Introduction `a l`analyse Exercices 4 1. Pour chacun des sous

Introduction ` a l’analyse
Exercices 4
1. Pour chacun des sous-ensembles de Rsuivants d´eterminer s’il est minor´e et s’il est
major´e. Quand ils existent, d´eterminer la borne sup´erieure et la borne inf´erieure.
(a) {x∈R:|x2−2|<1}
(b) (−1)n
2n+ 1 :n∈N
(c) 1 + (−1)n
n:n∈N
(d) {xy :x, y ∈Ret |x|+|y| ≤ 1}
2. Soit Eun ensemble minor´e. D´efinissons
E′:= {−x:x∈E}.
V´erifier que E′est major´e et montrer au moyen de la d´efinition que
−sup E′= inf E.
Remarque: l’axiome de compl´etude dit que tout ensemble major´e de Rposs`ede une
borne sup´erieure dans R. Ainsi, par (a), on peut affirmer que tout ensemble minor´e de
Rposs`ede une borne inf´erieure dans R.
3. On suppose que Aet Bsont deux ensembles de nombres r´eels.
(a) Montrer que si Aet Bsont major´es, alors A∪Best major´e. Exprimer sup A∪B
en termes de sup Aet sup B.
(b) Montrer que si Aet Bsont major´es, alors, s’il est non vide, l’ensemble A∩Best
major´e. Que peut-on dire de sup A∩B?
4. Si Aet Bsont des ensembles major´es, peut-on dire que l’ensemble AB := {ab :a∈
A, b ∈B}est major´e? Sinon, peut-on ajouter une hypoth`ese qui assurera que AB est
major´e?