Devoir en temps libre no.1

Cycle Préparatoire Polytechnique 2ème année
Devoir de Mathématiques n˚1
Cours : Espaces Vectoriels Normés
à remettre le mercredi 14 février 2007
Consignes : veillez à apporter un soin particulier à la présentation de votre
copie. Soignez également la rédaction des réponses, n’oubliez pas de quantifier.
Tout résultat, même juste, ne se verra attribuer aucun point s’il n’est pas justifié.
Bon courage !
EXERCICE I
On définit l’application Npar :
N:R2−→ R
(x, y)7−→ sup
t∈R|x+ty|
1 + t2.
1. Vérifier que Nest définie sur R2tout entier et que Nest une norme.
2. On veut démontrer que Nest une norme, équivalente à la norme euclidienne k.k2.
(a) Vérifier que : ∀(x, y, t)∈R3,|x+ty| ≤ √1 + t2px2+y2et en déduire que ∀(x, y)∈
R2,N(x, y)≤ k(x, y)k2.
(b) Prouver que si (x1, x2, y1, y2)∈R4, alors |N(x1, y1)−N(x2, y2)| ≤ p(x1−x2)2+ (y1−y2)2
et en déduire que Nest continue sur R2muni de la norme k.k2.
(c) Première méthode : en raisonnant par l’absurde, démontrer qu’il existe une constante
c > 0telle que : ∀(x, y)∈R2,N(x, y)≥cpx2+y2.
(d) Deuxième méthode : en utilisant des inégalités, trouver une valeur acceptable de la
constante c. On pourra montrer en particulier que pour (x, y)∈R2,max(|x+y|,|x−
y|) = |x|+|y|.
(e) Quelle est la constante optimale dans l’inégalité précédente, c’est-à-dire la plus grande
constante cvérifiant cette inégalité ?
3. On cherche dans cette question à déterminer la boule unité fermée pour cette norme.
(a) Soit (x, y)∈R2. Montrer que N(x, y) = N(x, −y) = N(−x, y) = N(−x, −y).
On peut donc se restreindre dans notre étude à x > 0et y > 0et ainsi, N(x, y) =
sup
t∈R+x+ty
1 + t2.
(b) Justifier l’égalité suivante :
∀(x, y)∈R2, N(x, y) = sup
θ∈[0,π]1 + cos θ
2x+sin θ 2y.
(c) Prouver que pour xet yréels donnés, sup
θ∈[0,π
2]
(xcos θ+ysin θ) = px2+y2. En déduire
une expression explicite de N(x, y). (sans le sup)
(d) Déterminer alors la boule unité fermée pour N, puis la représenter.
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EXERCICE II
Soit A, un sous ensemble de Rnon vide et majoré. Démontrer l’équivalence :
m= sup A⇐⇒ (mest un majorant de A.
∃(an)n∈N∈AN:an−−−−−→
n→+∞m.
On construira la suite (an)n∈Nen revenant à la définition de la borne supérieure.
EXERCICE III
Soit (E, d), un espace métrique, c’est-à-dire un espace vectoriel muni d’une distance d. On appelle
δl’application définie par :
δ:E2−→ R
(x, y)7−→ δ(x, y) = d(x, y)
1 + d(x, y).
1. Quels que soient les nombres réels positifs a,bet cvérifiant c≤a+b, montrer que l’on a :
a
1 + a+b 1 + b≥c 1 + c.
2. Montrer que δest une distance.
3. Montrer que les distances det δdéfinissent la même topologie, autrement dit que si Oest
un ouvert dans (E, d), alors Oest aussi un ouvert dans (E, δ)et réciproquement.
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