Nombres complexes / 3e année / version 2014-2015

Picchione Serge 2014-2015
NOMBRES
COMPLEXES *
3ème année (niveau avancé)
4.1 Construction du corps des nombres
complexes * 1
4.2 Opérations dans ^ * 2
4.3 Plan complexe (plan de Gauss) * 7
4.4 Forme trigonométrique d’un nombre
complexe * 9
4.5 Forme exponentielle d’un nombre
complexe * 14
4.6 Puissances et racines * 16
4.7 Théorème fondamental de l’algèbre * 20
4.8 Méthode de Cardano-Tartaglia * 24
4.9 L’ensemble de Mandelbrot * 28
4.10 Ce qu’il faut absolument savoir * 31
4.11 Solutions des exercices * 32

Picchione Serge 2014-2015

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P.S. / 2014-2015 1 Nombres complexes / 3 N-A
4.1 Construction du corps des nombres
complexes *
Le mathématicien Léopold Kronecker (1823 - 1891) exprime l’idée qu’il est
possible de construire, à partir des entiers naturels, de nouveau nombres, par
extensions successives de l’ensemble .
L’équation
x
74 += n’a pas de solution dans
, mais dans ,
{
}
S3
=
−.
L’équation 3x 2= n’a pas de solution dans , mais dans , 2
S3
⎧
⎫
=
⎨
⎬
⎩⎭
.
L’équation 2
x
2= n’a pas de solution dans , mais dans ,
{
}
S2;2=− .
L’équation 2
x
1=− n’a pas de solution dans , mais elle en a dans l’ensemble que voici :
Définitions *
• On admet l’existence d’un nombre « imaginaire », noté i, vérifiant 2 i1
=
−.
• Un nombre complexe z est un nombre de la forme
z
abi
=
+, où a et b sont deux nombres
réels. (forme algébrique)
•zabi=+ , a est la partie réelle de z, notée Re(z)
b est la partie imaginaire de z, notée Im(z).
• L’ensemble des nombres complexes est noté .
Exemples *
111
z 2 3i avec Re( z ) 2 et Im( z ) 3=− + =− =
222
22
z 3i avec Re( z ) et Im( z ) 3
33
=− + =− =
33 3
z 0 i i z est appelé imaginaire pur car Re( z ) 0=−=− =
44 4
z 7 0 i 7 z est appelé réel car Im( z ) 0=+⋅= =
Remarques *
a) On a les inclusions suivantes : ⊂⊂⊂⊂
L’application suivante explique l’inclusion : ⊂
aa0i
→
→+
b) Dans ce chapitre, un nombre réel doit être vu comme
un nombre complexe avec une partie imaginaire nulle.
c) Soit 111 z= a+bi et 222 z= a+bi alors 12 12 12 zz aaetbb
=
⇔= =.
Autrement dit, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et
imaginaires sont égales.

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P.S. / 2014-2015 2 Nombres complexes / 3 N-A
d) Dans ce nouvel ensemble , des nombres complexes, toute équation polynomiale du 2ème degré
admet deux solutions.
• En effet, par exemple l’équation 2 z4=− se résout de la manière suivante :
() ( )( )
2
22 2222
z 4 z ( 1) 4 z 2 i z 2i 0 z 2i z 2i 0 z 2i=−⇔=−⋅⇔=⋅⇔− =⇔− + =⇔=±
{
}
S02i;02i;=+ −
• L’équation 2
z2z50++=
se résout avec la formule de Viète comme suit :
()
2
2222
z 2z 5 0 avec a 1 ;b 2 ;c 5 et b 4ac 16 ( 1) 16 4 i 4i++= = = = Δ=− =−=−⋅=⋅=
()
2
1,2
24i
216 24i
z12i
222
−±
−± − −±
== ==−±
.
Vérifions que 1 z12i=− + est bien solution de notre équation :
22
4
(1 2i) 2(1 2i) 5 14i 4i 2 4i 5 0
−
−+ + −+ + = − + − + + = ok.
Idem pour 2 z12i=− − .
{
}
S12i;12i=−+ − −
4.2 Opérations dans  *
Soit 111 z= a+bi et 222 z= a+bi deux nombres complexes. On définit deux opérations dans :
• la somme : 12 11 22 11 22 1 2 12 z z (a bi) (a bi) a bi a bi (a a ) (b b )i+= + + + =+++ = + + +
• le produit :
(
)( )
2
1 2 1 1 2 2 12 21 12 12 12 12 12 21
zz (a bi)(a bi)aa abiabibbi aa bb ab abi⋅=+ +=+++ = −+ +
En pratique, on effectue la somme et le produit de nombres complexes en appliquant les propriétés
de l’addition et de la multiplication dans et en remplaçant i 2 par -1.
Exemples * Si 12 z23ietz3i=− =+
alors 12 zz(23i)(3i)52i+=− ++=−
2
12
z z ( 2 3i ) ( 3 i ) 2 3 2i 3 3i 3i 9 7i⋅= − ⋅+=⋅+−⋅− =−
• L’opposé de z = a + bi est le nombre complexe noté z' tel que z + z' = z' + z = 0
(élément neutre pour l’addition). Alors z' = -a-bi et on le note usuellement : z' z=− .
Exemple : Si z 2 3i=− alors z 2 3i−=−+ et
(
)
(
)
z + z = z + z 0 0 i
−
−=+⋅
• Comme tout nombre z∈ possède un opposé, on définit la soustraction 12 zz−
comme la somme :
()
12
zz+−
Exemple : Si 12 z23ietz3i=− =+ alors
()
12 1 2
zz z z (23i)(3i) 14i−=+− =− +−−=−−
• Pour tout nombre complexe z = a+bi (forme algébrique), le conjugué de z est le nombre
complexe a - bi, noté z.
Remarque :
()
(
)
22
zz a bi a bi a b⋅= + − = + ∈
Exemple : Si z23i=− alors z23i=+ et
()
2
2
zz 2 3 13⋅= +− =

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P.S. / 2014-2015 3 Nombres complexes / 3 N-A
• L’inverse de z = a + bi est le nombre complexe z' tel que z z' = z' z = 1
⋅
⋅(élément neutre pour
la multiplication). Alors 22
zabi
z' = ab
zz
−
=
+
⋅ et on le note usuellement 1
1
z' z
z
−
== .
Exemple : Si z23i=− alors 1
22
z23i23i23
zi
2 3 13 13 13
zz
−++
== = =+
+
⋅
et
()
123
zz 2 3i i 1 0i
13 13
−⎛⎞
⋅=− ⋅ + =+
⎜⎟
⎝⎠
• Comme tout z' 0 ≠∈ possède un inverse, on définit la division 1
2
z
zcomme le produit 1
2
1
zz
⋅
.
Exemple : Si 12 z23ietz3i=− =+
alors
() ()
12
11
2222
z1z 3i 31311
zz 23i 23i i i
z z 10 10 10 10 10
zz
−
⎛⎞ ⎛ ⎞
=⋅ =⋅ = − ⋅ = − ⋅ − = −
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
Remarque *
On ne peut pas comparer des nombres complexes : 12 12
zzouzz
<
> n’a pas de sens !
Propriétés des nombres complexes *
Les nombres complexes jouissent des propriétés ci-dessous, c’est-à-dire que quelles que soient les
nombres complexes z, v et w , les relations suivantes sont toujours vraies :
1) La somme de deux nombres complexes est un nombre complexe (loi de composition interne).
2) Le produit de deux nombres complexes est un nombre complexe (loi de composition interne).
3) zvvz zvvz+=+ ⋅=⋅ commutativité.
4) z(vw)(zv)w z(vw)(zv)w++ =++ ⋅⋅ =⋅⋅ associativité.
5) 0zz0z 1zz1z+=+= ⋅=⋅= existence d’un élément neutre.
6) -1 -1 z(z)(z)z0 zz z z1+− =− + = ⋅ = ⋅ = existence d’un élément symétrique.
7) z(v w) zv zw⋅+ =⋅+⋅ distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.
En mathématique, un ensemble muni de deux opérations qui satisfont toutes les propriétés énoncées
ci-dessus est appelé un corps commutatif.
Remarques *
a) 000i=+⋅
(élément neutre pour l’addition)
110i=+⋅ (élément neutre pour la multiplication)
b) ;;<+⋅>
, ;;<+⋅> et ;;<+⋅> sont des corps commutatifs
mais pas ;;<+⋅> et ;;<+⋅> .