Groupes, anneaux, corps Complément au chapitre «nombres complexes» Chapitre 3 0.1 Définition Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne sur E toute application du produit cartésien E × E (noté aussi E 2 ) dans E. Si ! : E × E → E est une loi de composition interne, on notera habituellement, pour (x, y ) ∈ E 2 : truc !(x, y ) = x ! y . On dit que la loi ! est associative si : ∀(x, y , z) ∈ E 3 (x ! y ) ! z = x ! (y ! z). On dit que la loi ! est commutative si : ∀(x, y ) ∈ E 2 x ! y = y ! x. Soit e un élément de E. On dit que e est un élément neutre pour la loi ! si : ∀x ∈ E 1 x !e = e!x = x. Groupes 1.1 Définition On appelle groupe tout couple (G, •), où G est un ensemble et • une loi de composition interne sur G telle que : (i) la loi • est associative ; (ii) G possède un élément e neutre pour la loi • ; (iii) pour tout g ∈ G, il existe un élément g ! ∈ G tel que g • g ! = g ! • g = e. Si la loi • est de plus commutative, on dit que (G, •) est un groupe commutatif, ou abélien. L’élément g ! de l’hypothèse (iii) est appelé symétrique (ou inverse, ou même opposé si le groupe est commutatif) de l’élément g. 2 Anneaux et corps 2.1 Définition On appelle anneau tout triplet (A, +, !), où A est un ensemble et +, ! deux lois de composition internes sur A telles que : (i) le couple (A, +) est un groupe abélien (dont on note l’élément neutre 0A ) ; (ii) la loi ! est associative ; (iii) la loi ! est distributive sur la loi + : ∀(a, b, c) ∈ A3 ! a ! (b + c) = a ! b + a ! c ; (a + b) ! c = a ! c + b ! c (iv) A possède un élément neutre pour la loi !, noté 1A ; Si la loi ! est commutative, on dit que (A, +, !) est un anneau commutatif. Si, pour tout (a, b) ∈ A2 , on a : [a %= 0 et b %= 0] ⇒ ab %= 0, on dit que (A, +, !) est un anneau intègre. 2.2 Définition On appelle corps tout anneau (K, +, !) tel que : (i) la loi ! est commutative ; (ii) pour tout x ∈ K \ {0}, il existe un élément x ! ∈ K tel que x ! x ! = x ! ! x = 1K ; (iii) les éléments 0K et 1K sont distincts (K a donc au moins deux éléments distincts). Erwan Biland - Polycopiés du cours, MPSI 1 1 3 Morphismes 3.1 Définition Si (G, •) et (H, !) sont deux groupes, on appelle morphisme de groupes de (G, •) dans (H, !) toute application ϕ : G → H telle que : ∀(g, g ! ) ∈ G 2 , ϕ(g • g ! ) = ϕ(g) ! ϕ(g ! ). 3.2 Définition Si (A, +A , !A ) et (B, +B , !B ) sont deux anneaux, on appelle morphisme d’anneaux de (A, +A , !A ) dans (B, +B , !B ) toute application ϕ : A → B telle que : (i) ∀(a, a! ) ∈ A2 , (ii) ∀(a, a! ) ∈ A2 , ϕ(a +A a! ) = ϕ(A) +B ϕ(A! ) ; ϕ(a !A a! ) = ϕ(A) !B ϕ(A! ) ; (iii) ϕ(1A ) = 1B . 2 Erwan Biland - Polycopiés du cours, MPSI 1