PCSI1Résumé de cours 2016-2017
LES RÉELS
I - Les ensembles de nombres
Définitions : on note
={0,1,2,3,4,⋅ ⋅ ⋅ } l’ensemble des nombres entiers naturels.
={⋅ ⋅ ⋅ ,3,2,1,0,1,2,3,4,⋅ ⋅ ⋅ } l’ensemble des nombres entiers relatifs.
𝔻= l’ensemble des nombres décimaux avec : (𝑥𝔻)(𝑛,10𝑛𝑥).
C’est l’ensemble des nombres de la forme 𝑎
10𝑛, où 𝑎et 𝑛.
= l’ensemble des nombres rationnels.
C’est l’ensemble des nombres de la forme 𝑎
𝑏, où 𝑎et 𝑏=− {0}.
= l’ensemble des nombres réels. Remarque : = l’ensembles des irrationnels.
On a les inclusions (strictes) : 𝔻.
Remarque : on note =∪ {−∞,+∞}.
II - Relation d’ordre dans
1) relation d’ordre total dans
est ordonné : est muni d’une relation d’ordre total, noté . Ceci signifie :
pour tout (𝑎, 𝑏)2, on a soit 𝑎𝑏, soit 𝑏𝑎(ordre total)
pour tout 𝑎, on a 𝑎𝑎(réflexivité)
pour tout (𝑎, 𝑏)2, si 𝑎𝑏et 𝑏𝑎, alors 𝑎=𝑏(antisymétrie)
pour tout (𝑎, 𝑏, 𝑐)3, si 𝑎𝑏et 𝑏𝑐, alors 𝑎𝑐(transitivité)
Remarque : bien entendu, on définit 𝑦𝑥lorsque 𝑥𝑦, et 𝑎<𝑏lorsque 𝑎𝑏et 𝑎=𝑏.
2) parties majorées/minorées dans
Définitions-propositions : soit 𝐴, une partie non vide de , i.e 𝐴et 𝐴=.
On a 𝐴∈ 𝒫(), où 𝒫()désigne l’ensemble des parties de (l’ensemble des sous-ensembles de ).
un réel 𝑀est un majorant de l’ensemble 𝐴si : 𝑎𝐴,𝑎𝑀.
un réel 𝑚est un minorant de l’ensemble 𝐴si : 𝑎𝐴,𝑚𝑎.
𝐴est une partie majorée s’il existe un majorant de 𝐴, (i.e) si : 𝑀,𝑎𝐴,𝑎𝑀.
𝐴est une partie minorée s’il existe un minorant de 𝐴, (i.e) si : 𝑚,𝑎𝐴,𝑚𝑎.
𝐴est une partie bornée s’il existe 𝐾+tel que : 𝑎𝐴,𝑎𝐾.
On a l’équivalence : (𝐴est bornée) (𝐴est majorée et minorée).
s’il existe un majorant 𝑀de 𝐴qui appartient à 𝐴, alors celui-ci est unique.
On l’appelle le maximum de 𝐴, et on le note max(𝐴). On a donc l’équivalence :
(𝑀= max(𝐴))(𝑀est un majorant de 𝐴et 𝑀𝐴) .
s’il existe un minorant 𝑚de 𝐴qui appartient à 𝐴, alors celui-ci est unique.
On l’appelle le minimum de 𝐴, et on le note min(𝐴). On a donc l’équivalence :
(𝑚= min(𝐴))(𝑚est un minorant de 𝐴et 𝑚𝐴) .
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3) borne supérieure/inférieure d’une partie de
Définitions-propositions : soit 𝐴, une partie non vide de , i.e 𝐴et 𝐴=.
Si 𝐴est majorée et si elle existe, on appelle borne supérieure de 𝐴le plus petit des
majorants de 𝐴, i.e le minimum des majorants de 𝐴.
On la note sup(𝐴). On a donc l’équivalence :
𝑆= sup(𝐴){𝑆est un majorant de 𝐴
𝑆est le plus petit (le minimum) des majorants de 𝐴
ou encore
𝑆= sup(𝐴){𝑎𝐴, 𝑎 𝑆
si 𝑀est un majorant de 𝐴, alors 𝑆𝑀
ou encore
𝑆= sup(𝐴){𝑎𝐴, 𝑎 𝑆
si 𝑀0< 𝑆 alors 𝑀0n’est pas un majorant de 𝐴
ou encore
𝑆= sup(𝐴){𝑎𝐴, 𝑎 𝑆
𝜀 > 0, 𝑆 𝜀n’est pas un majorant de 𝐴
ou encore
𝑆= sup(𝐴){𝑎𝐴, 𝑎 𝑆
𝜀 > 0,𝑎0𝐴, 𝑆 𝜀 < 𝑎0𝑆
Ainsi, pour prouver 𝑠= sup(𝐴), il faut et il suffit de prouver
𝑠est un majorant de 𝐴:𝑎𝐴,𝑎𝑠.
𝑠est le plus petit des majorants, autrement dit : si 𝑀0< 𝑠, alors 𝑀0n’est pas un majorant
de 𝐴, (i.e) il existe au moins un 𝑎𝐴tel que 𝑀0< 𝑎.
Remarque : si une partie 𝐴admet un maximum 𝑀=Max(𝐴), alors elle admet une borne
supérieure et Sup(𝐴) = 𝑀.
Complément : caractérisation séquentielle de la borne supérieure
On montrera cette caractérisation dans un prochain chapitre :
𝑆= sup(𝐴){𝑆est un majorant de 𝐴
il existe une suite (𝑢𝑛)d’éléments de 𝐴qui converge vers 𝑆.
Si 𝐴est minorée et si elle existe, on appelle borne inférieure de 𝐴le plus grand des
minorants de 𝐴, i.e le maximum des minorants de 𝐴.
On la note inf(𝐴). On a donc l’équivalence :
𝐼= inf(𝐴){𝐼est un minorant de 𝐴
𝐼est le plus grand (le maximum) des minorants de 𝐴
ou encore
𝐼= inf(𝐴){𝑎𝐴, 𝐼 𝑎
si 𝑚est un minorant de 𝐴, alors 𝑚𝐼
ou encore
𝐼= inf(𝐴){𝑎𝐴, 𝐼 𝑎
si 𝑚0> 𝐼 alors 𝑚0n’est pas un minorant de 𝐴
ou encore
𝐼= inf(𝐴){𝑎𝐴, 𝐼 𝑎
𝜀 > 0, 𝐼 +𝜀n’est pas un minorant de 𝐴
ou encore
𝐼= inf(𝐴){𝑎𝐴, 𝐼 𝑎
𝜀 > 0,𝑎0𝐴, 𝐼 𝑎0< 𝐼 +𝜀
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Bien entendu, on a également :
𝑆= inf(𝐴){𝑆est un minorant de 𝐴
il existe une suite (𝑢𝑛)d’éléments de 𝐴qui converge vers 𝑆.
4) propriété fondamentale de
Propriété essentielle (admise) :possède la propriété de la borne supérieure.
Autrement dit :
« Toute partie non vide et majorée de possède une borne supérieure ».
Ainsi : si 𝐴,𝐴=et 𝐴majorée (par 𝑀), alors sup(𝐴)existe (et sup(𝐴)𝑀) .
On en déduit facilement le résultat suivant, concernant l’existence de bornes inférieures :
« Toute partie non vide et minorée de possède une borne inférieure ».
Ainsi : si 𝐴,𝐴=et 𝐴minorée (par 𝑚), alors inf(𝐴)existe (et inf(𝐴)𝑚) .
III - Rappels : la valeur absolue
Pour tout réel 𝑥, la valeur absolue de 𝑥est : 𝑥=d(0, 𝑥) = {+𝑥si 0𝑥
𝑥si 𝑥0.
Rappels : pour tous 𝑥, 𝑦
∙ ∣𝑥∣−∣𝑦𝑥+𝑦𝑥+𝑦(double inégalité triangulaire)
∣ ∣𝑥∣−∣𝑦∣ ∣ 𝑥±𝑦𝑥+𝑦(généralisation)
(𝑥+𝑦=𝑥+𝑦)(0𝑥𝑦 (i.e) 𝑥et 𝑦ont le même signe ) (cas d’égalité)
Remarque : max(𝑥, 𝑦) = max{𝑥, 𝑦}=𝑥+𝑦+𝑥𝑦
2et min(𝑥, 𝑦) = min{𝑥, 𝑦}=𝑥+𝑦− ∣𝑥𝑦
2.
IV - La partie entière
Définition : pour tout réel 𝑥, on appelle
partie entière de 𝑥=le plus grand entier relatif qui est inférieur ou égal à 𝑥.
On le note 𝑥.
Conséquence : si 𝑚est un entier et 𝑥un réel, on a : (𝑚𝑥)(𝑚𝑥).
Caractérisation :𝑝=𝑥⌋ ⇔ (𝑝
𝑝𝑥 < 𝑝 + 1 ).
Propriétés :
∙ ∀𝑥,𝑥𝑥 < 𝑥+ 1 et 𝑥1<𝑥𝑥.
(𝑥=𝑥)(𝑥)
la fonction «partie entière» (𝑥7→ ⌊𝑥) est croissante sur .
∙ ∀𝑥,𝑛,𝑥+𝑛=𝑥+𝑛.
la fonction 𝐹:𝑥7→ 𝐹(𝑥) = 𝑥− ⌊𝑥est 1périodique sur , à valeurs dans [0,1[.
Pour tout réel 𝑥, on peut écrire 𝑥=𝑥+𝐹(𝑥)𝐹(𝑥)[0,1[ (partie fractionnaire de 𝑥).
∙ ∀𝑥,𝑛,𝑛𝑥𝑛𝑥.
∙ ⌊𝑥⌋ ∼
±∞ 𝑥.
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V - Approximations décimales d’un réel
Proposition : pour tout réel 𝑥, il existe deux suites de nombres décimaux (donc de rationnels
car 𝔻)𝑢= (𝑢𝑛)𝑛0et 𝑣= (𝑣𝑛)𝑛0telles que : 𝑛,𝑢𝑛𝑥𝑣𝑛avec 𝑣𝑛𝑢𝑛10𝑛.
Ainsi, à 𝑛fixé,
𝑢𝑛est une approximation décimale du réel 𝑥à10𝑛par défaut (car 𝑢𝑛𝑥𝑢𝑛+ 10𝑛)
𝑣𝑛est une approximation décimale du réel 𝑥à10𝑛par excès (car 𝑣𝑛10𝑛𝑥𝑣𝑛).
Un exemple : pour tout 𝑥réel, on définit 𝑢𝑛=10𝑛𝑥
10𝑛et 𝑣𝑛=10𝑛𝑥+ 1
10𝑛(nombres décimaux).
On a : 𝑛,𝑣𝑛𝑢𝑛= 10𝑛et 𝑢𝑛𝑥𝑣𝑛. On montre : la suite 𝑢est croissante, la suite 𝑣
décroissante, et lim
𝑛+(𝑢𝑛𝑣𝑛)=0, donc les deux suites sont adjacentes, et convergent vers 𝑥.
Conséquence : entre deux réels distincts, il y a au moins un nombre rationnel (et au moins un nombre
irrationnel). Ce qui permet d’en déduire : entre deux réels distincts, il y a une infinité de nombres
rationnels (et une infinité de nombres irrationnels).
Autre conséquence : pour tout réel 𝑥,
il existe une suite 𝑟= (𝑟𝑛)𝑛de rationnels qui converge vers 𝑥:
𝑛,𝑟𝑛et lim
𝑛+(𝑟𝑛) = 𝑥.
il existe une suite 𝑖= (𝑖𝑛)𝑛d’irrationnels qui converge vers 𝑥:
𝑛,𝑖𝑛et lim
𝑛+(𝑖𝑛) = 𝑥.
VI - Intervalles de
Définition : si 𝑎et 𝑏sont deux réels , alors on définit le segment [𝑎, 𝑏]comme l’ensemble des réels
𝑥vérifiant 𝑎𝑥𝑏. Ainsi :
[𝑎, 𝑏] = {𝑥𝑎𝑥𝑏}.
Remarque : [𝑎, 𝑏]est donc l’ensemble des nombres 𝑚𝜆de la forme
𝑚𝜆=𝑎+𝜆(𝑏𝑎) = (1 𝜆)𝑎+𝜆𝑏, avec 𝜆parcourant [0,1].
Par conséquent : [𝑎, 𝑏] = {𝑚𝜆= (1 𝜆)𝑎+𝜆𝑏 𝜆[0,1]}.
Définition des intervalles par la convexité :
une partie 𝑋de est un intervalle si, pour tous 𝑎et 𝑏dans 𝑋, on a [𝑎, 𝑏]𝑋.
Ainsi :
(𝑋est un intervalle) ssi ((𝑎, 𝑏)𝑋2,𝜆[0,1] :(1 𝜆)𝑎+𝜆𝑏 𝑋).
Catalogue : voici le catalogue des intervalles de (𝑎et 𝑏désignent deux réels vérifiant 𝑎𝑏).
Intervalles fermés :
[𝑎, 𝑏] = {𝑥𝑎𝑥𝑏}(segment) [𝑎, +[= {𝑥𝑎𝑥} ]− ∞, 𝑏] = {𝑥𝑥𝑏}
Intervalles ouverts (ici, nécessairement 𝑎 < 𝑏) :
]𝑎, 𝑏[= {𝑥𝑎<𝑥<𝑏} ]𝑎, +[= {𝑥𝑎 < 𝑥} ]− ∞, 𝑏[= {𝑥𝑥 < 𝑏}
Intervalles ni ouverts, ni fermés (ici, nécessairement 𝑎<𝑏) :
[𝑎, 𝑏[= {𝑥𝑎𝑥<𝑏} ]𝑎, 𝑏] = {𝑥𝑎 < 𝑥 𝑏}
Intervalles ouverts et fermés :
l’ensemble vide l’ensemble des réels =] − ∞,+[
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