serie de TD alg - structures algebriques

Les cours et les séries de TD sont disponibles sur les sites suivants :
www.science-des-mathematiques.cd.st/ ou www.maths.96.lt/
UMMTO. Faculté des sciences. Département ST/SM. Module d’algèbre . Année : 2013-2014
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Série de TD 2— Structures algébriques
Exercice 1.
L’application suivante :         est-elle une loi interne sur  sur 
Est-elle associative ? Commutative ? Admet-elle un élément neutre ?
Exercice 2.
On définit une loi de composition interne  sur  par
1. Etudier la commutativité, l’associativité et l’élément neutre, éléments symétriques
de 
2.  admet-il un symétrique dans 
Exercice 3.
On définit une loi interne ∆ sur  par :
∆
• Montrer que ∆  est une loi de composition interne
• Est-elle commutative ? associative ?
• Montrer que ∆ possède un élément neutre.
• Quels sont les éléments symétrisables ?
Exercice 4.
Soit  la partie de  définie par :
    !"#   ! $
%
1. Monter que  est un sous groupe de  
2. Monter que  est un sous groupe de  &
Exercice 5. (Addition des vitesses en théorie de la relativité)
Soit ' (  (' correspond à la vitesse de la lumière) et )  ' '
a) Montrer que la loi  définie par :
  )
*
+
Est une loi interne.
b) Monter que ) est un groupe commutatif.

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Exercice 6.
Soit  la loi interne définie sur  par
, ,
-
.
1. Montrer que (  est un groupe commutatif.
2. Montrer que 
,
réalise un isomorphisme de ( dans (
Exercice 7.
Sur , on définit     /    "  
1. Montrer que  est un groupe commutatif.
2. Monter que 0
1
2
31
42
realise un isomorphisme de   vers 
Exercice 8.
Soient  et 5 deux lois internes définies dans  comme suit :
5      
 5 est-il un anneau commutatif ? est-il un corps ?
Exercice 9 (laisser aux lecteurs).
On définit une loi interne  sur   67 par :
     67        
 Monter que   67 est un groupe commutatif ?
 Résoudre les équations suivantes     #   ,
 On definit l’application 8    Démontrer que 8 realise un isomorphisme de
groupes de   67 vers  &
 Utiliser la question précédente pour calculer 
9
:
;
;
;
<
;
;
;
=
9>?@A
, pour     67
et B un entier.
Exercice 10 (laisser aux lecteurs).
Soit C   &  et  la loi dans C definie par  
D D D D
a. Montrer que C est un groupe non commutatif
b. Montrer que E&  est un sous groupe de C