serie de TD alg - structures algebriques

UMMTO. Faculté des sciences. Département ST/SM. Module d’algèbre . Année : 2013-2014
Série de TD 2— Structures algébriques
Exercice 1.
L’application suivante : :
,
→
=
−
est-elle une loi interne sur ℕ? sur ℝ?
Est-elle associative ? Commutative ? Admet-elle un élément neutre ?
Exercice 2.
On définit une loi de composition interne ∗ sur ℝ par
∀ ,
∈ℝ , ∗
= ln
+
1. Etudier la commutativité, l’associativité et l’élément neutre, éléments symétriques
de ∗.
2.
admet-il un symétrique dans ℝ?
Exercice 3.
On définit une loi interne∆ sur [0,1] par :
∀ ,
•
•
•
•
∈ [0,1], ∆ =
+
−
Montrer que ∆ est une loi de composition interne
Est-elle commutative ? associative ?
Montrer que ∆ possède un élément neutre.
Quels sont les éléments symétrisables ?
Exercice 4.
Soit ℾ la partie de ℝ définie par :
ℾ=
+ !√2,
,! ∈ ℚ %
1. Monter que ℾ est un sous groupe de ℝ, +
2. Monter que ℾ est un sous groupe de ℝ∗ ,×
Exercice 5. (Addition des vitesses en théorie de la relativité)
Soit ' > 0 (' correspond à la vitesse de la lumière) et ) = ]−', '[.
a) Montrer que la loi ∗ définie par :
∀ ,
∈) , ∗
=
+
1 + *+
Est une loi interne.
b) Monter que ),∗ est un groupe commutatif.
1
Les cours et les séries de TD sont disponibles sur les sites suivants :
www.science-des-mathematiques.cd.st/ ou www.maths.96.lt/
UMMTO. Faculté des sciences. Département ST/SM. Module d’algèbre . Année : 2013-2014
Exercice 6.
Soit ∗ la loi interne définie sur ℝ par
∀ ,
∈ℝ , ∗
,
=
+
-
, .
.
1. Montrer que ( ℝ,∗ est un groupe commutatif.
2. Montrer que , réalise un isomorphisme de (ℝ,∗ dans (ℝ, + .
Exercice 7.
Sur ℝ, on définit
1.
∗
= /1 +
+ √1 +
.
Montrer que ℝ,∗ est un groupe commutatif.
2. Monter que 0
=
1 2 31 42
realise un isomorphisme de ℝ, + vers ℝ,∗
Exercice 8.
Soient ∗ et ⊤ deux lois internes définies dans ℝ comme suit :
∀ ,
∈ℝ , ∗
∀ ,
∈ℝ , ⊤ =
=
+
−1
+
−
ℝ,∗, ⊤ est-il un anneau commutatif ? est-il un corps ?
Exercice 9 (laisser aux lecteurs).
On définit une loi interne ∗ sur ℝ − {1} par :
∀ ,
∈ ℝ − {1}, ∗
=
+
−
Monter que ℝ − {1},∗ est un groupe commutatif ?
Résoudre les équations suivantes ∗ = −2, ∀ ∈ ℝ,
On definit l’application 8
= 1 − . Démontrer que 8 realise un isomorphisme de
groupes de ℝ − {1},∗ vers ℝ∗ ,×
Utiliser la question précédente pour calculer
et B un entier.
9>?@A
9
;=, pour
= :;
∗;;<;
∗. .;.∗
∈ ℝ − {1}
Exercice 10 (laisser aux lecteurs).
Soit C = ℝ∗ × ℝ et ∗ la loi dans C definie par
,
∗
D
,
D
=
D
,
a. Montrer que C,∗ est un groupe non commutatif
b. Montrer que ]0, +∞[ × ℝ,∗ est un sous groupe de C,∗
2
Les cours et les séries de TD sont disponibles sur les sites suivants :
www.science-des-mathematiques.cd.st/ ou www.maths.96.lt/
D
+