Chapitre 3 Groupes, anneaux, corps

Chapitre 3
truc
Groupes, anneaux, corps
Complément au chapitre «nombres complexes»
0.1 Définition Soit Eun ensemble. On appelle loi de composition interne sur Etoute application
du produit cartésien E×E(noté aussi E2) dans E.
Si !:E×E→Eest une loi de composition interne, on notera habituellement, pour (x , y )∈E2:
!(x , y ) = x!y .
On dit que la loi !est associative si : ∀(x , y , z )∈E3(x!y)!z=x!(y!z).
On dit que la loi !est commutative si : ∀(x , y )∈E2x!y=y!x.
Soit eun élément de E. On dit que eest un élément neutre pour la loi !si : ∀x∈E x !e=e!x=x.
1 Groupes
1.1 Définition On appelle groupe tout couple (G, •), où Gest un ensemble et •une loi de composition
interne sur Gtelle que :
(i) la loi •est associative ;
(ii) Gpossède un élément eneutre pour la loi •;
(iii) pour tout g∈G, il existe un élément g!∈Gtel que g•g!=g!•g=e.
Si la loi •est de plus commutative, on dit que (G, •)est un groupe commutatif, ou abélien.
L’élément g!de l’hypothèse (iii) est appelé symétrique (ou inverse, ou même opposé si le groupe est
commutatif) de l’élément g.
2 Anneaux et corps
2.1 Définition On appelle anneau tout triplet (A, +,!), où Aest un ensemble et +,!deux lois de
composition internes sur Atelles que :
(i) le couple (A, +) est un groupe abélien (dont on note l’élément neutre 0A) ;
(ii) la loi !est associative ;
(iii) la loi !est distributive sur la loi +:∀(a, b, c)∈A3!a!(b+c) = a!b+a!c
(a+b)!c=a!c+b!c;
(iv) Apossède un élément neutre pour la loi !, noté 1A;
Si la loi !est commutative, on dit que (A, +,!)est un anneau commutatif.
Si, pour tout (a, b)∈A2, on a : [a%= 0 et b%= 0] ⇒ab %= 0, on dit que (A, +,!)est un anneau
intègre.
2.2 Définition On appelle corps tout anneau (K, +,!)tel que :
(i) la loi !est commutative ;
(ii) pour tout x∈K\ {0}, il existe un élément x!∈Ktel que x!x!=x!!x= 1K;
(iii) les éléments 0Ket 1Ksont distincts (Ka donc au moins deux éléments distincts).
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3 Morphismes
3.1 Définition Si (G, •)et (H, !)sont deux groupes, on appelle morphisme de groupes de (G, •)
dans (H, !)toute application ϕ:G→Htelle que :
∀(g, g!)∈G2,ϕ(g•g!) = ϕ(g)! ϕ(g!).
3.2 Définition Si (A, +A,!A)et (B, +B,!B)sont deux anneaux, on appelle morphisme d’anneaux
de (A, +A,!A)dans (B, +B,!B)toute application ϕ:A→Btelle que :
(i) ∀(a, a!)∈A2,ϕ(a+Aa!) = ϕ(A) +Bϕ(A!);
(ii) ∀(a, a!)∈A2,ϕ(a!Aa!) = ϕ(A)!Bϕ(A!);
(iii) ϕ(1A) = 1B.
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