2ème année Cycle Préparatoire Polytechnique Devoir de Mathématiques n˚1 Cours : Espaces Vectoriels Normés à remettre le mercredi 14 février 2007 Consignes : veillez à apporter un soin particulier à la présentation de votre copie. Soignez également la rédaction des réponses, n’oubliez pas de quantifier. Tout résultat, même juste, ne se verra attribuer aucun point s’il n’est pas justifié. Bon courage ! EXERCICE I On définit l’application N par : R2 −→ R |x + ty| (x, y) 7−→ sup . 1 + t2 t∈R N: 1. Vérifier que N est définie sur R2 tout entier et que N est une norme. 2. On veut démontrer que N est une norme, équivalente à la norme euclidienne k.k2 . p √ (a) Vérifier que : ∀(x, y, t) ∈ R3 , |x + ty| ≤ 1 + t2 x2 + y 2 et en déduire que ∀(x, y) ∈ R2 , N (x, y) ≤ k(x, y)k2 . p (b) Prouver que si (x1 , x2 , y1 , y2 ) ∈ R4 , alors |N (x1 , y1 )−N (x2 , y2 )| ≤ (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 et en déduire que N est continue sur R2 muni de la norme k.k2 . (c) Première méthode : en raisonnant par l’absurde, démontrer qu’il existe une constante p c > 0 telle que : ∀(x, y) ∈ R2 , N (x, y) ≥ c x2 + y 2 . (d) Deuxième méthode : en utilisant des inégalités, trouver une valeur acceptable de la constante c. On pourra montrer en particulier que pour (x, y) ∈ R2 , max(|x + y|, |x − y|) = |x| + |y|. (e) Quelle est la constante optimale dans l’inégalité précédente, c’est-à-dire la plus grande constante c vérifiant cette inégalité ? 3. On cherche dans cette question à déterminer la boule unité fermée pour cette norme. (a) Soit (x, y) ∈ R2 . Montrer que N (x, y) = N (x, −y) = N (−x, y) = N (−x, −y). On peut donc se restreindre dans notre étude à x > 0 et y > 0 et ainsi, N (x, y) = x + ty sup . 1 + t2 t∈R+ (b) Justifier l’égalité suivante : 2 ∀(x, y) ∈ R , N (x, y) = sup θ∈[0,π] 1 + cos θ 2 x+ sin θ 2 (c) Prouver que pour x et y réels donnés, sup (x cos θ + y sin θ) = y . p x2 + y 2 . En déduire θ∈[0, π2 ] une expression explicite de N (x, y). (sans le sup) (d) Déterminer alors la boule unité fermée pour N , puis la représenter. 1 EXERCICE II Soit A, un sous ensemble de R non vide et majoré. Démontrer l’équivalence : ( m est un majorant de A. m = sup A ⇐⇒ ∃(an )n∈N ∈ AN : an −−−−−→ m. n→+∞ On construira la suite (an )n∈N en revenant à la définition de la borne supérieure. EXERCICE III Soit (E, d), un espace métrique, c’est-à-dire un espace vectoriel muni d’une distance d. On appelle δ l’application définie par : δ: E 2 −→ R (x, y) 7−→ δ(x, y) = d(x, y) . 1 + d(x, y) 1. Quels que soient les nombres réels positifs a, b et c vérifiant c ≤ a + b, montrer que l’on a : b c a + ≥ . 1+a 1+b 1+c 2. Montrer que δ est une distance. 3. Montrer que les distances d et δ définissent la même topologie, autrement dit que si O est un ouvert dans (E, d), alors O est aussi un ouvert dans (E, δ) et réciproquement. 2