la fonction logarithme neperien

LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
1
est continue sur l’intervalle ]0, + ∞[, donc elle admet une infinité de primitives
x
sur cet intervalle, dont une seule s’annule en 1.
La fonction inverse x 
§ 1 Définition de la fonction logarithme népérien
Définition
La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction inverse sur ]0, + ∞[ qui prend la valeur
0 en 1.
La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur ]0, + ∞[ , prend la valeur 0
1
en x = 1, est continue sur ]0, + ∞[ et admet pour dérivée la fonction x 
x
§ 2 Propriétés algèbriques
1- Relation fonctionnelle
Théorème
Pour tous les réels a et b strictement positifs, on a ln (a × b) = ln a + ln b
Démonstration :
a étant un nombre réel strictement positif quelconque et x ] 0 ;   [
Soit f(x) = ln (ax) et g(x) = ln x
Les fonctions f et g sont dérivables sur ] 0 ;   [ , comme composée de fonctions dérivables sur ] 0 ;   [ et :
1
1
1
f '(x) = a
et g'(x) =

ax x
x
1
f '(x) = g'(x) donc f et g sont deux primitives de x  sur ] 0 ;   [
x
donc f(x) = g(x) + K avec K constante réelle
f(1) = g(1) +K
d'où : ln(a) = 0 + K et f(x) = g(x) + ln(a)
ainsi : ln(ax) = lnx + lna
2- Logarithme d’un quotient
Propriétés :
Pour tous réels a > 0 et b > 0, ln
Pour tout réel b > 0, ln
a
 lna – lnb
b
1
= - lnb
b
Démonstration :
a
. a =  b , donc lna = ln
b
a

a
  b   ln    ln b d'après la propriété fondamentale
b

b
1/10
a
d'où ln   = lna – lnb
b
1
. Pour a = 1, on a : ln   = ln1 – lnb = - lnb
b
3- Logarithme d’un produit de nombres réels strictement positifs
Propriété :
Pour tous réels a1, a2, …, an de ] 0 ; + ∞ [,
ln ( a1 a2 … an ) = ln a1 + ln a2 + … + ln an
Démonstration :
. pour n = 2, la proposition est vraie : ln(a1a2) = lna1 + lna2, d'après la propriété fondamentale
. on suppose qu'il existe un rang k pour lequel la propriété est vraie :
hypothèse de récurrence : ln (a1a2…ak) = ln a1 + ln a2 + … + ln ak
Alors, ln (a1a2…ak+1) = ln ((a1a2…ak)ak+1) = ln (a1a2…ak) + ln ak+1, d'après la propriété précédente
D'où, ln (a1a2…ak+1) = (ln a1 + ln a2 + … + ln ak) + ln ak+1
Donc la propriété est démontrée au rang k + 1
. Les axiomes de récurrence permettent de conclure que pour tous réels a1, a2, …, an de ] 0 ; + ∞ [,
ln ( a1 a2 … an ) = ln a1 + ln a2 + … + ln an
Propriété :
Pour tout réel a de ] 0 ; + ∞ [, et tout entier relatif n, ln (an) = n ln a
Démonstration :
. dans le résultat précédent, lorsque a1 = a2 = … = an = a, on obtient : pour tout naturel n ≥ 1, pour tout a > 0, ln
an = n ln a
. et si n est strictement négatif, on écrit :
 1 
ln (an) = ln  n  = - ( ln a-n)
a 
Or – n > 0 donc ln (a-n) = -n ln a, et ln (an) = n ln a
. si n = 0, ln an = ln a0 = ln 1 = 0 et n ln a = 0  ln a = 0
4- Logarithme d’une racine carrée
Propriété :
Pour tout réel a de ] 0 ; + ∞ [, ln
a =
1
ln a
2
Démonstration :
a= a  a
donc, d'après la propriété fondamentale, ln a = ln
1
d'où : ln a = ln a
2
a + ln
§ 3 Etude de la fonction logarithme
2/10
a = 2 ln
a
1- Sens de variation de la fonction logarithme népérien sur ]0 ; + ∞[
La fonction x  ln x est définie sur ]0 ; + ∞[
La fonction x  ln x est continue sur ]0 ; + ∞[
La fonction x  ln x est dérivable sur ]0 ; + ∞[
1
Pour tout x de ]0 ; + ∞[, (ln x)’ =
x
Théorème
La fonction x  ln x est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[
2- Résolution d’équations et d’inéquations
Théorème
Pour tous les réels a et b strictement positifs, on a : ln a < ln b si et seulement si a < b
Conséquences :
ln x < 0 si et seulement si 0 < x < 1
ln x > 0 si et seulement si x ∈ ]1 ; + ∞[
3- Limites de la fonction logarithme népérien en 0 et en + ∞
Propriétés
lim ln x  
et
x 
lim ln x  
x 0
x0
Démonstration :
. Soit A un réel strictement positif : peut-on trouver x tel que ln x > A ?
La fonction exponentielle étant strictement croissante, pour que ln x > A, il suffit que eln x > eA , soit x > eA .
Donc lim ln x = +  .
x  
1
On a ln X = - ln x et la limite de X lorsque x tend vers 0 par valeurs positives est +  . Donc
x
lim ln x = lim (- ln X) = - 
. Posons X =
X  
x 0
x0
4- Tableau de variation
x
f ’(x)
+∞
0
+
+∞
Variation
de
f
- ∞--3/10
5- Représentation graphique
y
6
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
e 3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Remarques :
La tangente à la courbe au point d’abscisse x = 1 est la droite d’équation y = x - 1
La courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet l’axe des ordonnées comme asymptote
6- Autres limites
Propriétés
ln x
0
x   x
lim
lim ( x ln x )  0
x 0
x0
Démonstration :
 Par exemple en étudiant la fonction auxiliaire g(x) = x - ln x
g est dérivable sur ]0 ; + ∞[ comme somme de fonctions dérivables sur ]0 ; + ∞[
1
1
g’(x) =
2 x x
g’(x) =
x 2
2x
4/10
Sur ]0 ; + ∞[ le signe de g’(x) est le signe de
x-2
On résoud l’inéquation :
x-2>0
x >2
La fonction racine carrée est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[ :
x>4
donc g’(x) > 0 sur ]4 ; + ∞[ et g’(x) < 0 sur ]0 ; 4[ et g’(4) = 0
g est strictement croissante sur ]4 ; + ∞[ et g est strictement décroissante sur ]0 ; 4[
x
Signe de g’(x)
Variation de g
0
+∞
4
-
+
2 - ln 2
g admet sur ]0 ; + ∞[ un minimum strictement positif (2 – ln 2 ≈ 0,6)
donc pour tout x de ]0 ; + ∞[ g(x) > 0
et pour tout x de ]0 ; + ∞[
ln x < x
pour tout x > 1
on a :
0 < ln x < x
x
ln x
d’où : 0 <
<
x
x
x
1
lim
 lim
=0
x   x
x  
x
ln x
D’après le théorème des gendarmes : lim
=0
x   x
1
1 1
1
 En posant t =
, on a xln x = ln   ln t
x
t t
t
Or, lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, t tend vers +  et on utilise la propriété précédente.
Approximation affine de ln(1+h) pour h proche de 0
lim
h 0
ln( 1  h )
=1
h
L'approximation affine de ln (1 + h) pour h proche de 0, associée à la fonction ln est
donnée par ln(l + h)  ln l + h ln' 1, c'est-à-dire ln (1 + h)  h .
Démonstration :
5/10
ln( 1  h )  ln 1
est le nombre dérivé de la fonction logarithme népérien en 1
h 0
h
ln( 1  h )  ln 1
donc lim
=1
h 0
h
d'où : ln (1 + h)  h
lim
Pour tout entier naturel non nul n :
ln( x )
(1)
lim
 0 (2) lim x n ln x  0
x   x n
x 0
Démonstration :
(1) On pose X = xn
Alors ln X = lnxn = n lnx et
ln x 1 ln X

n X
xn
ln X
ln x
 0, d' où lim n  0
X   X
x   x
Or lim X   et lim
x  
(2) On pose X =
1
x
1
1
ln X
ln   n
n
X
X
X
ln X
Or lim X   et lim  n  0
x 0
X  
X
D'où le résultat d'après la limite d'une fonction composée
xnlnx =
§ 4 Lien avec la fonction exponentielle
Propriété
6/10
• Pour tout réel m, l'équation ln x = m admet une unique solution dans l'intervalle ]0 ; + ∞[ .
De plus, cette solution est le réel em.
• Pour tout a dans ℝ et pour tout b dans ]0; + ∞[ , on a : ln (ea) = a et elnb = b
Remarques
• Comme el = e , on a ln e = 1 .
• Pour tout a dans ℝ et pour tout b dans ]0 ; + ∞[ on a :
ea = b si et seulement si ln b = a .
On dit que la fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont réciproques l'une de l'autre.
• Les courbes d'équations respectives y = ex et y = ln x sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite
d'équation y = x
Démonstration partielle
• La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur ]0 ; + ∞[ et prend toutes les valeurs de
l'intervalle ]- ∞ ; + ∞[ = ℝ. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation ln x = m admet une unique
solution α dans ] 0 ; + ∞[
• Pour a dans ℝ, le réel ea est solution de l'équation ln x = a, donc ln (ea) = a .
Pour b dans ]0 ; + ∞[ , b est l'unique solution de l'équation ln x = ln b , donc b = eln b . On en déduit
sans difficulté l'équivalence ea = b si et seulement si ln b = a.
Exemples
• Soit l'équation, ln (x - 2) = 3
Elle est définie sur I = ]2 ; + ∞[ .On a
ln (x - 2) = 3 si et seulement si x – 2 = e3
Comme 2 + e3 est bien un élément de I, l'équation proposée admet l'unique solution 2 + e3
• Soit l'équation e2x - 1 = 3
Elle est définie sur ℝ. On a :
e2x-1 = 3 si et seulement si 2x - l = ln 3
1  ln 3
x=
2
L'équation proposée admet l'unique solution
1  ln 3
2
7/10
y
6
y = exp(x)
y=x
5
4
3
b2
y = ln x
y = ln x
1
a
-3
-2
-1
0
a 1
2
b
3
-1
-2
-3
-4
-5
-6
8/10
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
§ 5 Dérivées et primitives
1) Dérivée de ln u
Propriété
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction x  ln (u(x)) , notée ln u, est dérivable sur I et on a (ln u)' =
u'
u
Démonstration :
Ce résultat est obtenu en appliquant le théorème sur la composée de deux fonctions dérivables
2) Primitive de ln u
Propriété
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I qui ne s’annule pas sur I
u'
Une primitive sur l'intervalle I de la fonction
est la fonction ln |u|
u
Démonstration :
Comme u est continue sur I (car elle est dérivable) et ne s'annule pas sur I, u ne
change pas de signe sur I
u'
 Si u > 0 sur I, |u| = u et (ln |u|)' = (ln u)' =
u
 u' u'
 Si u < 0 sur I, |u | = - u et (ln |u|) = (ln (- u))' =
=
u
u
§ 6 Logarithmes décimaux
C'est Briggs qui invente les logarithmes décimaux vers 1617 et Gunter qui invente
la règle à calcul en 1624.
Définition :
On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log définie sur ]0; + ∞[
ln x
par log x =
ln 10
En particulier, log 10 = 1 et log 1 = 0.
Propriétés
1. La fonction log est définie et dérivable sur ]0 ; + ∞[.
2. Elle est strictement croissante sur cet intervalle car ln 10 > 0.
3. La fonction log possède toutes les propriétés algébriques de la fonction
ln.
En particulier, pour tous réels a et b strictement positifs et p entier quelconque :
log (a × b) = log a + log b
log (ap) = p × log a
log 10p = p
4. Pour tout réel A, 10n ≤ A < 10n + 1 équivaut à n ≤ log A < n + 1.
Démonstrations
Ces propriétés sont des conséquences immédiates de la définition.
9/10
y
2
y = ln x
1
y = log x
-1
0
1
2
-1
-2
10/10
3
4
x