Nombres complexes / 3e année / version 2014-2015

NOMBRES
COMPLEXES *
3ème année (niveau avancé)
4.1 Construction du corps des nombres
complexes *
4.2 Opérations dans
^*
1
2
4.3 Plan complexe (plan de Gauss) *
7
4.4 Forme trigonométrique d’un nombre
complexe *
9
4.5 Forme exponentielle d’un nombre
complexe *
14
4.6 Puissances et racines *
16
4.7 Théorème fondamental de l’algèbre *
20
4.8 Méthode de Cardano-Tartaglia *
24
4.9 L’ensemble de Mandelbrot *
28
4.10 Ce qu’il faut absolument savoir *
31
4.11 Solutions des exercices *
32
Picchione Serge
2014-2015
Picchione Serge
2014-2015
4.1 Construction du corps des nombres
complexes *
Le mathématicien Léopold Kronecker (1823 - 1891) exprime l’idée qu’il est
possible de construire, à partir des entiers naturels, de nouveau nombres, par
extensions successives de l’ensemble
.
L’équation x + 7 = 4 n’a pas de solution dans
, mais dans
, S = {−3} .
L’équation 3x = 2 n’a pas de solution dans
, mais dans
⎧2⎫
, S = ⎨ ⎬.
⎩3⎭
L’équation x 2 = 2 n’a pas de solution dans
, mais dans
, S = − 2; 2 .
L’équation x 2 = −1 n’a pas de solution dans
{
}
, mais elle en a dans l’ensemble
que voici :
Définitions *
• On admet l’existence d’un nombre « imaginaire », noté i, vérifiant i 2 = −1 .
• Un nombre complexe z est un nombre de la forme z = a + bi , où a et b sont deux nombres
réels. (forme algébrique)
• z = a + bi ,
a est la partie réelle de z, notée Re(z)
b est la partie imaginaire de z, notée Im(z).
• L’ensemble des nombres complexes est noté
.
Exemples *
z1 = −2 + 3i
2
z2 = − + 3i
3
z3 = 0 − i = − i
z4 = 7 + 0 ⋅ i = 7
Re( z1 ) = −2 et Im( z1 ) = 3
2
avec Re( z2 ) = −
et Im( z2 ) = 3
3
z3 est appelé imaginaire pur car Re( z3 ) = 0
avec
z4 est appelé réel car Im( z4 ) = 0
Remarques *
a) On a les inclusions suivantes :
⊂
⊂
L’application suivante explique l’inclusion :
⊂
⊂
⊂
→
a → a + 0i
b) Dans ce chapitre, un nombre réel doit être vu comme
un nombre complexe avec une partie imaginaire nulle.
c) Soit z1= a1+b1i et z2 = a2 +b2i alors z1 = z2 ⇔ a1 = a2 et b1 = b2 .
Autrement dit, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et
imaginaires sont égales.
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Nombres complexes / 3 N-A
, des nombres complexes, toute équation polynomiale du 2ème degré
d) Dans ce nouvel ensemble
admet deux solutions.
• En effet, par exemple l’équation z 2 = −4 se résout de la manière suivante :
z 2 = −4 ⇔ z 2 = ( −1 ) ⋅ 4 ⇔ z 2 = 2 2 ⋅ i 2 ⇔ z 2 − ( 2i ) = 0 ⇔ ( z − 2i )( z + 2i ) = 0 ⇔ z = ±2i
2
S = {0 + 2i ;0 − 2i;}
• L’équation z 2 + 2z + 5 = 0 se résout avec la formule de Viète comme suit :
2
z 2 + 2z + 5 = 0 avec a = 1 ;b = 2 ;c = 5 et Δ = b 2 − 4ac = −16 = ( −1) ⋅ 16 = 4 2 ⋅ i 2 = ( 4i )
−2 ± −16 −2 ± ( 4i )
−2 ± 4i
z1,2 =
=
=
= −1 ± 2i .
2
2
2
Vérifions que z1 = −1 + 2i est bien solution de notre équation :
2
( −1 + 2i )2 + 2( −1 + 2i ) + 5 = 1 − 4i + 4i 2 − 2 + 4i + 5 = 0 ok.
−4
S = {−1 + 2i ; − 1 − 2i}
Idem pour z2 = −1 − 2i .
4.2 Opérations dans
*
Soit z1= a1+b1i et z2 = a2 +b2i deux nombres complexes. On définit deux opérations dans
:
• la somme : z1 + z2 = ( a1 + b1i ) + ( a2 + b2i ) = a1 + b1i + a2 + b2i = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 )i
• le produit : z1 ⋅ z2 = ( a1 + b1i )( a2 + b2i ) = a1a2 + a2b1i + a1b2i + b1b2i 2 = ( a1a2 − b1b2 ) + ( a1b2 + a2b1 ) i
En pratique, on effectue la somme et le produit de nombres complexes en appliquant les propriétés
de l’addition et de la multiplication dans
et en remplaçant i 2 par -1.
Exemples * Si z1 = 2 − 3i et z2 = 3 + i
alors
z1 + z2 = ( 2 − 3i ) + ( 3 + i ) = 5 − 2i
z1 ⋅ z2 = ( 2 − 3i ) ⋅ ( 3 + i ) = 2 ⋅ 3 + 2i − 3 ⋅ 3i − 3i 2 = 9 − 7i
• L’opposé de z = a + bi est le nombre complexe noté z' tel que z + z' = z' + z = 0
(élément neutre pour l’addition). Alors z' = -a-bi et on le note usuellement : z' = − z .
Exemple : Si z = 2 − 3i
• Comme tout nombre z ∈
alors
− z = −2 + 3i
et
z + (−z ) =(−z) + z = 0 + 0 ⋅ i
possède un opposé, on définit la soustraction z1 − z2
comme la somme : z1 + ( − z2 )
Exemple : Si z1 = 2 − 3i et z2 = 3 + i
alors
z1 − z2 = z1 + ( − z2 ) = ( 2 − 3i ) + ( −3 − i ) = −1 − 4i
• Pour tout nombre complexe z = a+bi (forme algébrique), le conjugué de z est le nombre
complexe a - bi, noté z .
Remarque : z ⋅ z = ( a + bi )( a − bi ) = a 2 + b 2 ∈
Exemple : Si z = 2 − 3i
alors
z = 2 + 3i
et
z ⋅ z = 2 2 + ( −3 ) = 13
2
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2
Nombres complexes / 3 N-A
• L’inverse de z = a + bi est le nombre complexe z' tel que z ⋅ z' = z' ⋅ z = 1 (élément neutre pour
z
a − bi
1
et on le note usuellement z' = = z −1 .
= 2
2
z
z⋅z a +b
z
2 + 3i 2 + 3i 2
3
Exemple : Si z = 2 − 3i alors z −1 =
= 2
=
=
+ i
2
13
13 13
z⋅z 2 +3
3 ⎞
⎛ 2
et z ⋅z −1 = ( 2 − 3i ) ⋅ ⎜ + i ⎟ = 1 + 0i
⎝ 13 13 ⎠
la multiplication). Alors z' =
• Comme tout z' ≠ 0 ∈
possède un inverse, on définit la division
z1
1
comme le produit z1 ⋅ .
z2
z2
Exemple : Si z1 = 2 − 3i et z2 = 3 + i
alors
z1
1
z
1 ⎞ 3 11
⎛3−i ⎞
⎛ 3
= z1 ⋅ = z1 ⋅ 2 = ( 2 − 3i ) ⋅ ⎜
− i
⎟ = ( 2 − 3i ) ⋅ ⎜ − i ⎟ =
z2
z2
z2 z 2
⎝ 10 ⎠
⎝ 10 10 ⎠ 10 10
Remarque *
On ne peut pas comparer des nombres complexes : z1 < z2 ou z1 > z2 n’a pas de sens !
Propriétés des nombres complexes *
Les nombres complexes jouissent des propriétés ci-dessous, c’est-à-dire que quelles que soient les
nombres complexes z, v et w , les relations suivantes sont toujours vraies :
1) La somme de deux nombres complexes est un nombre complexe (loi de composition interne).
2) Le produit de deux nombres complexes est un nombre complexe (loi de composition interne).
3) z + v = v + z
4) z + ( v + w ) = ( z + v ) + w
5) 0 + z = z + 0 = z
6) z + ( − z ) = ( − z ) + z = 0
7) z ⋅ ( v + w ) = z ⋅ v + z ⋅ w
z⋅v = v⋅ z
z ⋅( v ⋅ w ) = ( z ⋅ v )⋅ w
1 ⋅ z = z⋅ 1 = z
z ⋅ z -1 = z -1 ⋅ z = 1
commutativité.
associativité.
existence d’un élément neutre.
existence d’un élément symétrique.
distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.
En mathématique, un ensemble muni de deux opérations qui satisfont toutes les propriétés énoncées
ci-dessus est appelé un corps commutatif.
Remarques *
a) 0 = 0 + 0 ⋅ i (élément neutre pour l’addition)
1 = 1 + 0 ⋅ i (élément neutre pour la multiplication)
b) < ; +;⋅ > , < ; +;⋅ > et < ; +;⋅ > sont des corps commutatifs
mais pas < ; +;⋅ > et < ; +;⋅ > .
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3
Nombres complexes / 3 N-A
Exercice 1 *
1) Effectuer chacune des opérations indiquées :
a) ( 3 + 2i ) + ( −7 − i ) =
b) ( −7 − i ) + ( 3 + 2i ) =
c) ( 8 − 6i ) − ( −7 + 2i ) =
d) ( −7 + 2i ) − ( 8 − 6i ) =
e) ( 5 + 3i ) + (( −1 + 2i ) + (7 − 5i )) =
f) (( 5 + 3i ) + ( −1 + 2i ) ) + (7 − 5i ) =
g) ( 3 + 2i ) ⋅ ( −7 − i ) =
h) ( −7 − i ) ⋅ ( 3 + 2i ) =
i) ( 5 + 3i ) ⋅ (( −1 + 2i ) ⋅ (7 − 5i ) ) =
j) (( 5 + 3i ) ⋅ ( −1 + 2i )) ⋅ (7 − 5i ) =
k) ( 5 + 3i ) ⋅ (( −1 + 2i ) + (7 − 5i ) ) =
l) (( 5 + 3i ) ⋅ ( −1 + 2i ) ) + (( 5 + 3i ) ⋅ (7 − 5i ) ) =
2) Que constate-t-on ?
Exercice 2 *
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres complexes suivants :
a) z =
10 + 5i
1 + 2i
b) z =
5 − 10i
2−i
c) z =
8
1+i
e) z =
2i
1−i
f) z =
3 − i 2 − 3i
+
1 − 2i
i
g) z =
5i − 4 3i − 4
+
i
1 − 2i
d) z = 2( 1 − i )3
Exercice 3 *
Calculer dans
:
a) i 0 , i 1 ,i 2 , i 3 ,i 4 , i 5 ,i 6 , i7 ,i 8 , ,.............,i 28 ,i 29 ,i 30 ,i 31 ,..........,i 1001 ,.........
b) 1 + i + i 2 + i 3 + i 4 + ............ + i 1995
Exercice 4 *
Soit z = a + bi et z' = a' + b'i deux nombres complexes tel que z ⋅ z' = z' ⋅ z = 1
i) Exprimer a' en fonction de a et b.
ii) Exprimer b' en fonction de a et b.
iii) Exprimer z' en fonction de a et b.
iv) Comment appelle-t-on le nombre z' ?
Exercice 5 *
13
sous la forme z = a + ib , puis vérifier que z est une solution
3 + 2i
de l'équation z 3 − 8z 2 + 25z − 26 = 0 .
Mettre le nombre complexe z =
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4
Nombres complexes / 3 N-A
Exercice 6 * (Propriétés du conjugué)
Rappel : pour tout nombre complexe z = a+bi, le conjugué de z est z = a − bi .
Soit z= a+bi et w= c+di deux nombres complexes.
Démontrer les propriétés suivantes :
2) Re(z)=
3) Im(z) =
4) z ⋅ z = a 2 + b 2
z+z
2
5) z est réel ⇔ z = z
7) z + w = z + w
8) z ⋅ w = z ⋅ w
⎛1⎞ 1
9) si z ≠ 0 : ⎜ ⎟ =
⎝z⎠ z
1) z = z
z−z
2i
6) z est imaginaire pur ⇔ z = − z
⎛z⎞ z
10) si w ≠ 0 : ⎜ ⎟ =
⎝ w⎠ w
Exercice 7 *
Sans utiliser la forme trigonométrique ou exponentielle des nombres complexes, résoudre les
équations et systèmes d’équations suivants dans
: (Réponse en valeur exacte)
a) 3z(z+i)= -iz
c)
w−1
= 4i
iw + 3
b) -i(1+5i)z+(z-1)(i-2)=4z-i
d) 3z = i − 4
e) 2z + iz = 3 (poser z = a+bi )
f) − zz + 3z + 2 = 6i
⎧ z + iw = 2 − i
g) ⎨
⎩iz − 2w = 1
⎧ z + iw = −1
h) ⎨
⎩3iz − 4w = 0
i) w 2 = −7
j) w 2 = 3
k) z 2 + 2iz + 3 = 0
l) z 2 + z + 1 = 0
(poser z = a+bi )
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5
Nombres complexes / 3 N-A
Exercice 8 *
L’ensemble
= {a + bi a et b∈
un espace vectoriel sur
} des nombres complexes muni des lois suivantes est
:
• ( a1 + b1i ) + ( a2 + b2i ) = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 )i
• λ ( a1 + b1i ) = λ a1 + λ b1i
loi de composition interne
loi de composition externe
a) Quelle est l’élément neutre noté 0 pour l’addition ?
b) Quelle est le symétrique du vecteur 3 − 4i pour l’addition ?
c) 1 ∈
est-il l’élément neutre pour la loi de composition externe ?
d) Donner deux bases de l'espace vectoriel
e) Choisir un vecteur de
.
et donner ses coordonnées dans chacune des bases du point d).
f) Quelle est la dimension de
?
g) Donner un sous-espace vectoriel W de
et un ensemble X qui n’en est pas un.
h) Trouver une famille libre et non génératrice de
.
i) Trouver une famille génératrice et pas libre de
.
j) Trouver une famille liée et non génératrice de
.
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6
Nombres complexes / 3 N-A
4.3 Plan complexe (plan de Gauss) *
On peut représenter tout nombre complexe z = a + ib dans un plan
complexe en lui faisant correspondre le point P( a;b ) de la manière suivante :
Axe
imaginaire
P(a;b) ≈ a + bi = z
b
-a
1
0
P( −a; − b) ≈ −a − bi = −z
Axe réel
a
P(a; − b) ≈ a − bi = z
-b
Exemple *
Soit z = a+bi et w = c+di deux nombres complexes.
Plaçons dans le plan complexe ci-dessous : z, w, z + w, z − w et w − z
Axe
imaginaire
z+w
w
d
w-z
z
b
-a
-c
0
-b
-z
-w
a
c
Axe réel
z-w
-d
Remarques *
a) L’addition (soustraction) de deux nombres complexes, dans le plan complexe, correspond
à « la règle du parallélogramme ».
z
on utilisera plutôt
w
la représentation exponentielle des nombres complexes (voir chapitre suivant).
b) Pour placer efficacement le produit z ⋅ w ou le quotient
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7
Nombres complexes / 3 N-A
Rappel * Cercle trigonométrique et quelques valeurs exactes pour cos(α), sin(α) et tan(α)
• On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un système d'axe orthonormé.
• Le cosinus de l'angle α (noté cos(α)) est la première coordonnée du point P.
• Le sinus de l'angle α (noté sin(α)) est la deuxième coordonnée du point P.
• Le tangente de l'angle α (noté tan(α)) est la deuxième coordonnée du point T.
y
Exemple :
•
3
⎛π ⎞ 1
cos ⎜ ⎟ =
⎝3⎠ 2
T
3
⎛π ⎞
sin ⎜ ⎟ =
3
2
⎝ ⎠
⎛π ⎞
tan ⎜ ⎟ = 3
⎝3⎠
90 =
π
2
1
2π
=120
3
P
•
3/2
3π
= 135
4
60 =
π
3
2 /2
45 =
π
4
3/3
5π
= 150
6
30 =
1/ 2
π = 180
π
6
0° = 0
-1
−
3
2
−
2
2
−
0
1
2
1
2
3
2
2
2
360 = 2π
330 =
−1/ 2
7π
= 210
6
1
x
11π
6
− 3/3
5π
= 225
4
315 =
− 2 /2
4π
= 240
3
300 =
− 3/2
-1
270 =
7π
4
5π
3
3π
2
Remarques :
3 ≅ 1,73
3
≅ 0,87
2
2
≅ 0,71
2
3
≅ 0,58
3
− 3
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Nombres complexes / 3 N-A
4.4 Forme trigonométrique d’un nombre
complexe *
Définitions *
Soit z = a + ib un nombre complexe quelconque (forme algébrique).
a) On appelle norme ou module de z, noté z , la longueur r du segment [OP ] .
b) On appelle argument de z, noté arg ( z ) , la mesure en radian de l’angle orienté θ
entre l’axe horizontal et le segment [OP ] à un multiple de 2π près.
Autrement dit : arg( z ) = θ + k 2π k ∈
.
Axe
imaginaire
Relations :
P ≈ a + bi = z
b
r = a 2 + b2
r
θ
cos( θ ) =
Axe réel
a
O
tan( θ ) =
b
a
sin( θ ) =
b
r
a
r
Proposition *
Tout nombre complexe z = a + bi (forme algébrique) peut s’écrire sous la forme trigonométrique
z = r ( cos( θ ) + i sin( θ ))
suivante :
avec z = r et arg( z ) = θ
Démonstration *
y
Soit z = a + ib un nombre complexe quelconque (forme algébrique).
a
b
On a cos (θ ) = et sin (θ ) =
(trigonométrie dans le triangle rectangle) 1
r
r
Et donc z = a + ib = r cos( θ ) + i r sin( θ ) = r ( cos( θ ) + i sin( θ ) )
Exemples *
Z
2
π
6
0
3
a) z = 3 + i avec a = 3 et b = 1 (forme algébrique).
tan (θ ) =
b
⎛b⎞ π
⇔ θ = arctan ⎜ ⎟ =
a
⎝a⎠ 6
x
−
2
π
3
et r = a 2 + b 2 = 2
⎛
⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎞
Donc z = 2 ⎜ cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ ⎟ (forme trigonométrique).
⎝6⎠
⎝ 6 ⎠⎠
⎝
4
π
⎛
⎛ π⎞
⎛ π ⎞⎞
b) w = 4 ⎜ cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎟ avec r = 4 et θ = −
(forme trigonométrique).
3
⎝ 3⎠
⎝ 3 ⎠⎠
⎝
a = r cos( θ ) = 2
b = r sin( θ ) = −2 3
Donc w = 2 − 2 3i (forme algébrique).
−2 3
W
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9
Nombres complexes / 3 N-A
Théorème *
Axe
imaginaire
Soit z et w deux nombres complexes quelconques.
a) arg ( z ⋅ w ) = arg ( z ) + arg ( w )
z⋅w = z ⋅ w
⎛z⎞
b) arg ⎜ ⎟ = arg ( z ) − arg ( w )
⎝ w⎠
z
z
=
w
w
z
w
r
s
α
β
Axe réel
0
Autrement dit :
• Multiplier deux nombres complexes revient à multiplier leurs modules et à additionner leurs
arguments.
• Diviser deux nombres complexes revient à diviser leurs modules et à soustraire leurs arguments.
Exemples *
1⎛
⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎞
cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ ⎟
⎜
2⎝
⎝4⎠
⎝ 4 ⎠⎠
arg ( z ) =
π
⎛
⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎞
w = 2 ⎜ cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ ⎟
⎝2⎠
⎝ 2 ⎠⎠
⎝
arg ( w ) =
π
z=
z =
4
1
2
et
⎡
⎛ 3π ⎞
⎛ 3π
zi w = 1 ⋅ ⎢ cos ⎜
⎟ + i sin ⎜
⎝ 4 ⎠
⎝ 4
⎣
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
arg ( z ⋅ w ) = arg ( z ) + arg ( w ) =
car
z⋅w = z ⋅ w =
w =2
2
π
4
+
π
2
=
3π
4
1
⋅2 = 1
2
z 1⎡
⎛ π⎞
⎛ π ⎞⎤
= ⎢ cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎥
w 4⎣
⎝ 4⎠
⎝ 4 ⎠⎦
π π
π
⎛z⎞
car arg ⎜ ⎟ = arg ( z ) − arg ( w ) = − = −
4 2
4
⎝ w⎠
z 1/ 2 1
z
=
=
=
w
w
2
4
y
π
w 90 = 2
60 =
2
3π
4
π
3
45 =
z⋅w
π
4
30 =
1
π
6
z
π =180
Remarques *
-2
⎛ 1 ⎞ Thm.
• arg ⎜ ⎟ = arg (1) − arg ( z ) = − arg ( z )
⎝z⎠
1 Thm. 1 1
•
=
=
z
z
z
• arg ( z 2 ) = arg ( z ⋅ z ) = arg ( z ) + arg ( z ) = 2 ⋅ arg ( z )
-1
0
z/w
-1
−
Thm.
•
Thm.
z = z⋅z = z ⋅ z = z
2
2
0 =0
2 360 = 2π
1
-2
270 =
π
4
3π
2
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Nombres complexes / 3 N-A
x
Démonstration *
Soit z = r ( cos( α ) + i sin( α )) et w = s ( cos( β ) + i sin( β )) deux nombres complexes quelconques.
z =r
arg ( z ) = α
Rappel : Pour α et β ∈
w =s
arg ( w ) = β
:
i) sin( α +β )= sin( α ) ⋅ cos( β ) + cos( α ) ⋅ sin( β )
ii) cos( α +β )=cos( α ) ⋅ cos( β ) − sin( α ) ⋅ sin( β )
iii) sin( α − β ) = sin( α ) ⋅ cos( β ) − cos( α ) ⋅ sin( β )
iv) cos( α − β ) = cos( α ) ⋅ cos( β ) + sin( α ) ⋅ sin( β )
v) cos 2 ( α )+sin 2 ( α ) = 1
a) Multiplication :
z ⋅ w = r ( cos( α ) + i sin( α )) ⋅ s(cos( β ) + i sin( β )) =
= r ⋅ s ⋅ ⎡⎣((cos( α ) ⋅ cos( β ) − sin( α ) ⋅ sin( β )) + i ( cos( α ) ⋅ sin( β ) + sin( α ) ⋅ cos( β ))⎤⎦
i)
= r ⋅ s ⋅ [cos( α + β ) + i sin( α + β )]
ii )
b) Division :
z r ( cos( α ) + i sin( α ) )
=
w s(cos( β ) + i sin( β ))
=
r ( cos( α ) + i sin( α )) cos( β ) − i sin( β )
⋅
=
s (cos( β ) + i sin( β )) cos( β ) − i sin( β )
r ⎡ ( cos( α )cos( β ) + sin( α ) sin( β ) ) + i ( sin( α )cos( β ) − cos( α ) sin( β )) ⎤
= ⋅⎢
⎥
s ⎣
cos 2 ( β ) + sin 2 ( β )
⎦
r ⎡ cos( α − β ) + i sin( α − β ) ⎤
= ⋅⎢
2
2
⎥
iv ) s
⎣ cos ( β ) + sin ( β ) ⎦
v)
r
= ⋅ [cos( α − β ) + i sin( α − β )]
s
iii )
Corollaire * (Formule de Moivre (1667-1754))
( cos( α ) + i sin( α ))
n
= ( cos( nα ) + i sin( nα ))
α∈
et n ∈
Démonstration en exercice !
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
11
Nombres complexes / 3 N-A
Exercice 9 *
a) Dans le plan complexe (muni d’un repère orthonormé), placer les points (vecteurs)
correspondant à :
z1 = 1 ; z2 = i ; z3 = − 1 ; z4 = − i ; z5 = 2 − i ; z6 = 2i ; z7 = 1 + i ; z8 = − 3 − 2i.
b) Effectuer les opérations indiquées, à la fois analytiquement et graphiquement :
z 2 + z8 ;
z5 + z7 ;
z3 + z7 ;
z6 − z5
;
− 4 ⋅ z2
c) Les nombres réels sont-ils des nombres complexes ? Comment se notent-ils ?
d) Sur quel axe de coordonnées du plan complexe se représentent-ils ?
e) Où se représentent les nombres complexes de la forme 0 + bi , ou encore bi ?
f) Comment sont appelés les nombres complexes de la forme 0 + bi , ou encore bi ?
Exercice 10 *
a) Déterminer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivant.
(Si possible, répondre en valeur exacte)
b) Écrire chacun des nombres complexes sous la forme algébrique et trigonométrique.
(Si possible, répondre en valeur exacte)
y
Axe imaginaire
5
4
z4
z2
3
2
z3
1
z5
-5
-4
-3
-2
z1
-1
1
-1
2
3
4
5
x
Axe réel
z8
-2
z6
-3
z7
-4
-5
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
12
Nombres complexes / 3 N-A
Exercice 11 *
a) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme trigonométrique : (Réponse en valeur exacte)
z=
2
2
1
+
i ; w = 1 + 3i ; z ; − z ;
;
2
2
z
z⋅w ;
w
; z2 ; z3 ; z4
z
b) Placer ces nombres dans le plan complexe ci-dessous.
y
90 =
2
π
2
60 =
π
3
45 =
30 =
1
π =180
-2
-1
π
4
0
1
π
6
0 =0
2 360 = 2π
x
-1
-2
270 =
3π
2
Exercice 12 *
Démontrer la formule de Moivre :
n
( cos( α ) + i sin( α )) = ( cos( nα ) + i sin( nα ))
α∈
et n ∈
Exercice 13 *
a) Développer ( cos( α ) + i sin( α )) en utilisant :
2
i) la formule de Moivre
ii) la formule du binôme de Newton
iii) Comparer la partie réelle et imaginaire de i) et ii).
iv) Exprimer cos( 2α ) en fonction de cos( α ) et, sin( 2α ) en fonction de sin( α ) .
b) Développer ( cos( α ) + i sin( α ) ) en utilisant :
3
i) la formule de Moivre
ii) la formule du binôme de Newton
iii) Comparer la partie réelle et imaginaire de i) et ii).
iv) Exprimer cos( 3α ) en fonction de cos( α ) et, sin( 3α ) en fonction de sin( α ) .
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
13
Nombres complexes / 3 N-A
4.5 Forme exponentielle d’un nombre
complexe *
Proposition *
Tout nombre complexe z = a + bi (forme algébrique) peut s’écrire sous la forme exponentielle
suivante :
z = r ⋅ e i ⋅θ
avec z = r , arg( z ) = θ et e le nombre d’Euler
Exemples *
a) Forme : algébrique → trigonométrique → exponentielle
z = 3 + i avec a = 3 et b = 1
b
⎛b⎞ π
⇔ θ = arctan ⎜ ⎟ =
et r = a 2 + b 2 = 2
a
⎝a⎠ 6
π
i
⎛
⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎞
Donc z = 3 + i = 2 ⎜ cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ ⎟ = 2 ⋅ e 6
⎝6⎠
⎝ 6 ⎠⎠
⎝
tan (θ ) =
b) Forme : exponentielle → trigonométrique → algébrique
z = 4⋅e
−i
π
3
avec r = 4 et θ = −
3
b = r sin( θ ) = 2 3
a = r cos( θ ) = 2
Donc z = 4 ⋅ e
−i
π
π
3
⎛
⎛ π⎞
⎛ π ⎞⎞
= 4 ⎜ cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎟ = 2 − 2 3i
⎝ 3⎠
⎝ 3 ⎠⎠
⎝
y
c)
z1 = 2 ⋅ e
z2 = e
2
iπ
z3 = 2 e
z4 = e
90 =
i0
i
−i
z6
3
z4
-2
π
6
z1 0 = 0
z2
π =180
π
4
30 =
1
1 − i 34π
z5 = e
2
3 i 3π
z6 = e 4
2
π
3
45 =
2
i
z7
60 =
π
π
z7 = 2e
π
2
-1
1
0
2 360 = 2π
x
z5
π
3
-1
z3
-2
270 =
3π
2
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
14
Nombres complexes / 3 N-A
Démonstration *
Soit z = r ( cos( θ ) + i sin( θ )) un nombre complexe (forme trigonométrique)
avec z = r et arg( z ) = θ .
Montrons que : e i⋅θ = cos(θ) + isin(θ)
∀θ ∈
. (formule d’Euler (1707-1783))
Nous allons utiliser le calcul différentiel :
Posons f ( θ ) =
cos( θ ) + i sin( θ )
eiθ
(i est une constante)
iθ
iθ
⎛ cos( θ ) + i sin( θ ) ⎞ ( cos( θ ) + i ⋅ sin( θ ) ) ⋅ e − ( cos( θ ) + i ⋅ sin( θ )) ⋅ ( e )
f '( θ ) = ⎜
⎟' =
2
eiθ
⎝
⎠
( eiθ )
'
'
=
( − sin( θ ) + i cos( θ )) ⋅ eiθ − ( cos( θ ) + i ⋅ sin( θ )) ⋅ ( i ⋅ eiθ )
ei 2θ
=−1
=
iθ
iθ
iθ
− sin( θ ) ⋅ e + i cos( θ ) ⋅ e − i cos( θ ) ⋅ e + i 2 ⋅ sin( θ ) ⋅ eiθ
0
= i 2θ = 0
i 2θ
e
e
donc f ( θ ) = cte ∀θ ∈ .
cos( 0 ) + i sin( 0 )
Si θ = 0 alors f ( 0 ) =
=1
ei0
Finalement : f ( θ ) =
cos( θ ) + i sin( θ )
= 1 ∀θ ∈
eiθ
⇒ eiθ = cos( θ ) + i sin( θ )
Proposition * (Relations d’Euler (1707-1783))
cos( θ ) =
eiθ + e − iθ
2
sin( θ ) =
eiθ − e − iθ
2i
∀θ ∈
Démonstration en exercice !
Remarque
Deux nombres complexes z = r ⋅ ei ⋅θ et w = s ⋅ ei ⋅α sont égaux si :
i) r = s
ii) θ = α + k ⋅ 2π
k∈
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P.S. / 2014-2015
15
Nombres complexes / 3 N-A
4.6 Puissances et racines *
• Puissance nième d’un nombre complexe *
Proposition *
Soit z = r ⋅ eiθ un nombre complexe avec z = r , arg( z ) = θ et e le nombre d’Euler.
z n = r n ⋅ e i⋅n⋅θ
n∈
Autrement dit :
Calculer la nième puissance d’un nombre complexe revient à calculer la nième
n
puissance du module et à multiplier par n l’argument. z n = z et arg( z n ) = n ⋅ arg( z )
Démonstration *
Avec n ∈
:
Avec − n ∈
−
n
⎛
⎞ ⎛
⎞
z n = ( reiθ ) = reiθ ⋅ reiθ ⋅ ... ⋅ reiθ = ⎜ r ⋅ r ⋅ ...r ⎟ ⋅ ⎜ eiθ ⋅ eiθ ⋅ ... ⋅ eiθ ⎟ = r n ei (θ +θ + ....+θ ) = r n ei⋅n⋅θ
n
n
⎝ n ⎠ ⎝
⎠
1
1
1
1 1
= n inθ = n ⋅ inθ = r − n ⋅ e − inθ = r − n ⋅ ei⋅( − n )⋅θ
: z −n = n =
n
z
( reiθ ) r ⋅ e r e
Exemples *
a) On veut calculer : ( 2 + 2i )
z = 2 + 2i
6
avec a = 2 et b = 2
6
⇒
z = 8
6
et
π
3π
i ⎤
i
⎡
⎛ 1 ⎞ i6 ⋅π
⎛
⎛ 3π
z = ⎢ 8 ⋅ e 4 ⎥ = ⎜ 8 2 ⎟ e 4 = 512 ⋅ e 2 = 512 ⋅ ⎜ cos ⎜
⎝ 2
⎝
⎣
⎦ ⎝ ⎠
6
arg( z ) =
π
4
⎞
⎛ 3π ⎞ ⎞
⎟ + i sin ⎜
⎟⎟
⎠
⎝ 2 ⎠⎠
= 512 (0 + i ( −1) ) = 0 − 512 ⋅ i
b) On veut calculer : ( −1 + i )
z = −1 + i
z
−8
−8
avec a = −1 et b = 1 ⇒
3π
i
⎡
⎤
= ⎢ 2e 4 ⎥
⎣
⎦
−8
z = 2
et arg( z ) =
3π
4
−8
3π
− i8⋅
⎛ 1⎞
1
= ⎜ 2 2 ⎟ ⋅ e 4 = 2 −4 ⋅ e − i6 π =
⋅ ( cos( −6π ) + i sin( −6π ) )
16
⎝ ⎠
1
1
=
⋅ ( 1 + 0i ) =
+ 0i
16
16
Remarque *
Pour calculer efficacement la puissance nième d’un nombre complexe, il faut d’abord l’écrire sous
forme exponentielle.
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
16
Nombres complexes / 3 N-A
• Racine nième d’un nombre complexe *
Exemple *
On veut calculer : 2 + 2 3i
y
Posons z = 2 + 2 3i et w la racine carrée de z.
π
2
2
z = w ⇔ w2 = z (par définition de la racine carrée).
D’où
π
3
On cherche toutes les solutions w ∈ de l’équation
en écrivant z et w sous forme exponentielle :
w0
1
w2 = z
⇔
⇔
( se )
iβ
2
= 4e
s 2ei 2 β = 4e
Donc s 2 = 4
⇔s=2
Si k = 0
i
i
π
π
3
-2
π
1
0
2 2π
3
et
2β =
et
β=
→ w0 = 2e
Si k = 1 → w1 = 2e
Si k = 2
0
-1
π
6
π
3
π
6
+ k 2π
+ kπ
⎛π
⎞
i ⎜ +0⋅π ⎟
⎝6
⎠
⎛π
⎞
i ⎜ +1⋅π ⎟
⎝6
⎠
7π
6
k∈
-1
w1
k∈
-2
3π
2
π
⎡
⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎤
= 2e 6 = 2 ⎢ cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ ⎥ = 3 + i
⎝6⎠
⎝ 6 ⎠⎦
⎣
i
= 2e
i
7π
6
⎡
⎛ 7π
= 2 ⎢ cos ⎜
⎝ 6
⎣
⎞
⎛ 7π ⎞ ⎤
⎟ + i sin ⎜
⎟⎥ = − 3 − i
⎠
⎝ 6 ⎠⎦
→ w2 = w0
S=
{
3 + i ;− 3 − i
}
Cas général *
Soit z = r ⋅ eiα on cherche w = s ⋅ eiβ tel que w = n z ⇔ wn = z . Autrement dit, on cherche toutes
les solutions (complexes) de l’équation polynomiale de degré n : wn = z
(s ⋅ e )
iβ
wn = z ⇔
Donc s n = r
n
= r ⋅ eiα
s n ⋅ einβ = r ⋅ eiα
⇔
nβ = α + k 2π
et
iβ
Finalement : w = s ⋅ e = r ⋅ e
n
i
k∈
α + k 2π
= r ⋅e
n
n
⇔
s=nr
2π
α
i⋅ +i⋅k
n
n
= r ⋅e
n
β=
et
i⋅
α
n
⋅e
i⋅k
α + k 2π
n
k∈
2π
n
On obtient les n racines nièmes de z :
w= z =
n
n
z ⋅e
i
arg( z )
n
⋅e
i⋅k ⋅
2π
n
k ∈ {0,1, 2,......,n − 1} et
n∈
∗
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
17
Nombres complexes / 3 N-A
x
Remarques *
a) Tout nombre complexe non nul admet dans
n racines nièmes.
Elles sont « les sommets » d’un polygone régulier à n côtés dont le centre est l’origine du repère.
b) Les racines nièmes d’un nombre réel sont deux à deux conjuguées (c.-à-d. le polygone est
symétrique par rapport à l’axe réel)
c) Les solutions de l’équation wn = 1 sont appelées racines nièmes de l’unité.
Exercice 14 *
a) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle : (Réponse en valeur exacte)
z=
3 1
1
w
1
+ i ; w = 1− 3i ; z ; − z ;
; z⋅w ;
; w2 ; 2
2 2
z
z
w
b) Placer ces nombres dans le plan complexe ci-dessous :
y
90 =
2
π
2
60 =
π
3
45 =
π
4
30 =
1
π =180
π
6
0 =0
-2
-1
0
1
2 360 = 2 π
x
-1
-2
270 =
3π
2
Exercice 15 *
Soit z = r ⋅ eiθ un nombre complexe avec z = r et arg( z ) = θ .
Considérons l’application
f :
→
z → f ( z ) = z ⋅ eiα
Quelle est la transformation du plan associée à cette application linéaire f ?
Justifier à l’aide d’un dessin et d’un petit calcul.
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
18
Nombres complexes / 3 N-A
Exercice 16 *
a) Démontrer algébriquement les relations suivantes.
b) Démontrer géométriquement les relations suivantes (faire un dessin dans le plan complexe).
1) cos( α ) =
eiα + e − iα
2
∀α ∈
2) sin( α ) =
eiα − e − iα
2i
∀α ∈
Exercice 17 *
Simplifier l’écriture : (Réponse en valeur exacte)
⎛ −i π2 ⎞ ⎛ i π3 ⎞ ⎛ i π3 ⎞
1) ⎜ 3e ⎟ ⎜ 4e ⎟ ⎜ 2e ⎟
⎝
⎠⎝
⎠⎝
⎠
4) e
i
4π
3
+e
−i
2π
3
10)
i
2π
9
−e
2i
3
π
π
i
5) e 2 + e
3) eiπ + 1
i + 2π
2
i
7) ei 9π − 1
e
⎛ i π3 ⎞
⎜ 3e ⎟
2) ⎝ 5π⎠
i
2e 8
+e
π
i +4π
2
π
8) ei0π + e 2 + eiπ + e
−i
2π
9
i
3π
2
6) eiπ + e − iπ + ei3π + e − i3π
+ e i 2π
9)
11) 5 ei0 + 3 e − i0
2π ⎞
⎛
i⎜ α +
⎟
3 ⎠
13) r ⋅ eiα + s ⋅ e − iα
14) r ⋅ e ⎝
e
i
2π
9
12) 5 e
+e
2
i
2π
3
−i
+ 3e
i α + β +γ )
4π ⎞
⎛
i ⎜ −α +
⎟
3 ⎠
+ r ⋅e ⎝
15)
e(
e
2π
9
i
4π
3
⋅ e − iγ
− i (α + β )
Exercice 18 *
a) Soit le nombre complexe v = −1 − i .
Écrire sous forme algébrique les nombres : v 15 ; v −15 ; v 15 ; − v 15 ;
1
v 15
(Réponse en valeur exacte)
b) Soit le nombre complexe z = 3 − i .
i) Déterminer, la plus petite des puissances entières positives de z, qui permet l’obtention
d'un réel.
ii) Déterminer, la plus petite des puissances entières positives de z, de façon à ce que son
module soit plus grand que 1000.
Exercice 19 *
a) Calculer dans
: 1)
3
1
2)
3
i
3)
4
1+ i
4)
4
−1
5)
5
1
(Réponse en valeur exacte et sous forme exponentielle)
b) Représenter dans le plan complexe les solutions de ces équations.
c) Démontrer que :
Tout nombre complexe non nul admet dans
n racines nièmes.
Elles sont « les sommets » d’un polygone régulier à n côtés dont le centre est l’origine
du plan complexe.
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
19
Nombres complexes / 3 N-A
4.7 Théorème fondamental de l’algèbre *
Définition *
• On appelle polynôme (à coefficients complexes) de degré n ≥ 0 une expression de la forme :
P( z ) = an z n + an-1 z n-1 + ...... + a2 z 2 + a1 z + a0
avec a0 , a1 , .... , an∈
et an≠0.
deg( P ) = 2
n∈
• z est racine de P si P ( z ) = 0
Exemples *
a) P( z ) = (1 + i ) z 2 + iz + 3
deg( P ) = 2
b) P( z ) = z 2 + 2z + 5
c) P( z ) = z 3 + 3i z 2 − 2z + 6
deg( P ) = 3
d) P( z ) = z 5 + 2z + ( 3 + 2i )
deg( P ) = 5
Théorème fondamental de l’algèbre *
Dans , tout polynôme de degré n ≥ 1 peut être écrit comme un produit de polynômes
du premier degré et de façon unique.
(La démonstration de ce théorème, sort du cadre de ce cours et ne sera donc pas exposée ici).
Exemples *
a) P(z)= z + 1
deg(P)=1
b) Q(z)= z 2 + 4 = ( z + 2i )( z − 2i )
deg(Q)=2
c) R(z)=z 2 - 10z+25 = (z-5)(z-5)
deg(R)= 2
d) S( z ) = z 3 + z 2 − 26 z + 24 = ( z + 6 ) ⋅ ( z − 1) ⋅ ( z − 4 )
deg(S)=3
d) T( z ) = z 3 + 3i z 2 − 2z = z ( z + i )( z + 2i )
deg(T)=3
e) U( z ) = z 4 + 5z 2 + 4 = ( z 2 + 1)( z 2 + 4 ) = ( z + i )( z − i )( z + 2i )( z − 2i )
deg(U)=4
Δ <0
Δ <0
Δ <0
Remarque *
Dans
, les seuls polynômes qui ne soient pas factorisables sont ceux de degré 1.
Corollaire * (conséquence du théorème fondamental de l’algèbre)
Dans , une équation polynomiale de degré n admet exactement n racines complexes
(en tenant compte de leur multiplicité).
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
20
Nombres complexes / 3 N-A
Exemples *
a) L’équation polynomiale de degré 3 : z 3 + 3i z 2 − 2z = 0 ⇔ z ( z + i )( z + 2i ) = 0
possède 3 racines complexes.
0 est de multiplicité 1, -i est de multiplicité 1 et -2i est de multiplicité 1.
b) L’équation polynomiale de degré 7 : ( z − 3 ) ⋅ ( z + 3i ) ⋅ ( z + 2i ) = 0
2
4
possède 7 racines complexes.
3 est de multiplicité 2, −3i est de multiplicité 4 et −2i est de multiplicité 1.
c) L’équation polynomiale de degré 1000 : z 1000 + 3iz − 1 = 0 possède 1000 racines complexes.
Démonstration *
Chaque facteur du 1er degré donne une solution et il y en a exactement n dans la décomposition d'un
polynôme de degré n.
Remarques *
a) Remarquons que le théorème fondamental de l’algèbre ne donne pas de méthode de calcul
pour trouver les racines d'une équation polynomiale de degré n ; c’est un théorème d’existence !
b) Dans , une équation polynomiale (à coefficients réels) de degré n admet au plus n racines
réelles (en tenant compte de leur multiplicité).
Théorème *
Dans , les racines d’un polynôme P à coefficients réels apparaissent par couples
de racines conjuguées.
()
Autrement dit : si P(z)=0 ⇔ P z =0
Démonstration *
Soit z une racine de P.
On a P( z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n = 0 et a0 , a1 , .... , an∈
et an≠0.
n∈
En prenant les conjugués : a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n = 0 = 0 .
Propriétés du conjugué : z + w = z + w et z ⋅ w = z ⋅ w .
Ce qui nous permet d’écrire :
a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n = 0
⇔ a0 + a1 ⋅ z + a2 ⋅ z 2 + ... + an ⋅ z n = 0
()
()
⇔ a0 + a1 z + a2 z 2 + .... + an z n = 0 ⇔ a0 + a1 z + a2 z
2
()
+ .... + an z
n
(a ∈
i
⇔ ai = ai
)
= 0 ⇔ P( z ) = 0
Ce qui montre que z est également racine de P .
Remarque *
La réciproque du théorème est fausse. Contre-exemple : P ( z ) = i ( z − i )( z + i ) = iz 2 + i .
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
21
Nombres complexes / 3 N-A
Exemples *
a) z 2 + 2z + 5 = 0
(Équation polynomiale de degré 2 à coefficients réels)
Viète : a = 1 ; b = 2 ; c = 5
Δ = b 2 − 4ac = 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = −16 < 0
z1,2 =
−b ± Δ −2 ± −16 −2 ± i 2 ⋅ 16 −2 ± i 2 ⋅ 16
=
=
=
= −1 ± 2i
2⋅a
2
2
2
S = {−1 − 2i ; −1 + 2i}
b) z 2 + iz + 1 = 0
( 2 solutions complexes,deux à deux conjuguées )
(Équation polynomiale de degré 2 à coefficients complexes)
Viète : a = 1 ; b = i ; c = 1
Δ = b 2 − 4ac = i 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = −5 < 0
z1,2 =
−b ± Δ −i ± −5 −i ± i 2 ⋅ 5 −i ± i 2 ⋅ 5 −i ± i ⋅ 5
−1 ± 5
i
=
=
=
=
=
2⋅a
2
2
2
2
2
⎧⎪ ⎛ −1 + 5 ⎞
⎛ −1 − 5 ⎞ ⎫⎪
+
S = ⎨0 + ⎜
i
;0
⎟
⎜
⎟i⎬
2
2
⎪⎩ ⎝
⎠
⎝
⎠ ⎪⎭
c) z 3 -z 2 + z - 1 = 0
( 2 solutions complexes qui ne sont pas conjuguées )
(Équation polynomiale de degré 3 à coefficients réels)
P(1) = 0 ⇔ P(z) = (z -1) ⋅ Q(z)
Divisons P(z) par ( z-1) :
z 3 -z 2 + z - 1
− ( z3 − z 2 )
z −1
z 2 + 1 = Q( z )
z −1
− ( z − 1)
0 = R( z )
Donc : P(z) = z 3 -z 2 + z - 1 = (z -1 ) ⋅ (z 2 + 1)
⎧z − 1 = 0
⎧z = 1
⎧z = 1
⎧z = 1
D' ou : (z -1 ) ⋅ (z 2 + 1 ) = 0 ⇔ ⎨ 2
⇔ ⎨ 2
⇔ ⎨ 2 2 ⇔ ⎨
⎩ z = ±i
⎩z + 1 = 0
⎩ z = −1
⎩z = i
S = {1± 0i ; 0 + i ;0 − i}
( 3 solutions complexes,deux à deux conjuguées )
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
22
Nombres complexes / 3 N-A
Corollaire *
Si P est un polynôme à coefficients réels de degré impair, alors celui ci possède au
moins une racine réelle.
Démonstration en exercice.
Exemple *
P( z ) = z 3 -z 2 + z - 1 est un polynôme à coefficients réels de degré impair (degré 3),
et il possède une racine réelle qui est z = 1 .
Exercice 20 *
a) Résoudre dans
les équations polynomiales suivantes :
Répondre sous forme algébrique et en valeur exacte.
1) 2z 3 +6i z 2 + 8z = 0
2) z 3 + 2z 2 + z + 2 = 0
3) w4 - w2 - 6 = 0 (Indication : utiliser la substitution : y = w2)
4) w4 - 3w2 + 1 = 0 (Indication : utiliser la substitution : y = w2)
b) Que peut-on dire sur le nombre de racines complexes d'un polynôme P de degré n ?
Exercice 21 *
a) Résoudre dans
les équations polynomiales suivantes.
Répondre sous forme exponentielle et en valeur exacte.
⎛ 3 1 ⎞
− i⎟
1) z 3 = 64 ⎜
2
2 ⎠
⎝
⎛ 2
2 ⎞
−
2) z 2 = 49 ⎜
i⎟
2
2
⎝
⎠
⎛
2
2 ⎞
−
3) z 4 = 81 ⎜ −
i⎟
2
2
⎝
⎠
b) Que peut-on dire sur le nombre de racines complexes d'un polynôme P de degré n ?
Exercice 22 *
a) Résoudre dans
les équations polynomiales suivantes :
Répondre sous forme algébrique et en valeur exacte.
1) 2z 2 − ( 8 +10i ) z − ( 2 − 26i ) = 0
2) (1 + 2i ) z 2 + ( 9 − 2i ) z − (7 + 9i ) = 0
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
23
Nombres complexes / 3 N-A
4.8 Méthode de Cardano-Tartaglia *
Lorsqu’ils sont traduits algébriquement, de nombreux problèmes classiques se ramènent à la
résolution d’équations du troisième degré. Il en est ainsi, par exemple, de la trisection de l’angle,
de la duplication du cube, ou de la construction de certains polygones réguliers.
e
Au début du XVI siècle, Antonio Fior, de Venise, défie Nicolas Tartaglia, mathématicien de
Brescia, sur la résolution d’une trentaine d’équations du type : x 3 = px + q où p et q sont des
nombres réels.
Niccolò Fontana dit Tartaglia (Brescia 1499 – Venise 1557)
Tartaglia y réussit en 1535, mais son adversaire échoue. Quatre ans après, Jérôme Cardan,
médecin, physicien, astrologue, mathématicien, né à Pavie, parvient à persuader Tartaglia de lui
livrer le secret de ses techniques. En 1545 Jérôme Cardan brise la loi du silence imposée par
Tartaglia, et, avec la publication de son Ars Magna, il offre aux savants de l’époque de
nombreuses résolutions de divers types d’équations du troisième degré.
Cardano Gerolamo (Pavie 1501 – Rome 1576)
Voici la méthode de Cardano-Tartaglia
• Problème :
Déterminer une solution réelle d’une équation du troisième degré du type :
x 3 = px + q avec p,q ∈ .
• Idée (1) : Poser x = u + v (substitution) pour avoir plus de liberté avec deux inconnues.
• On obtient :
( u + v )3 = p( u + v ) + q
⇔ ( u + v )3 = p( u + v ) + q
⇔ u 3 + 3u 2 v + 3uv 2 + v 3 = pu + pv + q
⇔ u 3 + v 3 + 3uv ( u + v ) = p ( u + v ) + q
⎧u 3 + v 3 = q
⎧u 3 + v 3 = q
⎪
• On obtient le système d’équation non linéaire : ⎨
⇔ ⎨ 3 3 p3
⎩3uv = p
⎪u ⋅ v =
27
⎩
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
24
Nombres complexes / 3 N-A
• Idée (2) : Poser y1 = u
⎧ y1 + y2 = q
⎪
et y2 = v (substitution) et on obtient : ⎨
p3
⋅
=
y
y
⎪ 1 2 27
⎩
3
3
p3
• y1 et y2 sont solutions de l’équation de degré 2 : y − qy +
=0
27
2
⎧ y1 + y2 = q
⎧ y2 = q − y1
p3
p3
⎪
⎪
2
3
3 ⇔ y ⋅ (q − y ) =
⇔
⇔
y
−
qy
+
= 0 (Idem pour y2 )
car ⎨
⎨
p
p
1
1
1
1
27
27
⎪ y1 ⋅ y2 = 27
⎪ y1 ⋅ y2 = 27
⎩
⎩
ème
• Résolvons l’équation du 2
p3
a = 1 ; b = −q ; c =
27
et y1,2 =
−b ± Δ
=
2a
p3
degré « associée » : y − qy +
= 0 à l’aide de la formule de Viète.
27
2
4 p3
Δ = b − 4ac = q −
27
2
avec
− ( −q ) ± q2 −
2
2
4 p3
2
3
27 = q ± ⎛ q ⎞ − ⎛ p ⎞ .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
• Finalement :
u 3 = y1 et v 3 = y2
2
⇔ u3 =
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
+ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
2
3
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
⇒u = 3 + ⎜ ⎟ −⎜ ⎟
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
2
3
2
et v =
2
Et x = u + v =
3
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
− ⎜ ⎟ −⎜ ⎟
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
et v 3 =
3
3
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
− ⎜ ⎟ −⎜ ⎟
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
3
2
3
q
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
⎛q⎞ ⎛ p⎞
+ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ + 3 − ⎜ ⎟ −⎜ ⎟
2
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
3
Exemples *
a) x 3 = 6 x + 6 avec
p = 6 et q = 6 .
• Substitutions : x = u + v ; y1 = u 3 ; y2 = v 3
⎛ 2
⎞
p3
• Équation du 2 degré associée : y − 6 y + 8 = 0 ⎜ y − qy +
= 0 ⎟ avec Δ = 4 > 0
27
⎝
⎠
⇒ y1 = 4 et y2 = 2
ème
2
• Finalement : u 3 = 4 et v 3 = 2 ⇒ u = 3 4
et v = 3 2
⇒ x = u+ v =
3
4 +32
• Remarque :
Dans ce cas, nous obtenons avec la méthode de Cardano-Tartaglia une solution réelle.
Nous savons selon le théorème fondamental de l’algèbre qu’il y a encore deux solutions
complexes. Comment les obtenir ? (voir exercice 23*)
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
25
Nombres complexes / 3 N-A
p = 15 et q = 4 .
b) x 3 = 15x + 4 avec
• Substitutions : x = u + v ; y1 = u 3 ; y2 = v 3
⎛
⎞
p3
• Équation du 2ème degré associée : y 2 − 4 y + 125 = 0 ⎜ y 2 − qy +
= 0 ⎟ avec Δ = −484 < 0
27
⎝
⎠
y1,2 =
−b ± Δ 4 ± −484
=
= 2±
2a
2
( -1) ⋅ 121 = 2 ±
i 2 ⋅ 121 = 2 ± 11i ( nbr. complexes )
Pour pouvoir poursuivre son raisonnement, Raphaël Bombelli, dans son unique ouvrage, L’Algebra,
invente et écrit dans les années 1560 et publié en 1572, année de sa mort, quelque chose dont le
carré est -1 ; il nomme cette chose plus de moins (piu di meno).
Plus tard (1777), Euler notera ce nombre i (pour imaginaire ou impossible), vérifiant i 2 = −1 .
• Finalement : u 3 = 2 + 11i et v 3 = 2 − 11i
En utilisant les mêmes règles de calcul que dans
et en remplaçant i 2 par -1, on constate
que :
( 2 + i )3 = 23 + 3 ⋅ 2 2 i + 3 ⋅ 2 ⋅ i 2 + i 3 = 2 + 11i
( 2 − i )3 = 23 + 3 ⋅ 2 2 ( −i ) + 3 ⋅ 2 ⋅ ( −i ) + ( −i ) = 2 − 11i
Donc u = 2 + i
et
v = 2−i
2
3
⇒
x = u + v =( 2 + i ) + ( 2 − i ) = 4
• Remarques :
Dans ce cas, nous obtenons avec la méthode de Cardano-Tartaglia une solution réelle.
Nous savons selon le théorème fondamental de l’algèbre qu’il y a encore deux solutions complexes.
Comment les obtenir ? (voir exercice 23*)
Ces choses dont le carré est négatif vont être peu à peu utilisées dans les calculs algébriques,
d’abord comme instruments pratiques pour trouver de vraies solutions aux équations, puis plus tard
comme solutions d’équations, qualifiées alors d’impossibles, mais utiles pour généraliser des
résultats ou des théorèmes.
e
L’apparition au XVI siècle de ces nouveaux nombres en algèbre entraîna de vives polémiques. Il
fallut attendre près de deux siècles pour qu’ils obtiennent un réel statut de la part de la communauté
mathématique. Ils sont appelés aujourd’hui nombres complexes.
e
En particulier, au XVII siècle, on commence à utiliser un résultat qui deviendra, lorsqu’il sera
démontré, le théorème fondamental de l’algèbre : Toute équation polynomiale de degré n admet n
racines, distinctes ou confondues (si l’on admet aussi les racines impossibles).
e
Tout au long du XVIII siècle les nombres imaginaires vont être utilisés dans les calculs sans état
d’âme, mais les questions de sens, presque métaphysiques, ne vont cesser de se poser.
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P.S. / 2014-2015
26
Nombres complexes / 3 N-A
Cas général
Résolution d’une équation du type : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 avec a,b,c,d ∈
.
• On divise par a : on obtient une équation du type : x 3 + β x 2 + γ x + δ = 0
3
β
2
β⎞
β⎞
β⎞
⎛
⎛
⎛
• On pose x = y − (substitution) et on obtient : ⎜ y − ⎟ + β ⎜ y − ⎟ + γ ⎜ y − ⎟ + δ = 0
3
3⎠
3⎠
3⎠
⎝
⎝
⎝
2β 2 y β 3
β⎞
⎛
⇔ y −y β + y
−
+β y −
+
+γ ⎜ y − ⎟+δ = 0
3
9
3⎠
3 27
⎝
3
β2
2
β3
2
• On obtient une équation du type y 3 = py + q pour laquelle on peut appliquer la méthode de
Cardano-Tartaglia.
Exemple :
Résolution de l’équation du 3ème degré : 2x 3 − 12x 2 − 62x + 240 = 0
• On divise par 2 on obtient une équation du type : x 3 − 6 x 2 − 31x + 120 = 0
• On pose x = y + 2 et on obtient :
( y + 2 )3 − 6( y + 2 )2 − 31( y + 2 ) + 120 = 0
⇔ y 3 +6 y 2 + 12 y + 8 −6 y 2 − 24 y − 24 − 31y − 62 + 120 = 0
⇔ y 3 = 43 y − 42
Exercice 23 *
Résoudre dans
les équations polynomiales de degré 3 suivantes :
Répondre sous forme algébrique et en valeur exacte.
1) x 3 = 6 x + 6
2) x 3 = 15x + 4
4) x 3 = 18x + 35
5) x 3 − 7 x − 6 = 0
3) z 3 = 3z − 1
Indications : Utiliser la méthode de Cardano-Tartaglia ainsi que l’écriture exponentielle
des nombres complexes en posant : u = r ⋅ ei⋅θ et v = s ⋅ ei⋅α
Exercice 24 *
Sachant que :
• Dans , une équation polynomiale de degré n admet exactement n racines complexes
(en tenant compte de leur multiplicité).
• Dans , les racines d’un polynôme P à coefficients réels apparaissent par couples
de racines conjuguées.
Démontrer que :
Si P est un polynôme à coefficients réels de degré impair, alors celui ci possède au moins
une racine réelle.
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P.S. / 2014-2015
27
Nombres complexes / 3 N-A
4.9 L’ensemble de Mandelbrot *
Né en Pologne en 1924, le mathématicien Benoît Mandelbrot émigre en France en 1936.
Il travaille en 1958 pour IBM au centre de recherche Thomas B. Watson à New York.
Il enseigne maintenant en Sciences Mathématiques à l'Université Yale.
En 1979, Benoît Mandelbrot s'amusa avec une équation de récurrence toute simple :
⎧ z0 = 0
⎨
2
⎩ z n+ 1 = zn + c
c, zi ∈
∀i ∈
dont le développement est z0 , z0 2 + c , ( z0 2 + c ) + c , ...
2
Pour chaque nombre complexe c associé à un pixel de son écran, il obtint une suite de nombres
complexes. Il calcula le module de chacun des termes de la suite | z0 | , | z1 | , | z2 | , | z3 | , | z4 | , ...
Lorsque la suite des modules convergeait (ne tendait pas vers l'infini), le point c était considéré
comme appartenant à l'ensemble recherché. L'ensemble de Mandelbrot venait de naître.
Il peut être démontré que dès que le module de zn est strictement plus grand que 2, la suite
diverge vers l'infini, et donc c est en dehors de l'ensemble de Mandelbrot. Cela nous permet
d'arrêter le calcul pour les points ayant un module strictement supérieur à deux et qui sont donc en
dehors de l'ensemble de Mandelbrot.
Exemples
a) Donnons à c la valeur -0.1 + i correspondant au point (-0.1 ; 1) de notre grille.
⎧⎪ z0 = 0 + 0i
⎨
2
⎪⎩ zn+ 1 = zn +
( -0.1 + i )
c, zi ∈
∀i ∈
Pour cette valeur de c, on obtient une suite de nombres complexes.
z0 = 0 + 0 i
| z0 | = 0
z1 = -0.1 + i
| z1 | = 1.005
z2 = -1.09 + 0.8 i
| z2 | = 1.352
z3 = 0.448 - 0.744 i
| z3 | = 0.869
z4 = -0.453 + 0.333 i
| z4 | = 0.562
z5 = -0.006 + 0.698 i
| z5 | = 0.698
z6 = -0.586 + 0.992 i
| z6 | = 1.153
z7 = -0.738- 0.165 i
| z7 | = 0.756
z8 = 0.417 + 1.244 i
| z8 | = 1.312
z9 = -1.473 + 2.038 i
| z9 | = 2.514
Puisque | z9 | est supérieur à 2, la suite des modules ne convergera pas. Ce point n'appartient
donc pas à l'ensemble de Mandelbrot.
b) c = 0+0i qui correspond au point (0;0) est un point appartenant à l'ensemble de Mandelbrot
car la suite des modules converge vers 0.
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P.S. / 2014-2015
28
Nombres complexes / 3 N-A
Dessiner l'ensemble de Mandelbrot
On considère généralement la portion du plan complexe ayant comme partie réelle, les valeurs entre
-2.5 et 1.5 et comme partie imaginaire, les valeurs entre -1.5 et 1.5. Cette portion du plan complexe
est subdivisée de façon à former une grille dont les éléments (pixels) seront associés à des valeurs
de c. Pour chaque valeur de c, on obtient une suite dont les modules peuvent converger ou diverger.
En pratique, on considère que la suite des modules converge si les 30 premiers modules sont
inférieurs à 2 ; dans ce cas, on "colorie" en blanc le point (pixel) de la grille. Après avoir considéré
tous les points de la grille, on obtient un ensemble de points ayant la même couleur : l'ensemble de
Mandelbrot. Il en résulte que l'image affichée n'est qu'une approximation du vrai ensemble.
Avec le logiciel << Mathematica 5 >>
mandelbrotEquation=Compile[{{C,_Complex},{Nmax,_Integer},
{rmax,_Real}},Length[FixedPointList[#^2 + C&,C,Nmax,SameTest
->(Abs[#2]> rmax&)]]];
showMandelbrotSet[{zmin_,zmax_},Nmax_,rmax_]:=Module[{x,y},DensityPlot[mandelbro
tEquation[x+Iy,Nmax,rmax],Evaluate[{x,Re[zmin],Re[zmax]}],Evaluate[{y,Im[zmin],I
m[zmax]}],ColorFunction→GrayLevel,
AspectRatio ->Automatic,PlotPoints →100];
]/;Im[zmin]≠0 || Im[zmax]≠0;
showMandelbrotSet[{-2.5 - 1.5I,1.5 + 1.5I},30,5.0];
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1
0
1
100 ×100 pixels
On peut "colorier" les points à l'extérieur de l'ensemble de Mandelbrot en utilisant des nuances de
gris qui dépendent du nombre de termes calculés avant d'obtenir un module supérieur ou égal à 2.
Les points d'une même couleur peuvent être interprétés comme étant des points s'éloignant à la
même vitesse de l'ensemble de Mandelbrot.
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
29
Nombres complexes / 3 N-A
Géométrie fractale
L'ensemble de Mandelbrot est fractal et, en explorant l'image à des grossissements divers, on peut y
trouver une infinité de détails spectaculaires. Comme pour toute figure fractale une caractéristique
fondamentale est l'autosimilarité, c'est-à-dire qu'on va y retrouver à n'importe quel grossissement
des structures semblables (ce qui ne veut pas dire strictement identiques) à celles qu'on observe à
des grossissements moins élevés. En particulier une propriété très spectaculaire est la présence,
cachée au milieu de structures variées, de mini ensembles de Mandelbrot.
1. L'ensemble de Mandelbrot
2. Zoom dans la partie supérieure de la figure 1
3. Zoom dans la partie supérieure de la figure 2
4. Zoom dans la branche de gauche de la figure 3
Fractales dans la nature
Le chou romanesco, est l'un des exemples les plus flagrants de fractale observable dans la nature.
Voici à quoi ressemble un chou romanesco :
On observe une similarité entre un "cône" et un "sous-cône" ! Le chou romanesco présente bien la
propriété d'autosimilarité propre aux fractales.
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
30
Nombres complexes / 3 N-A
4.10 Ce qu’il faut absolument savoir *
1♥ * Connaître la définition d’un nombre complexe
ok
2♥ * Calculer la somme, le produit, le conjugué et le quotient de deux nombres
complexes
ok
3♥ * Comprendre que
ok
est un corps commutatif
4♥ * Connaître les propriétés du conjugué
ok
5♥ * Représenter un nombre complexe dans le « plan complexe »
ok
6♥ * Connaître la définition du module et de l’argument d’un nombre complexe
ok
7♥ * Déterminer la forme trigonométrique d’un nombre complexe
ok
8♥ * Connaître et comprendre le théorème sur le produit et le quotient de
deux nombres complexes
ok
9♥ * Connaître la formule de Moivre
ok
10♥ * Déterminer la forme exponentielle d’un nombre complexe
ok
11♥ * Connaître les relations d’Euler
ok
12♥ * Calculer la puissance nième d’un nombre complexe
ok
13♥ * Calculer la racine nième d’un nombre complexe
ok
14♥ * Connaître et comprendre le théorème fondamental de l’algèbre
ainsi que ses corollaires
ok
15♥ * Résoudre une équation polynomiale du 3ème degré à l’aide de la méthode
de Cardano-Tartaglia
ok
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
31
Nombres complexes / 3 N-A
4.11 Solutions des exercices *
Ex 1 *
1)
a) −4 + i
b) −4 + i
c) 15 − 8i
d) −15 + 8i
e) 11 + 0i
f) 11 + 0i
g) −19 − 17i
h) −19 − 17i
i) −42 + 104i
j) −42 + 104i
k) 39 + 3i
l) 39 + 3i
2)
Les résultats a) et b) illustrent la commutativité de l'addition.
Les résultats c) et d) illustrent la non commutativité de la soustraction.
Les résultats e) et f) illustrent l’associativité de l'addition.
Les résultats g) et h) illustrent la commutativité de la multiplication.
Les résultats i) et j) illustrent l’associativité de la multiplication.
Les résultats k) et l) illustrent la distributivité de la multiplication sur l'addition.
Ex 2 *
a) Re( z ) = 4 et Im( z ) = −3
b) Re( z ) = 4 Im( z ) − 3
c) Re( z ) = 4 et Im( z ) = −4
d) Re( z ) = −4 Im( z ) = −4
e) Re( z ) = −1 Im( z ) = 1
f) Re( z ) = −2 Im( z ) = −1
g) Re( z ) = 3 Im( z ) = 3
Ex 3 *
a)
i0 = 1
i1 = i
i 2 = −1
i 3 = −i
i4 = 1
i5 = i
i 6 = −1
i 30 = −1
i 7 = −i
i 31 = −i
i8 = 1
….
….
i 1001 = i
i 28 = 1
i 29 = i
b) 1 + i 1 + i 2 + i 3 + i 4 + ..... + i 1995 = 0
Ex 4 *
i) ii) et iii)
a' =
a
( a + b2 )
b' = −
2
b
a + b2
2
Si z = a + bi alors z' = a' + b' i =
iv) z' est l' inverse de z noté z −1 ou
1
( a − bi )
( a + bi ) ⋅ ( a − bi )
1
.
z
Ex 7 *
4 ⎫
⎧
a) S = ⎨0 + 0i ;0 − i ⎬
3 ⎭
⎩
⎧ 4 1 ⎫
d) S = ⎨ − − i ⎬
⎩ 3 3 ⎭
b) S = {2 + 0i
e) S = {2 − i }
f) S = {1 + 2i ;2 + 2i}
g) S = {0 + 2i;4 − i}
h) S = {0 − 3i; −4 + 0i}
i) S = 0 − i 7 ;0 + i 7
k) S = {0 + i;0 − 3i}
3
1
3 ⎪⎫
⎪⎧ 1
l) S = ⎨ − −
⋅i ; − +
⋅i⎬
2 2 ⎭⎪
⎪⎩ 2 2
{
j) S = − 3 + 0i ; 3 + 0i
}
}
⎧ 1 12 ⎫
c) S = ⎨ + i ⎬
⎩5 5 ⎭
{
}
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
32
Nombres Complexes 3 N-A
Ex 8 *
a) 0 = 0 + 0 ⋅ i (élément neutre pour l’addition)
b) −3 + 4i est le symétrique du vecteur 3 − 4i pour l’addition.
c) Oui car : 1( a1 + b1i ) = 1 ⋅ a1 + 1 ⋅ b1i = a1 + b1i
d) [1, i ] est une base (canonique) de ^ .
e) 4 + 8i = 4 ⋅ 1 + 8 ⋅ i et
[ 2, 2i ]
est une base de ^ .
4 + 8i = 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2i
f) dim (^ ) = 2
g) W = {b ⋅ i b∈ \ } est un sous-espace vectoriel de ^ (engendré par i).
W = {i;2i;3i} n’est pas un sous-espace vectoriel de ^ .
h) [ i ] est une famille libre et non génératrice de ^ .
i) [ 1,i,2i ] est une famille génératrice et pas libre de ^ .
j) [ i,2i ] est une famille liée et non génératrice de ^ .
Ex 9 *
a)
z1= 1 ;
z2 = i ;
z3 = -1 ;
z4 = -i ;
z5 = 2 - i ;
z6 = 2i ;
y
z7 = 1+i ;
z8 = -3- 2i.
Axe imaginaire
5
4
z6-z5
3
2
-z5
1
z6
z2
z3
-5
-4
-3
-2
z7
z1
-1
1
z2+z8
-1
z8
-2
z4
z5+z7
2
3
4
5
x
Axe réel
z5
-3
-4
-4z2
-5
b) z2 + z8 =-3- i ;
z5 + z7 = 3+0i
;
c) Oui, ils se notent dans ^ : z = a + 0i
e) Sur l'axe vertical : Oy
z6 - z5 = -2+3i ;
a ∈\
-4 ⋅ z2 =-4i
d) Sur l'axe horizontal : Ox
f) nombres imaginaires purs.
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P.S. / 2014-2015
33
Nombres Complexes 3 N-A
Ex 10 *
a) et b)
1) arg( z1 ) = 0
2) arg( z2 ) =
3) arg( z3 ) =
π
4
π
2
et
z1 = 1
et
z2 = 3 2
et
z3 = 2
3π
2
z4 = −2 + 3i 13 ⋅ ( cos ( 2.16 ) + i ⋅ sin ( 2.16 ) )
z5 = −1 + 0i = 1 ⋅ ( cos (π ) + i ⋅ sin (π ) )
z5 = 1
et
z6 = 13
z6 = −2 − 3i 13 ⋅ ( cos ( 4.12 ) + i ⋅ sin ( 4.12 ) )
z7 = 3
⎛
⎛ 3π ⎞
⎛ 3π
z7 = 0 − 3i = 3 ⋅ ⎜ cos ⎜
⎟ + i ⋅ sin ⎜
⎝ 2 ⎠
⎝ 2
⎝
6) arg( z6 ) ≅ 4.12 et
7) arg( z7 ) =
⎛
⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎞
z2 = 3 + 3i = 3 2 ⋅ ⎜ cos ⎜ ⎟ + i ⋅ sin ⎜ ⎟ ⎟
⎝4⎠
⎝ 4 ⎠⎠
⎝
⎛
⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎞
z3 = 0 + 2i = 2 ⋅ ⎜ cos ⎜ ⎟ + i ⋅ sin ⎜ ⎟ ⎟
2
2 ⎠⎠
⎝
⎠
⎝
⎝
z4 = 13
4) arg( z4 ) 2.16 et
5) arg( z5 ) = π
z1 = 1 + 0i = 1 ⋅ ( cos (0 ) + i ⋅ sin (0 ) )
et
8) arg( z8 ) ≅ −0.46 et
z8 = 5
z8 = 2 − i ⎞⎞
⎟⎟
⎠⎠
5 ⋅ ( cos ( −0.46 ) + i ⋅ sin ( −0.46 ) )
Ex 11 *
⎛
⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎞
z = 1 ⎜ cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ ⎟
⎝4⎠
⎝ 4 ⎠⎠
⎝
y
⎛
⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎞
w = 2 ⋅ ⎜ cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ ⎟
⎝3⎠
⎝ 3 ⎠⎠
⎝
z⋅w
2
⎛
⎛ π⎞
⎛ π ⎞⎞
z = 1 ⎜ cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎟
⎝ 4⎠
⎝ 4 ⎠⎠
⎝
⎛
⎛ 5π
− z = 1 ⎜ cos ⎜
⎝ 4
⎝
z3
z4
π =180D
-2
-1
1
0
-z
⎛
⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎞
z 2 = 1 ⎜ cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ ⎟
⎝2⎠
⎝ 2 ⎠⎠
⎝
-2
⎞
⎛ 3π ⎞ ⎞
⎟ + i sin ⎜ 4 ⎟ ⎟
⎠
⎝
⎠⎠
0D = 0
2 360D = 2 π
z = 1/z
-1
⎛
w
⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎞
= 2 ⋅ ⎜ cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ ⎟
z
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠ ⎠
⎝
⎛
⎛ 3π
z = 1 ⎜ cos ⎜
⎝ 4
⎝
π
45D =
4
π
30D =
6
z
1
π
3
w/z
⎛
⎛ 7π ⎞
⎛ 7π ⎞ ⎞
+ i sin ⎜
z ⋅ w= 2 ⋅ ⎜ cos ⎜
⎟
⎟⎟
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠ ⎠
⎝
3
D
w 60 =
z2
⎞
⎛ 5π ⎞ ⎞
⎟ + i sin ⎜ 4 ⎟ ⎟
⎠
⎝
⎠⎠
⎛
1
⎛ π⎞
⎛ π ⎞⎞
= 1 ⎜ cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎟
z
4
⎝
⎠
⎝ 4 ⎠⎠
⎝
π
2
3π
270D =
2
z 4 = 1 ( cos (π ) + i sin (π ) )
Ex 13 *
a) iv ) cos ( 2α ) = 2 cos 2 (α ) − 1
(
sin ( 2α ) = 2 sin (α ) 1 − sin 2 (α )
et
b) iv ) cos ( 3α ) = cos (α ) 4 cos 2 (α ) − 3
)
et
(
sin ( 3α ) = sin (α ) 3 − 4 sin 2 (α )
)
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P.S. / 2014-2015
34
Nombres Complexes 3 N-A
x
y
Ex 14 *
z=e
i
π
6
w = 2e
z=e
−i
−i
2
π
π
90D =
2
π
60D =
3
3
π
45D =
4
π
30D =
6
π
6
− z = ( −1) ⋅ e
i
π
6
=e
i
1
7π
6
π
−i
1
=e 6
z
π =180D
z ⋅ w =2 e
−i
-2
π
-1
0
-z
6
−i
0D = 0
2 360D = 2π
1
π
−i
w
= 2e 2
z
w 2 = 4e
z
1/w2
1/z = z
-1
z⋅w
2π
3
-2 w/z
3π
270D =
2
1 1 i 23π
= e
w2 4
w
w2
Ex 17 *
i
π
2)
1) 24e 6
4) 2 ⋅ e
i
4π
3
27 i 38π
⋅e
2
3) 0
6) −4
5) 3i
⎛ 2π ⎞
9) cos ⎜
⎟
⎝ 9 ⎠
( 5 + 3) + i ⋅ (5 − 3) 3
12) −
2
2
7) −2
8) 1
⎛ 2π ⎞
10) sin ⎜
⎟
⎝ 9 ⎠
11) 8
13) ( r + s ) ⋅ cos (α ) + i ⋅ ( r − s ) sin (α )
2π ⎞
⎛
14) r ⋅ 2 ⋅ cos ⎜ α +
3 ⎟⎠
⎝
15) e (
i 2α + 2 β )
Ex18 *
a) v 15 = −128 + 128i
;
b) i) n = 6
1
1
−
256 256
ii) n = 10
v −15 = −
;
v 15 = −128 − 128i
;
− v 15 = 128 − 128i
;
1
1
1
=−
−
v 15
256 256
Ex 19 *
2π
4π
i
i
⎧
⎫
a.1) S = ⎨ ei0 ;e 3 ;e 3 ⎬
⎩
⎭
( racines 3
ème
de l' unité
⎧ i π i 5π i 3π ⎫
a.2) S = ⎨ e 6 ;e 6 ;e 2 ⎬
⎩
⎭
)
π
9π
17 π
25π
i
i
i
i
⎧
⎫
a.3) S = ⎨ 8 2e 16 ; 8 2e 16 ; 8 2e 16 ; 8 2e 16 ⎬
⎩
⎭
2π
4π
6π
8π
i
i
i
i
⎧
⎫
a.5) S = ⎨1; e 5 ;e 5 ;e 5 ;e 5 ⎬
⎩
⎭
( racines 5
⎧ i π i 3π i 5π i 7 π ⎫
a.4) S = ⎨ e 4 ;e 4 ;e 4 ;e 4 ⎬
⎩
⎭
ème
de l' unité
)
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
35
Nombres Complexes 3 N-A
x
Ex 20 *
a)
1) S = {0 ± 0i ;0 + i ;0 − 4i}
2) S = {−2 ± 0i ;0 + i ;0 − i}
{
3) S= − 3 ± 0i ; 3 ± 0i ; 0 − 2 i ; 0 + 2 i
⎧⎪ 3 + 5
3− 5
4) S = ⎨ −
± 0i ; −
± 0i ;
2
2
⎩⎪
}
3− 5
± 0i ;
2
⎫⎪
3+ 5
± 0i ⎬
2
⎭⎪
b) Dans ^ , une équation polynomiale de degré n admet exactement n racines complexes (en tenant compte de
leur multiplicité).
Ex 21 *
23π
35π
i
i
⎧ i 11π
⎫
1) a) S = ⎨4e 18 ;4e 18 ;4e 18 ⎬
⎩
⎭
15π
i
⎧ i 7π
⎫
2) S = ⎨7e 8 ;7e 8 ⎬
⎩
⎭
13π
21π
29π
i
i
i
⎧ i 5π
⎫
3) S = ⎨3e 16 ;3e 16 ;3e 16 ;3e 16 ⎬
⎩
⎭
b) Dans ^ , une équation polynomiale de degré n admet exactement n racines complexes (en tenant compte de
leur multiplicité).
Ex 22 *
1) S = {3 + i;1 + 4i}
2) S = {1 + i; −2 + 3i}
Ex 23 *
1)
⎛ 34+32⎞
⎛34−32⎞
x 1= ⎜ −
⎟ + i ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ 3
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
x 0 = 3 4 + 3 2 + 0i
S = {x 0 ; x 1 ; x 2 }
2)
x 0 ≅ 4 + 0i
(
)
x 1 = −2 − 3 + 0i ≅ −3.73 + 0i
⎛ 34+32⎞
⎛34−32⎞
x 2= ⎜−
⎟ − i ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ 3
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
(
)
x 2 = −2 + 3 + 0i ≅ −0.27 + 0i
S = {x 0 ; x 1 ; x 2 }
3)
⎛ 2π ⎞
z 0 = 2 ⋅ cos ⎜
⎟ + i ⋅0
⎝ 9 ⎠
S = {z 0 ; z 1 ; z 2 }
⎛ 8π
z 1 = 2 ⋅ cos ⎜
⎝ 9
⎞
⎟ + i ⋅0
⎠
⎛ 4π
z 2 = 2 ⋅ cos ⎜
⎝ 9
⎞
⎟ + i ⋅0
⎠
4)
x 0 = 5 + i ⋅0
S = {x 0 ; x 1 ; x 2 }
5)
x0 = 3 + i ⋅ 0
S = {x 0 ; x 1 ; x 2 }
x 1= −
5
3
+i
2
2
x1 = −2 + i ⋅ 0
x 2= −
5
3
−i
2
2
x 2 = −1 + i ⋅ 0
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P.S. / 2014-2015
36
Nombres Complexes 3 N-A
Notes personnelles
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_______________________________________________________________________________
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_______________________________________________________________________________
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_______________________________________________________________________________
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Notes personnelles
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_______________________________________________________________________________
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_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
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