Introduction à l’analyse Exercices 4 1. Pour chacun des sous-ensembles de R suivants déterminer s’il est minoré et s’il est majoré. Quand ils existent, déterminer la borne supérieure et la borne inférieure. (a) {x ∈ R : |x2 − 2| < 1} (−1)n (b) :n∈N 2n + 1 (−1)n :n∈N (c) 1 + n (d) {xy : x, y ∈ R et |x| + |y| ≤ 1} 2. Soit E un ensemble minoré. Définissons E ′ := {−x : x ∈ E}. Vérifier que E ′ est majoré et montrer au moyen de la définition que − sup E ′ = inf E. Remarque: l’axiome de complétude dit que tout ensemble majoré de R possède une borne supérieure dans R. Ainsi, par (a), on peut affirmer que tout ensemble minoré de R possède une borne inférieure dans R. 3. On suppose que A et B sont deux ensembles de nombres réels. (a) Montrer que si A et B sont majorés, alors A ∪ B est majoré. Exprimer sup A ∪ B en termes de sup A et sup B. (b) Montrer que si A et B sont majorés, alors, s’il est non vide, l’ensemble A ∩ B est majoré. Que peut-on dire de sup A ∩ B? 4. Si A et B sont des ensembles majorés, peut-on dire que l’ensemble AB := {ab : a ∈ A, b ∈ B} est majoré? Sinon, peut-on ajouter une hypothèse qui assurera que AB est majoré?