LE FORMULAIRE MPSI, MP – 1 500 formules de

Chapitre 1
Mathématiques
1. Algèbre
1.1 Relations
Propriétés d’une relation binaire
Soit Rune relation binaire dans E; elle est dite :
réflexive si et seulement si ∀x∈E,xRx
symétrique si et seulement si ∀(x,y)∈E2,xRy=⇒yRx
antisymétrique si et seulement si ∀(x,y)∈E2,xRy
yRx=⇒x=y
transitive si et seulement si ∀(x,y,z)∈E3,xRy
yRz=⇒xRz
Relation d’ordre
Une relation binaire Rde Eest dite relation d’ordre si et seulement si
Rest réflexive, antisymétrique et transitive.
Relation d’équivalence
Une relation binaire Rde Eest une relation d’équivalence si et seule-
ment si Rest réflexive, symétrique et transitive.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.

2 [1] Mathématiques
Classe d’équivalence
Soit Rune relation d’équivalence dans E; pour x∈E, on appelle classe
d’équivalence de x(modulo R) l’ensemble défini par :
clR(x) = {y∈E,xRy}
Ensemble-quotient
On appelle ensemble-quotient de Epar R, et on note E/R, l’ensemble
des classes d’équivalence modulo R:
E/R={clR,x∈E}
1.2 Structures algébriques
Lois de compositions
On appelle loi interne toute application de E×E→E.
Un loi ∗est dite associative si et seulement si :
∀(x,y,z)∈E3,x∗(y∗z) = (x∗y)∗z
Une loi ∗interne est dite commutative si et seulement si :
∀(x,y)∈E2,x∗y=y∗x
On dit que eest un élément neutre pour ∗si et seulement si :
∀x∈E,x∗e=e∗x=x
On appelle symétrique de x∈Eun élement de Enoté x−1vérifiant :
x−1∗x=x∗x−1=e
On dit que rHE est stable par ∗si et seulement si :
∀(x,y)∈H2,x∗y∈H
Groupe
Un ensemble muni d’une loi interne (G,·)est un groupe si et seule-
ment si :
–·est associative ;
–·admet un élément neutre : e;
– tout élément de Gadmet un symétrique pour la loi ·.
Si la loi ·est commutative, on dit que le groupe Gest abélien ou com-
mutatif.

1. Algèbre 3
Sous-groupe
Soit (G,·)un groupe. Une partie Hde Gest un sous groupe de Gsi et
seulement si :
–Hest stable par la loi ·;
–Hcontient l’élément neutre;
–∀x∈H,x−1∈H.
Groupe commutatif
–(Z/nZ,+) est un groupe commutatif.
– l’application pn:Z→(Z/nZ)
x7→ xmod n
, appelée surjection canonique, est
un morphisme surjectif de groupes.
Générateurs du groupe
Les générateurs du groupe (Z/nZ,+) sont les ˆ k, avec k∈Zet k∧n=
1.
Groupe monogène – Groupe cyclique
– Un groupe Gest dit monogène si et seulement s’il admet un généra-
teur, c’est-à-dire si et seulement s’il existe a∈Gtel que G=<a>
– Un groupe Gest dit cyclique si et seulement si Gest monogène et
fini.
Anneau
Un ensemble Amuni de deux lois internes notées +et ·est un anneau
si et seulement si :
–(A,+) est un groupe commutatif, d’élément neutre 0A;
–·est associative et admet un élément neutre 1A;
–·est distributive par rapport à +, c’est-à-dire :
∀(x,y,z)∈A3,x·(y+z) = (x·y) + (x·z);
(x+y)·z= (x·z) + (y·z).
Si ·est commutative, on dit que l’anneau Aest commutatif.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.