’intervalles n’est pas n´ecessairement un intervalle. Par exemple [−2; 5]∪
[7; 15] n’est pas un intervalle.
6 Exercices
1. Montrer que le nombre ln(3)
ln(2) est irrationnel.
2. Montrer que
max(x, y) = x+y+|x−y|
2et min(x, y) = x+y− |x−y| 2.
3. R´esoudre |x−7|<5. R´esoudre |x−2|>10.
4. R´esoudre |x−2|+|x−3|= 1.
5. Soit A:= {xy, x2+y2≤2}. Montrer que Aposs`ede une borne inf´erieure et une borne sup´erieure.
Les d´eterminer.
6. Calculer E(2x)−2E(x). (S´eparer deux cas).
7. Soit x<ydeux r´eels.
a) Montrer qu’on peut trouver un rationnel p
ntel que x < p n< y. (On pourra prendre ntel que
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n<|x−y|). En d´eduire que tout intervalle non vide de Rcontient une infinit´e de rationnels.
b) Montrer de mˆeme que tout intervalle non vide de Rcontient une infinit´e d’irrationnels. (On
pourra trouver p
ntel que x < p n√2< y et v´erifier que p n√2 n’est pas rationnel).
8. Montrer que toute application croissante de [0; 1] dans [0; 1] admet un point fixe.
7 Questions de cours
D´eveloppement d´ecimal d’un rationnel; Qest dense dans R; majoration/minoration; maximum/minimum;
borne sup´erieure/inf´erieure; in´egalit´e triangulaire; partie enti`ere; d´efinition d’un intervalle;
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